第18讲 导数与函数的极值、最值--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．函数的极值与导数
[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
考点1 利用导数解决函数的极值问题
[名师点睛]
1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．
[典例]
1．（2022·浙江·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A．在上是增函数B．当时，取得最小值
C．当时，取得极大值D．在上是增函数，在上是减函数
2．（2022·江苏江苏·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）
A．1B．C．D．－1
3．（2022·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知函数的极小值为a，则a的值为______.
4．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设函数，讨论在区间上的极值点的个数．
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．没有极大值
C．时，有极大值D．时，有极小值
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（ ）
A．-1B．2C．-3D．4
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5]B．（0，5）
C．（0，）D．（0，]
5．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
7．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）
A．在时取极小值B．在时取极大值
C．是极小值点D．是极小值点
8．（2022·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．
9．（2022·山东烟台·高三期末）若是函数的极值点，则的极大值为______．
10．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．
11．（2022·重庆·三模）已知函数在区间内有唯一的极值点，则的取值范围是___________.
12．（2022·湖南常德·一模）设函数的两个极值点为，若，则实数的取值范围是___________.
13．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论函数在区间上的极值.
14．（2022·北京房山·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.
考点2 利用导数求函数的最值
[名师点睛]
求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
[典例]
1．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数满足：对，都有，则函数的最小值为（ ）
A．-20B．-16C．-15D．0
2．（2022·福建莆田·三模）已知函数的最小值是4．则（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的极值；
(2)若函数在上的最小值是，求实数的值.
[举一反三]
1．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-e，2)B．(-e，1-e)C．(1，2)D．
2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，，若函数在上的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·辽宁丹东·一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率小于零
5．（2022·浙江·高三专题练习）设，函数若函数的最小值为0，则的取值范围是___________；若函数有4个零点，则的值是___________.
6．（2022·江苏·南京市第一中学三模）已知函数，则的最小值为____________．
7．（2022·湖北·二模）已知函数，若，则的最大值为_________．
8．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）设函数已知，且，若的最小值为，则的值为__________．
9．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0
x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
极值
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0为极大值点
x0为极小值点