[数学][期末]山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测试题(解析版)，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A. B. 1C. D. i
【答案】A
【解析】由题，，则，则，
故的虚部为.
故选：A.
2. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为，
点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为，
点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为，
所以点关于y轴对称点的坐标为.
故选：C.
3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则可能相交，平行或异面，故C错误；
对于D，若，则可能相交，平行或异面，故D错误.
故选：B.
4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，所以共面，故A错误；
对于B，，所以共面，故B错误；
对于C，假设共面，
则存在，使得，
则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，
所以不共面，故C正确；
对于D，，所以共面，故D错误.
故选：C.
5. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，
一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为，
设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为，所以，
在中，由，
得.
故选：D.
6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（ ）
A 6B. C. 24D. 44
【答案】C
【解析】如图，过作平面，作，连接，
根据题意得，，所以，
所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形，
所以侧面积为.
故选：.
7. 若△ABC为斜三角形，，则的值为（ ）
A B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】由，可知或，
又为斜三角形，所以，即，
故选：A.
8. 已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】如图，作，垂足为，连接，
因为平面，，平面，所以，所以，
则或，
易知，
若，则，
若，则.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 正方体中，点E，F分别为，的中点，则（ ）
A. 与为异面直线
B. 平面
C. 过点A，E，F的平面截正方体的截面为三角形
D. 平面
【答案】ABD
【解析】对于A，取中点，连接，则由题意，
又，故与不平行，
又与无公共点，所以与异面，故A正确；
对于B，连接，则由题意可知为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C，连接、，由正方体性质，
所以由可唯一确定一个平面，因为平面，
所以平面是过点A，E，F的平面截正方体的截面，该截面为为平行四边形，
故C错误；
对于D，由B可知，由正方体性质，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理平面，因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又由B可知，所以平面，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知向量在向量上的投影向量为，向量，则向量可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】由题意，
所以，
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故选：AD.
11. 已知四面体的所有棱长都等于6，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，点是棱的中点，则（ ）
A. 该四面体的高为
B. 该四面体的体积为
C. 点的运动轨迹长度为
D. 过的平面截该四面体内最大球的截面面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，设点在底面上的射影为点，连接，
则是线段的靠近点的三等分点，
在等边中，，所以，，
在中，，
所以该四面体的高为，故A正确；
对于B：，
所以该四面体的体积为，故B错误；
对于C：由平面知，就是与平面所成角，即，
而，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
其轨迹长度为，故C正确；
对于D：设该四面体内切球的半径为，球心为，
在截面中，取的中点，连接，则在线段上，
因为，所以，
因为，所以，
而过的平面截该四面体内最大球的截面就是其内切球的大圆，
所以该截面的面积为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N．（重力加速度g取）
【答案】
【解析】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，
因为，所以在上的投影向量为，
所以8根绳子拉力的合力为，
又因为降落伞匀速下落，所以，
所以，，所以.
故答案为：.
13. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______．
【答案】
【解析】设，
如图所示，在中，，设底面的外接圆的半径为，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理可得，所以，
设的外心为，的外心为，则外接球的球心为的中点，
所以外接球半径，所以外接球表面积为，
所以，解得，所以此直棱柱的体积为.
故答案为：.
14. 在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则______．
【答案】
【解析】如图，取中点，连接，，
，，且，
又，且，平面，
平面，平面，所以，
面与面所成的二面角为，且在上，
，又，，
根据余弦定理可得
．
故答案为：．
四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．
（1）证明：四边形为等腰梯形；
（2）若在圆台内部挖去一个以O为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积．
解：（1）因为，为圆台两条母线，
所以，且它们都在同一个平面内，
又由于圆台的上下底面都是圆，由圆的同心性和圆台的形成可知，，
故四边形为等腰梯形.
（2）如图所示：连接，过点作于点，
则，
所以由勾股定理得高，
，
，
故剩余部分的体积.
16. 如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是的中点，P是与的交点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）连接，
因为分别是的中点，P是与的交点，
所以为的中位线，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以平面平面.
（2）因为，，所以是等边三角形，
取的中点为，连接，则，，
又因为平面底面且交线为，所以底面，
因为，，，所以，
所以，所以，
所以取的三分之一等分点，，连接，则，
以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
则，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
，
令，则，所以，
同理可得，，
令，则，所以，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值.
17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且．
（1）求B；
（2）若B的角平分线交AC于点D，，点E在线段AC上，，求的面积．
解：（1）由正弦定理得，
故，
因为，所以.
（2）由正弦定理得，解得，
因为，所以，
因为B的角平分线交AC于点D，所以，
由得，
即，
在中，由余弦定理得，
故，即，
联立与，解得，负值舍去，
故，解得，
由三线合一可得⊥，且，，
故，.
18. 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；
（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．
解：（1）设平面交上底面于，在圆弧上，
因为上下底面平行，故，
又因平面，平面，平面平面，
所以，所以，
由题意可知，又，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（2）由（1）知平面，连接，
所以是直线与平面所成角，
所以由题意，
又由题意，，
所以，所以，即在圆弧的中点上，
所以由知点P在圆弧中点上，故，
所以，
因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离，
又圆柱结构性质可知，平面，平面，
所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，
设该距离为，
因为，
，
又，所以，即点P到平面的距离为.
（3）过作垂直于底面，则由上知，
所以可建立如图所示的分别以为轴的空间直角坐标系，
则，设，且，
所以，
设平面的法向量为，则，
所以即，
取可求得，
设平面的法向量为，则，
所以即，取可求得，
设平面与平面的夹角为，则，
且，
整理得，
所以，
即，
即，所以，
所以，所以.
19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB同一侧．
（1）当时，求的长度；
（2）当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求；
（3）证明：．
解：（1）如图，取CD中点，过作与该斜截圆柱的底面圆平行且全等的圆面，
交于点，与交于点，过点B作底面圆的垂线交平行圆面于点，
由椭圆面过点B且与底面所成二面角为45°，则，
因为所以，
过作GH的垂线，交圆于J、K两点，
过作交JK于点，又由圆M，因为圆M，则，
又因 ，平面，故平面，
因平面，故 ，
所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，
所以，则为等腰直角三角形，，
设，如图作圆所在平面的俯视图，则，
由，所以，则有，
所以，即，
当时，.
（2）当时，，由（1）可得：
所以，…，
则
.
（3）由（1）知，也即是关于的函数，
也即将斜截圆柱的侧面沿着展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象，
如图，将绘制于函数图象上，
并以，（）为边作矩形，则矩形面积即为，
所以即为这些矩形的面积之和，
而函数的图象与轴围成的面积即为该斜截圆柱的半个侧面积，
我们把两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为2的圆柱，
因此该斜截圆柱的半个侧面积为，
所以函数与坐标轴围成的面积为，
又因为无论点是否均匀分布在半圆弧AB上，
这些矩形的面积之和都小于函数与坐标轴围成的面积，
所以，即问题得证.