[数学][期末]辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一下学期期末考试试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列各角中与终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】运用终点相同角概念知道，与终边相同的角为，
则当，.
故选：B.
2. 已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，则在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3. 若平面向量与满足，且与的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D. 31
【答案】B
【解析】，
.
故选：B.
4. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A. 56B. C. D.
【答案】C
【解析】由为四棱台的斜高，
设四棱台的高为，则，
所以四棱台的体积为：.
故选：C.
5. 已知函数，若将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，
因为函数为奇函数，所以，
又，所以当时，有最小值是.
故选：C.
6. 已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
根据三角函数定义
．
故选：D.
7. 在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得为等边三角形，
故过点作交于点，则为中点，
所以向量在向量上的投影向量为，与方向相反，
由是中点，为中点，有.
故选：C.
8. 设集合，则集合A的元素个数为（ ）
A. 1013B. 1014C. 2024D. 2025
【答案】A
【解析】当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增，
则集合至少有1012个元素，
即为，
当时，由于正切函数关于对称，
则，，，，
则当增加时，元素与前面的重复，
当时，元素等于0，
当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了，
则集合A的元素个数为1013个.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 在中，为边上一动点，则（ ）
A.
B. 的外接圆半径为
C. 当为角的角平分线时，
D. 当为中点时，
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意及余弦定理得
，故A正确；
对于B，由A结合正弦定理可知的外接圆半径为，
故B正确；
对于C，当为角的角平分线时，则由，
得，
所以，
即，故C正确；
对于D，当为中点时，有，
所以
，
所以，故D错误.
故选：ABC.
10. 设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】是方程的两根，则有，
由，
得，解得，A选项错误；
，有，由，有，
，
由，所以，B选项正确；
由得，，C选项错误；
，D选项正确.
故选：BD.
11. 如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角的正切值为
B. 当时，S等腰梯形
C. 当时，S与交于点，则
D. 当时，S为五边形
【答案】BCD
【解析】正方体的棱长为为的中点，
对于A，，直线与直线所成角为，
所以，A错误；
对于B，，即为中点，此时，，
，则截面为等腰梯形，B正确；
对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于，
由，得，由是的中点，，得，
因此，C正确；
对于D，若，连接并延长交延长线于，直线交于，
交延长线于点，连接交于点，连接得截面，
过点的平面与正方体的5个表面相交，
因此截面是五边形，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，且（其中为虚数单位），则__________.
【答案】
【解析】，则.
故答案为：.
13. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则__________.
【答案】
【解析】依题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
结合图形知，，
即，
两式平方相加得，
即，所以.
故答案为：.
14. 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________.
【答案】
【解析】取中点为，过作交于，则，即为中点，
因为平面，所以平面，
因为，所以，
所以，，
所以，是三棱锥外接球球心，为球的半径，
由，
又，当且仅当，等号成立，
此时，
所以球半径，故，
该“鞠”的体积最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在同一平面内的三个向量，若.
（1）若，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
解：（1），，其中，
，
或.
（2）与垂直，，
于是，，
，
.
16. 已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2），求函数的值域；
（3）若，求满足不等式的的取值范围.
解：（1）由图可得，
则，因为，且，所以，
所以，
由图可知，
则，解得，
因为，所以，故.
（2）由（1）知，
设，
，
所以函数的值域为.
（3）由，得，
则，
解得或，
解得或，
又，
所以.
17. 已知的内角的对边为，且.
（1）求；
（2）已知为的中点，底边上中线长为时，求面积的最大值.
解：（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）知，，
在中，由余弦定理可得，
即，
所以，当且仅当时，取得到等号，
此时面积的最大值.
18. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面平面；
（3）若是的中点，点在线段上，求的最小值.
解：（1）圆柱的底面半径，圆柱的侧面积，
圆柱的底面积为，所以表面积.
（2）由题意知平面，又平面，
所以，
而平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面.
（3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上，
当三点共线时取得最小值，为，
，
，
所以在三角形中，由余弦定理可得：，
所以的最小值等于.
19. 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且．
（1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和；
（2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间．
解：（1）在直四棱柱中，，底面ABCD为菱形，
由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等，
所以处的曲率为，
而处的曲率为，又，
所以、两处的曲率和为，
故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和.
（2）由题设，处的曲率，
故，
所以直四棱柱底面面积，
故直四棱柱高为1，故体积为，
令，，可得，，
即，上递增；
令，，可得，，
即，上递减；
所以增区间为，减区间为，.