高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 一次函数的图象与直线的方程巩固练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 一次函数的图象与直线的方程巩固练习，共21页。试卷主要包含了1　一次函数的图象与直线的方程，47　　　B等内容，欢迎下载使用。

1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系
基础过关练
题组一 直线的倾斜角
1.下列说法中,正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为-π6
C.倾斜角为0的直线只有一条,即x轴
D.若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1)
2.(2024江西南昌金太阳实验中学月考)已知直线l1的倾斜角为110°,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角为( )
A.10° B.20° C.70° D.200°
3.(多选题)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为( )
A.α+45° B.α-135°
C.135°-α D.α-45°
4.(2024河南柘城德盛高级中学月考)已知一束光线射到x轴上并经x轴反射.若入射光线所在直线的倾斜角α1=60°,则反射光线所在直线的倾斜角为 .
题组二 斜率的两点式
5.(2023四川内江威远中学校月考)已知点A(1,-3),B(-1,3),则直线AB的斜率是( )
A.13 B.−13 C.3 D.-3
6.(多选题)(2024江苏连云港华杰高级中学阶段检测)已知点A的坐标为(3,4),在坐标轴上有一点B,若kAB=4,则点B的坐标可以为( )
A.(0,-4) B.(0,-8)
C.(2,0) D.(-2,0)
7.(2023广东佛山容山中学期中)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥共有20根拉索,在索塔两侧对称排列,如图1所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为3.4 m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16 m.如图2所示,若以A10B10所在直线为x轴,P1P10所在直线为y轴建立平面直角坐标系,最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66 m,|OA1|=86 m,则最长拉索所在直线的斜率为( )
A.±0.47 B.±0.45 C.±0.42 D.±0.40
8.(2023广东深圳外国语学校月考)已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三点在同一条直线上,则m= .
9.如果直线l过点(1,2),且不经过第四象限,求直线l的斜率的取值范围.
题组三 直线的斜率与倾斜角的关系
10.(2023辽宁大连第二十三中学月考)如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为( )
A.k1B.k2C.k3D.k111.(多选题)(2024山东济南长清一中月考)在下列四个命题中,正确的是( )
A.若直线的倾斜角α为锐角,则其斜率一定大于0
B.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α
C.任意直线都有倾斜角α,且当α≠90°时,斜率为tan α
D.直线的倾斜角越大,其斜率越大
12.(多选题)(2024河北邢台南宫中学月考)若直线l的斜率为m2-3,则直线l的倾斜角可能为( )
A.4π9 B.5π9
C.2π3 D.7π9
13.已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍,且l1的斜率为-34,则l2的斜率为( )
A.3或-13 B.3
C.13或-3 D.13
14.(2024江苏太湖高级中学阶段性考试)若直线l经过A(2,1),B(1,
-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 .
15.若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是 .
16.(2023天津武清四校段考)已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),
C(-1,1).
(1)求直线AB的斜率和倾斜角;
(2)若A,B,C,D可以构成平行四边形且点D位于第一象限,求点D的坐标.
题组四 直线的斜率与方向向量的关系
17.(多选题)(2024广东深圳名校期中联考)已知直线l的倾斜角为2π3,则l的方向向量可能为( )
A.(1,-3) B.(3,-1)
C.(-2,23) D.(23,-2)
18.(2023山西运城风陵渡中学月考)经过A(x,2),B(3,-4)两点的直线的一个方向向量为(1,3),则x= .
19.(2022辽宁沈阳沈北新区校级开学考试)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的取值范围.
能力提升练
题组 直线的倾斜角、斜率及其应用
1.(2023陕西西安高新第一中学月考)m,n,p是两两不相等的实数,则点A(m+n,p),B(n+p,m),C(p+m,n)必( )
A.在同一条直线上
B.是直角三角形的三个顶点
C.是等腰三角形的三个顶点
D.是等边三角形的三个顶点
2.(2023山东聊城颐中外国语学校月考)经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y=( )
A.-1 B.-3 C.0 D.2
3.(2024山东滕州第一中学月考)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=…=f(xn)xn,则n的取值集合为( )
A.{3,4}
B.{2,3,4}
C.{3,4,5}
D.{2,3}
4.(2024黑龙江大庆实验中学月考)若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为( )
A.-12 B.12
C.-32 D.32
5.(多选题)已知点A(2,4),B(3,3),点P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,则ba的值可能是 ( )
A.-1 B.12 C.1 D.32
6.已知抛物线y=12x2上一点P,过点P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交抛物线于另外的两点A,B,已知直线AB的斜率为-2,则点P的横坐标为( )
A.2 B.2 C.1 D.−2
7.(2024重庆西南大学附属中学阶段性检测)已知两点A(-1,1),B(3,-2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,则直线l(不考虑斜率不存在的情况)的斜率k的取值范围是 .
