2024年新高一数学暑假衔接班综合测试（解析版）

这是一份2024年新高一数学暑假衔接班综合测试（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
考试范围:
集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2．关于命题“，”的否定，下列说法正确的是（ ）
A．：，为假命题B．：，为真命题
C．：，为真命题D．：，为真命题
【答案】D
【分析】判断命题的真假，再求命题的否定，并判断其真假即可.
【详解】因为，故命题为假命题，则为真命题；
又“，”的否定为：“”，
故选：D.
3．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析出阴影部分为和的子集，从而选出正确答案.
【详解】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，故属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是
故选：C
4．《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》为我国四大名著，其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军．第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】易知：“东风”是“打败曹操”的必要不充分条件.
故选：B
5．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.
【详解】结合题意：，
当时，；
当时，，当且仅当，
即，原式取得最小值；
另一方面，因为，所以，即;
当时，，
当且仅当，即，原式取得最大值;
另一方面因为，
令，则，所以，所以
所以，即;
综上所述：函数的值域是.
故选：A.
6．已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有7个元素；②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ）
A．132B．134C．135D．137
【答案】A
【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可．
【详解】集合满足：①每个集合都恰有7个元素；②．
一定各包含7个不同数值．
集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是21，15，9，特征数的和最小，
如：，特征数为22；
，特征数为17；
，特征数为12；
则最小，最小值为22＋17＋12＝51．
当集合中元素的最小值分别是1，7，13，最大值是21，20，19时，特征数的和最大，
如：，特征数为22；
，特征数为27；
，特征数为32；
则最大，最大值为22＋27＋32＝81，
故的最大值与最小值的和为81＋51＝132．
故选：A．
7．若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.
【详解】因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.
8．已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．D．若，则
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
对于B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．下列命题为真命题的有（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】作差即可判断ABC；根据不等式的性质即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，，
因为，，所以，
所以，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
10．已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A．B．
C．D．当时，的最小值为
【答案】BC
【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D.
【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中），
所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，
又关于一元二次不等式的解集为，
即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，
又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，
又开口向下，对称轴为，
由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）：
所以，
则，所以，，所以，故A错误，B正确；
又，，所以，故C正确；
因为、为关于的方程的两根，
所以，，
又，所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
显然，所以，故D错误.
故选：BC
11．定义域为的函数满足，，且时，，则（ ）
A．为奇函数B．在单调递增
C．D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可.
【详解】对于A，由题，，于是，令，则，
即，所以为奇函数，A正确；
对于B，设，则有，即，
即有，所以在上单调递增，
由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确；
对于C，由，得，
又为奇函数，则，C错误；
对于D，由题意得，，
则等价于，
则有，即，D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知集合．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可.
【详解】因为
由于
所以可以分为三种情况：
①当为空集时，，解得；
②当不为空集时，
当时，，
此时，满足题意.
当时，，有韦达定理得
，此时无解，
综上：故实数的取值范围是.
故答案为：
13．已知且恒成立，实数的最大值是 ．
【答案】/
【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，，
所以转化为，
可得，即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以实数的最大值是.
故答案为：
14．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.据此，对于函数，其图象的对称中心是 ，且有 .
【答案】
【分析】根据条件分析得到，由此列出关于的方程并求解出的值，则对称中心坐标可知；根据条件可得，然后根据函数值的对称特点求解出原式的值.
【详解】设的对称中心为，则为奇函数，
所以，
即，
化简可得，
所以，解得，
所以图象的对称中心为；
因为图象的对称中心为，所以，
所以，所以，
所以，
所以原式，
故答案为：；.
【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：
（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；
（2）若函数满足或或，则的一个对称中心为.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算；
（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；
【详解】（1）
因，则.
当时，，所以.
（2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.
所以，经检验“=”满足.
所以实数m的取值范围是.
16．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.
(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.
(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.
【答案】(1)；
(2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；
（2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可.
【详解】（1）（1）由题意可得，，
所以，
即.
（2）当时，；
当时，，对称轴，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
17．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且.
(1)求，的解析式；
(2)若，解关于的不等式.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）用方程组法求，用待定系数法求；
（2）先将不等式化为，根据分类求解即可.
【详解】（1）①，
用代替上式中的，
得②，
联立①②，可得；
设，
所以，
即
所以，解得，，
又，得，所以.
（2）因为，
即，
化简得，，
①当时，，不等式的解为；
②当，即，即时，不等式的解为或；
③当，即，即或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，即时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为或；
当时，不等式的解为且；
当时，不等式的解为或.
18．已知定义域为，对任意x，，都有，当时，，且.
(1)求和的值；
(2)证明：函数在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，即可求出；
（2）利用单调性的定义证明函数单调递增；
（3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可.
【详解】（1）因为对任意，都有，
所以，令，则，所以；
令，，则，因为，
所以；
（2）任取，且，
则
当时，，，，，，
在上单调递增；
（3）
，
，得
所以原不等式可化为；
由和（1）可得，
，所以，，
根据（2）得，为单调递增函数，所以，，
，得，
所以，不等式的解集为：
【点睛】第一问根据已知条件分别赋值和，即可求出；第二问利用单调性的定义证明函数单调递增；第三问将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可
19．已知集合且，是定义在上的一系列函数，满足.
(1)求的解析式.
(2)若为定义在上的函数，且.
①求的解析式;
②若关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根据计算即可；
（2）①根据，分别令，利用方程组法即可得解；
②由①得，分离参数可得，令，，则转化为在上仅有一个实根，再结合函数图象即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
，
；
（2）①由（1）得①，
又，
则②，
③，
由得④，
由得，
所以；
②由①得，
即，
即，
即，
当时，不成立，
所以，
故，
令，
因为，故，
所以在上仅有一个实根，
令，
则，
即在上仅有一个实根，
如图所示，画出函数的图象，
由图可知，或，
所以或.
【点睛】关键点点睛：令，利用方程组法是求解函数得解析式得关键.