高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系课时作业

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系课时作业，共14页。试卷主要包含了已知圆C1，圆C，已知A是圆C1，圆O等内容，欢迎下载使用。

题组一 圆与圆的位置关系的判断
1.(2023天津第九十五中学益中学校阶段性检测)已知圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,则两圆的位置关系是( )
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
2.(多选题)(2024广东湛江期中)圆C:x2+y2-4x+6y+13=r2(r>0)与圆D:x2+y2=16的位置关系可能是( )
A.内含 B.相交
C.外切 D.内切
3.(2022辽宁营口第二高级中学月考)早在两千多年前,墨子就给出了圆的定义:“一中同长也.”已知O为坐标原点,P(-1,3),若圆O,圆P的“长”分别为1,r,且两圆外切,则r= .
4.已知A是圆C1:x2+y2=1上的动点,B是圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则|AB|的取值范围为 .
5.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m为何值时,
(1)圆C1与圆C2外切?
(2)圆C1与圆C2内含?
(3)圆C1与圆C2只有一个公共点?
题组二 两圆的公共弦问题
6.圆x2+y2-2x-8=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦的长为( )
A.7 B.2 C.1 D.27
7.(2024重庆育才中学期中)已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2+mx+4y-11=0(m∈R)的公共弦所在直线与直线l:2x-y+1=0垂直,则m的值为( )
A.2 B.-2 C.8 D.-8
8.已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.
题组三 两圆的公切线问题
9.(2024福建龙岩名校期中)圆O:x2+y2=4与圆M:x2+(y-5)2=4的公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2024安徽名校联盟期中)已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64,其中a∈N+.若圆C1,C2仅有2条公切线,则a的值可能是 (给出满足条件的一个值即可).
11.(2024浙江宁波五校联盟期中联考)在平面直角坐标系内,与点A(1,2)的距离为3,且与点B(3,8)的距离为1的直线共有 条.
能力提升练
题组 圆与圆的位置关系的综合问题
1.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是( )
A.(0,2-1) B.(0,1]
C.(0,2-2] D.(0,2]
2.两圆x2+y2=16,(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点P处的切线互相垂直,则r=( )
A.5 B.4
C.3 D.22
3.已知平面内一点M(3,4),若圆C上存在点P,使|PM|=3,则称该圆为点M(3,4)的“3价圆”.下列圆中不是点M(3,4)的“3价圆”的是( )
A.圆x2+y2=1
B.圆x2+(y-2)2=4
C.圆(x-2)2+y2=4
D.圆(x-4)2+(y-3)2=9
4.(多选题)已知圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0交于P,Q两点,下列说法中正确的有( )
A.两圆有两条公切线
B.直线PQ的方程为3x-2y+9=0
C.线段PQ的长为61313
D.所有过点P,Q的圆的方程可以记为x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)
5.(2024浙江温州环大罗山联盟期中联考)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4和两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圆C上有且仅有一点P,使得∠APB=90°,则实数a的值是( )
A.2-2 B.2+2
C.2-2或2+2 D.2
6.(2024浙江金华十校模拟)已知圆C的直径AB=6,点M满足|MA|=2|MB|.记点M的轨迹为W,设W与C交于P,Q两点,则|PQ|= .
7.某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB,对应的圆心角∠AOB=π3,该地区为打击走私,在海岸线外侧2海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图,其中海域与陆地近似看作在同一平面内),在圆弧的两端点A,B处分别建有监测站,A与B之间的直线距离为10海里.
(1)求海域ABCD的面积;
(2)现海上P点处有一艘不明船只,在A点测得其距A点4海里,在B点测得其距B点219海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD内,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.4 圆与圆的位置关系
基础过关练
1.B 由题意得,圆C1的圆心为(0,0),半径为7,圆C2的圆心为(3,4),半径为4,两圆心之间的距离为32+42=5,因为7-4<5<7+4,所以两圆的位置关系是相交.故选B.
