[数学][期末]福建省龙岩市上杭县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题(解析版)

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（满分：150分考试时间：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列根式中，能与合并的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、 与不是同类二次根式，故A选项不符合题意；
B、与是同类二次根式，故B选项符合题意；
C、与不是同类二次根式，故C选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故D选项不符合题意；
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
C．，原式计算正确，故该选项符合题意；
D．，原式计算错误，故该选项不符合题意；
3. 已知、、是 的三边，下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.∵ ，∴，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ∵，∴设，，，
，，
，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵，且，
，，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ∵，
∴设，，，
则，解得，
，，，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
4. 已知一次函数 ，随 的增大而减小，则该函数图象不经过第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】A
【解析】一次函数 ，随 的增大而减小，
，故该图像经过二、三、四象限，故不经过一象限，
5. 图是甲、乙两名同学次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作，，下列说法正确的是（ ）

A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】∵甲同学的射击成绩为，
∴甲同学的射击成绩平均数为，
∴甲同学的方差为
∵乙同学的射击成绩为，
∴乙同学的射击成绩平均数为，
∴乙同学的射击成绩方差为，
∴，∴，
6. 如图，的对角线 交于点 ，点 是 的中点，若 ，则 的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】，点是的中点，
由于点 是 的中点，是的中位线，
，，
7. 小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点，
当小明由O点到A点时：h随着t的增加而增加，
当小明由A点到B点时：随着t的增加h不变，
当小明由B点到O点时：h随着t的增加而减小，
所以函数图像变化趋势为，先增加，再不变，最后减小，
故C选项与题意相符，
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A. 2.4B. 2C. 1.5D. 1.2
【答案】D
【解析】连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×3×4＝×5×AP，
解得AP＝2.4，
∴AP的最小值为2.4，∴AM的最小值是1.2，
9. 已知一次函数的图象交轴于点，经过点和点，若，则的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且D. 或
【答案】C
【解析】∵一次函数的图象交轴于点，∴，
∵当时，，即，
∵经过点和点，
∴，
解得：，即
∴
∵，∴，∴，
综上，且，．
10. 如图，正方形和正方形的点、、在同一条直线上，点为的中点，连结、、，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长．（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接并延长交于H，
四边形和四边形是正方形，
三点在同一直线上，
，
，
是直角三角形，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
是的中点，即，，
，即，
是等腰直角三角形，
所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分． ）
11. 若式子 有意义，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】式子 有意义，
，，
12. 已知是整数，则正整数的最小值是______.
【答案】6
【解析】∵，且是整数，
∴2是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
13. 《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则_______尺．
【答案】4
【解析】设尺，则尺，
根据勾股定理可得：，
即，解得：，∴尺，．
14. 一次函数 （是常数）的图象经过两点，则关于的不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】一次函数 （是常数）的图象经过两点可得图象如下：
根据图象可得：不等式的解集为．
15. 如图，在 中，尺规作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧交 于点 ；（2）分别以点 为圆心，以大于 的一半长为半径画弧交于点 ，作射线 交 于点 ． 若，则 的长为______．
【答案】
【解析】如图，设、的交点为O．
由题意得是的垂直平分线，
，，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
．．
16. 如图，菱形中，，点在对角线上，将沿翻折，得到，当____时，、、三点共线．
【答案】或
【解析】当、、三点共线时，分两种情况：
当在线段上时，如图，连接，
为关于的对称点，
，，，
，
，
设，
四边形为菱形，且，
，，
，
，
，
，
，
在菱形的对角线上，
，
，
又，
而，
，
；
当在延长线上时，如图，连接，，
同上，设，
，
，
又在菱形的对角线上，
，
，
，
又，
，
；
当或时，、、三点共线，
三、解答题（本题共9个小题，共86分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