8.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,函数f(x)=sinx+1csx+1,x∈0,π4的值域为 .
9.(2024广东广州一中月考)已知点A(1,0),B(0,2),点P(a,b)在线段AB上.
(1)求直线AB的斜率;
(2)求ab的最大值.
答案与分层梯度式解析
第一章 直线与圆
§1 直线与直线的方程
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系
基础过关练
1.A 易知A正确;若直线的倾斜角为α,则α的取值范围是[0,π),所以sin α∈[0,1],故B错误,D错误;所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0,故C错误.
2.B 因为l1的倾斜角为110°,l2与l1垂直,所以l2的倾斜角为110°-90°=20°.故选B.
3.AB 如图1,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;如图2,当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选AB.

4.答案 120°
解析 根据题意作出示意图,入射光线所在直线的倾斜角α1=60°,由入射角等于反射角及倾斜角的概念,得反射光线所在直线的倾斜角α2=120°.
5.D 直线AB的斜率kAB=3-(-3)-1-1=-3.故选D.
6.BC 当点B在y轴上时,设B(0,y),由kAB=4,可得y-40-3=4,解得y=-8,
∴B(0,-8);当点B在x轴上时,设B(x,0),由kAB=4,可得0-4x-3=4,解得x=2,∴B(2,0).
综上所述,点B的坐标为(0,-8)或(2,0).故选BC.
7.C 设单位长度为1 m.根据题意,得|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230(m),|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6(m),则点A10(230,0),点P10(0,96.6),
所以kA10P10=96.6-00-230=-0.42,同理kB10P10=0.42,故选C.
8.答案 5
解析 因为A,B,C三点在同一条直线上,所以kAB=kAC,即1-3-2-1=m-34-1,解得m=5.
9.解析 如图,当直线l过点(1,2)且平行于x轴时,斜率最小,为0,当直线l过点(1,2)且过原点时,斜率最大,为2,所以过点(1,2)且不经过第四象限的直线l的斜率的取值范围是[0,2].
10.D 由题图可知l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜程度比l3大,所以k2>k3>0,l1的倾斜角为钝角,所以k1<0.综上,k1故选D.
11.AC 对于A,当0°<α<90°时,其斜率k=tan α>0,故A正确;
对于B,若一条直线的斜率为tan(-30°)=-33,则此直线的倾斜角为150°,故B错误;
对于C,由直线倾斜角的定义可得,每一条直线都有确定的倾斜角,
由斜率的定义可得,当直线的倾斜角α≠90°时,直线的斜率为tan α,故C正确;
对于D,直线的倾斜角为锐角时斜率大于0,倾斜角为钝角时斜率小于0,如直线的倾斜角为45°,对应斜率为1,直线的倾斜角为135°,对应斜率为-1,45°<135°,而1>-1,故D错误.
故选AC.
12.ACD 设直线l的倾斜角为α,则α∈[0,π),
因为直线l的斜率k=m2-3≥-3,
所以α≠π2且tan α≥-3,结合正切函数的图象,可得α∈0,π2∪2π3,π,
结合选项,可得ACD符合.
13.B 设l2的倾斜角为α,则l1的倾斜角为2α,则tan 2α=2tanα1-tan2α=−34,
整理,得3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-13,
因为tan 2α=-34<0,
所以2α∈π2,π,
所以α∈π4,π2,所以tan α=3.故选B.
14.答案 π4≤α<π2
解析 因为直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,所以kl=
tan α=1+m22-1=1+m2≥1,因为0≤α<π,所以π4≤α<π2.
15.答案 -43,39
解析 设直线的倾斜角为α,斜率为k,
则k=tan α=2a-(1+a)4-(1-a)=a-1a+3,
又α为钝角,∴a-1a+3<0,
即(a-1)(a+3)<0,故-3∵关于a的函数m=3a2-4a图象的对称轴为直线a=23,
∴当a=23时,m有最小值,为-43.