2.ABD 由圆C的方程可得圆心C(2,-3),∵22+(-3)2=13<16,∴圆心C(2,-3)在圆D的内部,∴两圆的位置关系可能是内含、相交或内切.故选ABD.
3.答案 1
解析 由题意知圆O的圆心为O(0,0),半径为1,
圆P的圆心为P(-1,3),半径为r,|OP|=(-1)2+(3)2=2.又∵两圆外切,∴|OP|=r+1,∴r=1.
4.答案 [3,7]
解析 由题意知圆C1的圆心为C1(0,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,4),半径为1.易知|C1C2|=5,则两圆外离,所以5-2≤|AB|≤5+2,即3≤|AB|≤7.
5.解析 把圆C1,圆C2的方程化为标准方程,得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,其圆心为(m,-2),半径为3,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,其圆心为(-1,m),半径为2.
(1)如果圆C1与圆C2外切,那么(m+1)2+(-2-m)2=3+2,整理得m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,即当m=-5或m=2时,两圆外切.
(2)如果圆C1与圆C2内含,那么(m+1)2+(-2-m)2<3-2,整理得m2+3m+2<0,解得-2(3)如果圆C1与圆C2只有一个公共点,那么两个圆相切,因此(m+1)2+(-2-m)2=3-2或(m+1)2+(-2-m)2=3+2,解得m=-2或m=-1或m=-5或m=2,即当m的值为-2或-1或-5或2时,两圆只有一个公共点.
6.D 将两圆方程相减得4x-4y+4=0,即x-y+1=0,易知圆x2+y2-2x-8=0的标准方程为(x-1)2+y2=9,则其半径为3,圆心(1,0)到公共弦所在直线的距离d=|1-0+1|2=2,因此所求弦长为29-(2)2=27.故选D.
7.A 把圆C1与圆C2的方程相减得mx+4y-7=0,即为圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程,由直线mx+4y-7=0与直线l垂直,得2m-4=0,解得m=2.当m=2时,圆C2:x2+y2+2x+4y-11=0,即圆C2:(x+1)2+(y+2)2=16,圆心为C2(-1,-2),半径r2=4,圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,于是|C1C2|=12+22=5∈(r2-r1,r2+r1),则圆C1与圆C2相交,符合题意,所以m的值为2.
8.解析 (1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为y-1-3-1=x-2-2-2,即y=x-1,
因为圆C1与y轴相切于点(0,3),
所以圆心在直线y=3上,
联立y=3,y=x-1,解得x=4,y=3,可得圆心坐标为(4,3),
故圆C1的半径为4,
故圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0,
圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d=|8+9-4|22+32=13,
所以两圆的公共弦长为216-13=23.
9.D 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r1=2,圆M:x2+(y-5)2=4的圆心为M(0,5),半径r2=2,所以两圆圆心距|OM|=5>r1+r2,所以圆O与圆M的位置关系为外离,所以圆O与圆M的公切线条数为4.故选D.
10.答案 5(答案不唯一,填写5,6,7,8,9中的一个均可)
解析 圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64的圆心为C2(4,-a),半径r2=8,所以|C1C2|=16+a2,因为圆C1,C2仅有2条公切线,所以圆C1,C2相交,所以6<16+a2<10,即2011.答案 4
解析 到点A(1,2)的距离为3的点的轨迹是以A(1,2)为圆心,3为半径的圆,
到点B(3,8)的距离为1的点的轨迹是以B(3,8)为圆心,1为半径的圆,
则所求直线即为两圆的公切线,
由|AB|=(3-1)2+(8-2)2=210,且|AB|>1+3,
可知两圆外离,有4条公切线,所以符合题意的直线有4条.
能力提升练
1.C 由M∩N=N得N⊆M,∴圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含于圆x2+y2=4,又两圆的圆心距为2,∴2-r≥2,∴02.C 设交点P(x0,y0),则x02+y02=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,∴r2=41-8x0+6y0,不妨令过点P的两条切线的斜率存在,∵两切线互相垂直,∴y0x0·y0+3x0-4=
-1,∴3y0-4x0=-16.∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3.
