第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程--2025高考数学一轮单元综合复习与测试卷

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1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
4．直线方程的五种形式
考点1 直线的倾斜角与斜率
[名师点睛]
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法.
(2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性.
[典例]
1.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
2.(2022·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
[举一反三]
1.直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的变化范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
2.(2022·潮州模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．k≥eq \f(1,2) B．k≤－2
C．k≥eq \f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq \f(1,2)
3．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，则k的取值范围是________．
考点2 求直线的方程
[名师点睛]
(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
(2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用.
[典例]
1.已知一条直线经过点A(2，－eq \r(3))，且它的倾斜角等于直线x－eq \r(3)y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为____________________.
2.过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________.
3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________.
[举一反三]
1.已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
2.(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0
考点3 直线方程的综合应用
[名师点睛]
1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
[典例]
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
[举一反三]
已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用