北师大版高中数学选择性必修第一册第2章圆锥曲线4直线与圆锥曲线的位置关系课件

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　　直线与圆锥曲线的交点个数体现了直线与圆锥曲线的位置关系,判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程与曲线C的方程联立,消去变量y(或x),得到一个关于变量x(或y)的方程,再根据此方程进行判断.下面以消去变量y得到方程ax2+bx+c=0为例进行说明:(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.(2)当a=0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行或重合于抛物线的对称轴.提醒    (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交.当§4 直线与圆锥曲线的位置关系直线与双曲线的渐近线平行且直线与双曲线相交时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交,也只有一个交点.(2)过双曲线外一点P的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下:①P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含虚轴的区域内时,有与渐近线平行的两条直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线;②P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含实轴的区域内时,有与渐近线平行的两条直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线;③P点在两条渐近线上但非原点时,只有两条与双曲线只有一个公共点的直线:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线.(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点.设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ·|x2-x1|= 或|AB|= ·|y2-y1|= .直线的斜率不存在时,|AB|=|y1-y2|.知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. (　    )2.过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+ =1相交.     (　    )3.过点A(1,0)作与双曲线x2-y2=1只有一个公共点的直线,这样的直线可作2条.     (　    ) 4.若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切.     (　    )√√✕✕ 可作3条,其中1条垂直于x轴,另外2条分别平行于两条渐近线.1.直线与圆锥曲线相交所得弦的长解决相交弦的长度问题,有两种方法:(1)求出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,用两点间的距离公式求弦长;(2)根据“设而不求”的思想,通过一元二次方程根与系数的关系,并借助弦长公式求解.讲解分析2.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题　　直线与圆锥曲线相交弦的中点问题即中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)利用根与系数的关系:将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程,通过作差,构造关于x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的式子,从而建立中点坐标和斜率的关系.典例 过点P(4,2)作直线AB,与双曲线C: -y2=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则|AB|= (　    )A.2 　    B.2 　    C.3 　    D.4  D解决圆锥曲线中的最值与范围问题,一般有两种途径:一是利用代数方法,即把要求的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(或解析式),常用的代数方法有:判别式法、不等式法、函数最值法;二是从几何角度考虑,利用圆锥曲线的定义、几何性质以及图形的几何性质求解.讲解分析典例 抛物线y=2x2上有一动弦AB,其中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为(        )A. 　    B. 　    C. 　    D.1A　　圆锥曲线中的探索性问题主要包括定值、定点等存在性问题.解决方法如下:(1)从特殊情况入手,探索定值、定点,再推理论证该定值、定点与变量无关.(2)直接推理计算,并在计算推理过程中消去参数,或求出参数的值,从而得到定值、定点.讲解分析典例 已知椭圆C:x2+2y2=a2(a>0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线y=k(x-1)与椭圆C交于A,B两点,在x轴上是否存在点M(m,0),使得对任意的k∈R, · 为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.