3.A 因为|PM|=3,所以点P在以M为圆心,3为半径的圆上,又P为圆C上一点,所以P为圆M与圆C的公共点.问题转化为判断圆M与圆C的位置关系.x2+y2=1表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆,该圆与圆M的圆心距d=(3-0)2+(4-0)2=5>3+1=4,所以两圆外离,所以x2+y2=1表示的圆不是点M(3,4)的“3价圆”.同理可判断圆M与选项B、C、D中的圆都相交.故选项B、C、D中的圆均是点M(3,4)的“3价圆”.故选A.
4.AB A中,因为圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0相交,所以两圆有两条公切线,故正确;B中,圆O:x2+y2=9和圆M:x2+y2+6x-4y+9=0的方程相减得3x-2y+9=0,所以直线PQ的方程为3x-2y+9=0,故正确;C中,圆心O(0,0)到直线PQ的距离d=99+4=91313,所以|PQ|=29-8113=121313,故错误;D中,方程可化为x2+y2+6λx1+λ−4λy1+λ+9λ-91+λ=0,而6λ1+λ2+-4λ1+λ2−4×9λ-91+λ=16λ2+36(1+λ)2>0,所以方程x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圆,因为λ∈R,λ≠-1,所以由所给方程可得x2+y2=9,x2+y2+6x-4y+9=0,所以该圆恒过P,Q两点,但此方程不能表示圆M,而圆M也是过点P、Q的圆,故不正确.故选AB.
5.C 圆C:(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为C(1,1),半径r=2,由两点A(a,0),
B(-a,0)(a>0),可得以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,设该圆为圆O,则其圆心为O(0,0),半径R=a,若点P满足∠APB=90°,则点P在圆x2+y2=a2上,又圆C上有且只有一点P使得∠APB=90°,所以圆C与圆x2+y2=a2相切,则有|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又因为a>0,所以a=2-2或a=2+2.故选C.
6.答案 245
解析 以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
则圆C的方程为x2+y2=9,A(-3,0),B(3,0),设M(x,y),
由题意可知,(x+3)2+y2=2(x-3)2+y2,
整理,得(x-5)2+y2=16,
故点M的轨迹为圆,即圆W的方程为(x-5)2+y2=16,
两圆的方程相减,得直线PQ的方程为x=95,
圆心(0,0)到直线x=95的距离d=95,
所以线段|PQ|=29-952=245.
7.信息提取 ①海域ABCD的形状为扇环,且在海岸线(弧AB)外侧2海里内;②∠AOB=π3,AB=10海里;③PA=4海里,PB=219海里.
数学建模 以探究海域监测问题为背景,构建圆的模型解决实际问题.根据题意建立平面直角坐标系,分析出不明船只既在以A为圆心,4海里为半径的圆上,也在以B为圆心,219海里为半径的圆上,得出相关圆的方程,从而通过解方程组可以确定不明船只的准确位置(即不明船只相应的坐标),再判断不明船只是否在海域ABCD内,而海域ABCD的范围也可以通过圆的方程进行表达.
解析 (1)因为∠AOB=π3,AB=10海里,AD=BC=2海里,所以OA=OB=AB=10海里,OD=OA+AD=12海里,所以S海域ABCD=π32π·π(OD2-OA2)=16π·(122-102)=22π3(平方海里).
(2)以O为原点,OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系(令点A在第一象限).由题意知,点P在以A为圆心,4海里为半径的圆(x-5)2+(y-53)2=16上;点P也在以B为圆心,219海里为半径的圆(x-10)2+y2=76上.
由(x-5)2+(y-53)2=16,(x-10)2+y2=76,解得x=3,y=33或x=9,y=53,
易知海域ABCD内的点(x,y)满足x2+y2≥100,x2+y2≤144,
由32+(33)2=36<100,92+(53)2=156>144,可知这艘不明船只没有进入海域ABCD内.