18. 如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．
证明：如图，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
19. 先化简，再求值：,其中 ．
解：原式
当时，
原式．
20. 如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，点M在DC上，连接AM，AM＝AB．
（1）过点B作BN⊥AM，垂足为N（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，求证：MN＝MC．
（1）解：如图，BN即为所求；
连接，以为圆心，长为半径，作弧交于点，分别以为圆心，大于的长度为半径在右侧作弧，交与点，作射线交于点，即为所求
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB∥CD且AB=CD，
∵BN⊥AM，
∴∠ANB=90°，
∴∠ADC=∠ANB，
∵AB∥CD，
∴∠NAB=∠AMD，
在△BNA与△ADM中，
，
∴△BNA≌△ADM（AAS），
∴AN=DM，
∵AB=AM，AB=CD，
∴AM=CD，
∴AM-AN=CD-DM，
∴MN=MC．
21. 小聪所在的学校共有1000名初中学生，小聪同学想了解本校全体初中学生的年龄构成情况、他从全校学生中随机选取了部分学生，调查了他们的年龄（单位：岁），绘制出如图所示的学生年龄扇形统计图．
（1）直接写出的值，并求全校学生中年龄不低于15岁的学生大约有多少人；
（2）利用该扇形统计图，你能求出样本的平均数、众数和中位数中的哪些统计量？请直接写出相应的结果；
（3）小红认为无法利用该扇形统计图求出样本的方差．你认同她的看法吗？若认同，请说明理由；若不认同，请求出方差．
解：（1），
即，
人，
即全校学生中年龄不低于15岁的学生大约有600人；
（2）依题意得：
样本的平均数为： (岁)，
样本中，14岁最多，即样本的众数为14岁，
13到14岁占比为，13到15岁占比为，
∴排中间的两个年龄都是15岁，
∴样本的中位数为15岁，
综上所述：样本的平均数、众数和中位数分别为15岁、14岁、15岁；
（3）认同；
设样本容量为n，则
22. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元． 设购进甲种商品 件，商场售完这100件商品的总利润为 元．
（1）写出与函数关系式；
（2）该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件． 在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元、求 的值．
解：（1）根据题意得：，
即与 函数关系式为；
（2）根据题意得：，
解得：，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为2800，
即商场可获得的最大利润是2800元；
（3）根据题意得：，
∵限定商场最多购进甲种商品60件，
∴，
∵，
当，即时，y随x的增大而增大，
此时当时，商场可获得的最大利润，
∴，
解得：（舍去）；
当，即时，所获得利润为3000元，不符合题意；
当，即时，y随x的增大而减小，
当时，商场可获得的最大利润，
∴，
解得：；
综上所述，a的值为15．
23. 综合与实践：构图法求三角形的面积．
【问题提出】 中，、、三边的长分别为、、，求 的面积．
【素材1】某数学兴趣小组发现，若运用三角形面积公式 （为底边，为对应的高）求解，则高 的计算较为复杂． 进一步观察发现，， ，若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积． 这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”．
【素材2】某园艺公司对一块三角形花圃 进行改造，如图3所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃 ，正方形花圃 ，并增加三角形花圃 ，将原花圃改造为六边形 ．
【任务1】（1）请直接写出图1中 的面积________．
【任务2】（2）已知 三边、、的长分别为、、，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，并求出它的面积．
【任务3】（3）若三角形花圃的边、、，求改造后的六边形花圃的面积．
解：（1），
（2）观察发现，，，由此可在正方形网格中构造出如图所示，
则．
（3）观察发现，，由此可在正方形网格中构造出如图所示的六边形，
则．
24. 在平面直角坐标系 中，点 在直线 上（其中），线段 平移得到线段，点的对应点是，点的对应点是．
（1）求直线 的解析式．
（2）若，点． 求证：四边形 是菱形；
（3）若点在直线 上，点，且． 探究直线 上是否存在点 ，使得，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点 在直线 上，
∴直线l的解析式为；
（2）∵线段 平移得到线段，
∴，
∴四边形 是平行四边形，
∵，点 ，
∴点 ，
∵，
∴，
∴，
∴四边形 是菱形；
（3）如图，连接交于点M，
由（2）得：四边形 是平行四边形，
∵点，点，
∴轴，
∵点 ，点，
∴点A，C均在直线上，
设直线l与x轴交于点E，与y轴交于点F，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴四边形 是正方形，
∴，此时点M即为符合题意的点E，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴点E的坐标为．
25. 如图，正方形中，，E为边上一点，，连接 ，． 点 为线段上一个动点，，将沿线段折叠，得到 ，连接 ．
（1）求，的长；
（2）当点落在线段上，求的长；
（3）连接，若为等腰三角形，求的值及．
解：（1）正方形中，，E为边上一点，
，
，
，
，
；
（2）当点F落在线段上，如图，
则，，
．
．E为边上一点，
，
，
，
，
；
（3）①当CF=FD时，连接BF，如图，
，．将沿线段折叠，得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
过F作于N，交于M，
则，
四边形为矩形，
，，
为等腰三角形，
，
由折叠的性质得∶，

，
的面积；
②当时，如图，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
作于M，于N，如图所示∶
则，
由折叠的性质得∶ ，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
的面积；
③不存在的情形，
综上，若为等腰三角形，的值面积为或，面积为4．