又当a=-3时,m=39,当a=1时,m=-1,
∴实数m的取值范围是-43,39.
16.解析 (1)由题意可知直线AB的斜率为-4-0-2-2=1,
因为直线的倾斜角的取值范围为[0,π),所以直线AB的倾斜角为π4.
（2）如图,当点D位于第一象限时,kCD=kAB,kBD=kAC,
设D(x,y),则y-1x+1=1,yx-2=1+4-1+2,
解得x=3,y=5,
故点D的坐标为(3,5).
17.AC 由题意得l的斜率为tan 2π3=−3.
A中,对应的斜率为-31=−3,故A正确;
B中,对应的斜率为-13=−33,故B错误;
C中,对应的斜率为23-2=−3,故C正确;
D中,对应的斜率为-223=−33,故D错误.
故选AC.
18.答案 5
解析 由题意可得-4-23-x=3,解得x=5.
解析 (1)直线AB的斜率为3-23-(-4)=17,直线BC的斜率为2-(-2)-4-0=-1,
∴直线BC的一个方向向量为(1,-1).
(2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,
由(1)可知kAB=17,又kAC=3-(-2)3-0=53,
∴直线AD的斜率的取值范围为17,53.
方法技巧 求直线的斜率的取值范围,需结合图形,利用边界直线的斜率可得所求斜率的取值范围.
能力提升练
1.A 由已知得kAB=m-pn+p-m-n=−1,kBC=n-mp+m-n-p=-1,∴kAB=kBC,
又B是直线AB,BC的公共点,
∴A,B,C三点共线.
2.B 由直线AB的倾斜角为3π4,得直线AB的斜率k=tan 3π4=-1,即k=(2y+1)+34-2=-1,解得y=-3.
故选B.
3.B f(x1)x1=f(x2)x2=…=f(xn)xn的几何意义是:曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等,即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数.如图,
由图可得n的值可以为2,3,4.故选B.
4.C 如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为3,
设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tan θ=3,
由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°,
故kOA=tan(θ-45°)=tanθ-tan45°1+tanθtan45°=3-11+3=12,
kOC=tan(θ+45°)=tanθ+tan45°1-tanθtan45°=3+11-3=-2,
则kOA+kOC=12−2=−32.故选C.
5.CD 设k=ba,则k可以看成点P(a,b)与坐标原点O连线的斜率.
当点P在线段AB上由B点运动到A点时,直线OP的斜率由kOB增大到kOA,如图所示.
又kOB=3-03-0=1,kOA=4-02-0=2,所以1≤k≤2,即ba的取值范围是[1,2],结合选项可知C,D符合.
6.A 设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,
则kAB=y2-y1x2-x1=x222-x122x2-x1=x1+x22=-2,故x1+x2=-4.
同理,kPA=x0+x12,kPB=x2+x02.
因为直线PA,PB的倾斜角互补,
所以kPA=-kPB,即x0+x12=−x2+x02⇒x1+x2=-2x0,
所以-2x0=-4,即x0=2.故选A.
7.答案 (-∞,-1]∪-23,+∞
解析 如图,由题意可知kPA=1+1-1-2=−23,kPB=-2+13-2=-1.
要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,
-1]∪-23,+∞.
8.答案 12,1
解析 如图所示,设P(cs x,sin x)为单位圆O上的一点,点A(-1,
-1),B(1,0),Ccs π4,sin π4,则f(x)=sinx+1csx+1,x∈0,π4表示点P在劣弧BC(不包括点B,包括点C)上运动时,直线PA的斜率,
因为kAB=-1-0-1-1=12,kAC=-1-sinπ4-1-csπ4=1,
所以f(x)的值域为12,1.
9.解析 (1)由题意知,直线AB的斜率kAB=2-00-1=-2.
(2)当点P(a,b)与点A,B均不重合时,
由点P(a,b)在线段AB上,得kAP=kAB,即b-0a-1=-2,
即b=-2a+2(0当P与A或B重合时也满足b=-2a+2,
因此b=-2a+2(0≤a≤1),
所以2=2a+b≥22ab,
所以ab≤12,
当且仅当2a=b,即a=12,b=1时,等号成立.
故ab的最大值为12.