高教版（2021·十四五）第2章 平面向量优秀巩固练习

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二、常考题型
三、知识梳理
1、向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模
模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线.
【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．
向量的线性运算
1、向量的加法运算
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
（2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，
向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC
（3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线OC就是a与b的和
【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0eq \a\vs4\al(＝)0＋a＝eq \a\vs4\al(a).
【注意】 = 1 \* GB3 ①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； = 2 \* GB3 ②平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
（4）向量加法的运算律
结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2、向量的减法运算
（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
= 1 \* GB3 ①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
= 2 \* GB3 ②(－a)＝a；
= 3 \* GB3 ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
= 4 \* GB3 ④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．
（2）向量的减法
= 1 \* GB3 ①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
= 2 \* GB3 ②几何意义：以O为起点，作向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(BA,\s\up7(―→)) ＝a－b，
如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
3、向量的数乘运算
（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，
它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.
（3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
3、向量共线
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
【注意】
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
4、向量的内积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，
则（）叫做向量与的夹角．
（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．
（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2、向量的内积的定义
（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的内积；
（2）记法：向量与的内积记作，即；
零向量与任一向量的内积为0；
4、平面向量内积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）cs θ＝；
（5）
5、平面向量内积的运算律
（1）；
（2）(λ为实数)；
（3）；
四、常考题型探究
考点一 向量的有关概念
例1．给出下列命题：
(1)平行向量的方向一定相同；
(2)向量的模一定是正数；
(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
(4)若向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上．
其中正确的序号是__ __.
例2．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与eq \(OA,\s\up6(→))相等的向量是( )
A．eq \(OC,\s\up6(→))B．eq \(OD,\s\up6(→))
C．eq \(OB,\s\up6(→))D．eq \(CO,\s\up6(→))
【变式探究】1. 下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
考点二 向量的线性运算
例3．化简下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))；
(2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→)))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)).
例4．如图，正六边ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝( )
A．0 B．eq \(BE,\s\up6(→))
C．eq \(AD,\s\up6(→)) D．eq \(CF,\s\up6(→))
例5．(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
(3)eq \f(2,3)[(4a－3b)＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,4)(6a－7b)]．
【变式探究】1. 化简(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))．
2. 如图，正六边ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝( B )
A．0B．eq \(BE,\s\up6(→))
C．eq \(AD,\s\up6(→))D．eq \(CF,\s\up6(→))
3.计算：
(1)eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)；
(2)(m＋n)(a－b)－(m－n)(a＋b)．
考点三 平行（共线）向量
例6. 已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（ ）
A．B．C．6D．
例7. 已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，
求证：A、B、D三点共线；
【变式探究】设两个非零向量a与b不共线，
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
考点四平面向量的坐标运算
例8. 已知向量，则__________.
例9. 已知向量，若，则（ ）
A．-1 B．2 C．-6 D．6
【变式探究】1、已知向量，若满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、已知向量，，，若与共线，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点五 求内积
例10.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
①a·b；
②(a＋b)·(a－b)；
③(2a－b)·(a＋3b).
例11.已知向量，若，则（ ）
A．B．3C．D．1
【变式探究】1. 已知，，则（ ）
A．－3B．－2C．2D．3
考点六 求向量的夹角
例12. 已知，，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
例13.已知向量，则向量的夹角的余弦值为 .
【变式探究】1、已知，，则，夹角的大小为 ．
2、已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．1
考点七 求向量的模
例14. 已知向量，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
例15.已知，，且，则（ ）
A．1B．C．D．5
【变式探究】1、已知向量，则等于（ ）
A．2B．3
C．3D．5
2、已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝4，|b|＝3，则|a－3b|＝__eq \r(133)__.
考点八 向量的垂直
例16.已知，且， 则的值为（ ）
A．B．3C．D．9
例17. 已知非零单位向量的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式探究】1. 已知量，，若，则（ ）
A．B．C．D．2

2、设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．5