湖南省益阳市安化县两校2023-2024学年高一下学期7月期末自检数学试卷(含答案)

这是一份湖南省益阳市安化县两校2023-2024学年高一下学期7月期末自检数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足（i为虚数单位）,则( )
A.B.C.D.i
3．已知向量,,若与共线,则( )
A.-4B.4C.-2D.-2或4
4．设l是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5．如图,矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图,其中,,则原图形的面积是( )
A.20B.10C.D.
6．某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,下列说法中不正确的是( )
A.该市14天空气质量指数的中位数为78.5
B.该市14天空气质量指数的第30百分位数为55
C.该市14天空气质量指数的平均值大于100
D.计算连续3天空气质量指数的方差,其中6日到8日的方差最大
7．八卦是中国文化的基本学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形,其中.给出下列结论,其中正确的结论为( )
A.与的夹角为
B.
C.
D.在上投影向量为（其中为与同向的单位向量）
8．如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，E到平面的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，在正方体中，点P在线段上运动时，下列命题正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.直线AP与平面所成角的大小不变
C.直线AP与直线垂直
D.二面角的大小不变
10．一只不透明的口袋内装有9张卡片,上面分别标有数字1,2,3,…,9.从袋中任意抽取1张卡片,记“抽出的卡片号为1,4,7”为事件A,“抽出的卡片号小于7”为事件B,“抽出的卡片号大于7”记为事件C.下列说法正确的是( )
A.事件A与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是互斥事件
C.事件A与事件B相互独立D.事件B与事件C是对立事件
11．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )
A.若,则．
B.若,,,则三角形有一解．
C.若,则一定为等腰直角三角形．
D.若面积为S,,则．
三、填空题
12．已知向量,,则在上的投影向量的坐标是__________．
13．若（i为虚数单位）为方程（m,）的一个根,则___________.
14．在圆台中,圆的半径是2,母线,圆是的外接圆,,,则三棱锥体积最大值为___________．
四、解答题
15．已知,,．
（1）求;
（2）若,求实数k的值．
16．已知向量,,设.
（1）求的最小正周期;
（2）若,,求的值.
17．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值.
18．如图,在正三棱柱中,D,E分别为棱,的中点,.
（1）证明：平面;
（2）若三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.
19．在锐角中,角A,B,C的对边为a,b,c,若,.
（1）求角C的大小;
（2）若E为的中点,且,求的面积S;
（3）如图,过A点在所在平面内作,且满足.求线段的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：,
故选：C.
3．答案：D
解析：由两向量共线可知,即,解得或.
故选：D.
4．答案：B
解析：A：若，，则或相交，故A错误；
B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，则或或，故D错误；
故选：B.
5．答案：A
解析：由斜二测画法知,
故选：A.
6．答案：C
解析：对于A,将14天的空气质量指数由小到大排列为：33,38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163,
所以该市14天空气质量指数的中位数为：,故A正确.
对于B：因为,所以该市14天空气质量指数的百分位数为,故B正确;
对于C：,
该市14天空气质量指数的平均值小于100,故C错误;
对于D：因为连续3天空气质量指数,6日到8日的波动最大,也即方差最大,故D正确.
故选：C.
7．答案：D
解析：由八卦图可知与的夹角为,其大小为,
即与的夹角为,所以A错误;
由向量的平行四边形法则可知,即B错误;
易知,又,所以,
而,所以,即C错误;
易知在上的投影向量为,即D正确.
故选：D.
8．答案：D
解析：连接，，相交于点，
因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心.
分别取，，的中点M，P，Q，
连接，则，且为的中点，
因为，所以，
为矩形，，则有，，，
，，，是平面内的两条相交直线，
平面，平面，平面平面，
平面平面，
等腰梯形中，M，分别为，的中点，则有，
所以平面，则多面体的外接球球心在上，
，平面，平面，则平面，
E到平面ABCD的距离为3，则，
当O在线段上时，设，则，
在和中，由外接球半径，
有，即，解得，
外接球半径，
该球的表面积.
当O在线段的延长线上时，同理可得，此时无解.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：平面，上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，A选项正确；
B.与平面相交，所以直线AP与平面所成角的大小在变，B选项错误；
C.平面，，C选项正确；
D.二面角也就是二面角大小不变，D选项正确；
10．答案：AC
解析：由题意可知：样本空间,,,,
则,,,可得,,
对于选项A：因为,所以事件A与事件C是互斥事件,故A正确;
对于选项B：因为,所以事件A与事件不是互斥事件,故B错误;
对于选项C：由选项B可知,则,
可知,所以事件A与事件相互独立,故C正确;
对于选项D：因为,
所以事件B与事件C不是对立事件,故D错误;
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：对于A,由正弦定理得,因为,所以,则,故A正确;
对于B,因为,,,由正弦定理得,
则,因为,所以,则,所以B只有一解,则三角形只有一解,故B正确;
对于C,因为,所以,即,
又B,C,,所以,,
所以或,即或,所以为等腰三角形或直角三角形,故C错误;
对于D,因为面积为S,,又,
所以,
所以,显然,则,因为,所以,故D正确．
故选：ABD．
12．答案：
解析：在方向上的投影向量为.
故答案为：.
13．答案：5
解析：由题意可知,,
所以,
所以,所以,.
14．答案：
解析：如图,设圆,半径分别为,,则,
由正弦定理,,解得,
设圆台的高为h,则,
在中,取,,由余弦定理,,
即得,即得,当且仅当时取等号.
因三棱锥的体积为,
即时,三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：
15．答案：（1）
（2）-3
解析：（1）因为,,,
所以,
所以
.
（2）因为,
所以,即,
即,解得.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
,
所以函数的最小正周期;
（2）,
,
,
故
.
17．答案：（1），75；
（2）（i）；（ii）
解析：（1）由频率分布直方图有，
得，
因为，，
所以中位数在区间上，设为x，
则有，得，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；
（2）设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，
“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，，
所以有，，，
（i）记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，所以
，
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则，
所以
，
解得：.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取的中点F,连接,,
因为D,E分别为棱,的中点,且三棱柱为正三棱柱,
所以且,且,
所以且,
所以为平行四边形,所以,
因为平面,平面,
所以平面;
（2）因为,所以,,所以,
又在正三棱柱中平面,
所以,所以,
取的四等分点（靠近A）,连接,过点M作交于点N,连接,
因为为等边三角形,所以且,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,平面,
,又,,,平面,
所以平面,所以为二面角的平面角,
在平面中连接交于点O,因为四边形为正方形,
所以,又,所以,又A为的四等分点,所以N为的四等分点,
所以,
所以,
所以,
所以二面角的余弦值为.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为,,
所以,即,
由余弦定理得,
又,．
（2）因为E是的中点,所以,两边平方可得,
即,
又,所以,
面积为.
（3）设,当DC与外接圆相切时,可得,则,
则,,
在中,由正弦定理得,
所以,
在中,由正弦定理得,
所以
因为,
所以
又,所以,
所以当,即时,有最大值,最大值为.