2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)
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这是一份2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试数学试题(含答案),共8页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位,若复数z=7+i3+4i,则z的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.函数y=−2−x与y=2x的图象( )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点轴对称 D. 关于直线y=x轴对称
3.求(2 x−1 x)4的展开式中x的系数( )
A. 32B. −32C. 24D. −24
4.对于任意两个向量a和b,下列命题中正确的是( )
A. 若a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b
B. |a+b|≤|a|+|b|
C. |a·b|≥|a||b|
D. |a−b|≤|a|−|b|
5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,则E(X)的值为( )
A. 0.68B. 0.6C. 0.2976D. 3.88
6.根据分类变量x与y的成对样本数据,计算得到χ2=3.122.已知P(χ2≥3.841)=0.05,依据小概率值α=0.05的独立性检验,则( )
A. x与y不独立
B. x与y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. x与y独立
D. x与y独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05
7.将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向左平移π3后得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的解析式是( )
A. g(x)=3sin(2x+7π12)B. g(x)=3sin(2x−π12)
C. g(x)=−3sin(2x−π12)D. g(x)=3sin(2x−5π12)
8.长时间玩手机可能影响视力,据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1ℎ,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1ℎ的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为( )
A. 25B. 38C. 58D. 34
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量,连续10天测得该地PM2.5(PM2.5是衡量空气质量的重要指标,单位:ug/m3)的日均值,依次为35,26,17,23,33,56,41,31,30,33,则( )
A. 这组数据的极差为39B. 这组数据的众数为33
C. 这组数据的中位数为31或33D. 这组数据的第60百分位数为33
10.下列关于概率统计说法中正确的是( )
A. 两个变量x,y的相关系数为r,则r越小,x与y之间的相关性越弱
B. 经验回归方程y =3x+1相对于点(2,6.5)的残差为−0.5
C. 在回归分析中,R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题,答对题数为X,X~B(10,0.8),则E(X)=8
11.已知函数f(x)=12ex,g(x)=12e−x,则( )
A. y=f(x)+g(x)是偶函数
B. f(2x)+g(2x)=[f(x)+g(x)]+[f(x)−g(x)]恒成立
C. y=f(x)+g(x)的值域是(0,+∞)
D. y=f(x)−g(x)的值域是[0,+∞)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.从2,3,4,5四个数中任取两个数,则两个数相差为2的概率是______.
13.某市高二数学统考,假设考试成绩服从正态分布N(75,82)如果按照16%,34%,34%,16%的比例将成绩从高到低划分为A,B,C,D四个等级,则B等级的最低分是______.
14.甲、乙、丙三人做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人,则经过5次传球后,球在甲手中的概率为______.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算下列各式的值:
(1)(32)−13×(−76)0+814×42+(32× 3)6− (−23)23;
(2)lg8+lg125lg 10⋅lg0.1−eln2+lg2−lg14+3lg5−lg32⋅lg49.
16.(本小题12分)
三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c, 3bcsA−asinB=0.
(1)求A;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
17.(本小题12分)
某学校高二年级有400名学生,将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1:
表1
表2
(1)根据表1数据,从400名学生中随机选择一人做代表.
①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率;
②在选到的同学数学成绩优秀的条件下,求选到的同学语文成绩优秀的概率.
(2)从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本,样本数据整理如表2,请填写完整表2数据,并根据表2数据,依据α=0.05的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联?
(χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),x0.05=3.841)
18.(本小题12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=60°,侧面PAD是正三角形,侧面PAD⊥底面ABCD.
(1)求PC与底面ABCD所成角的正切值;
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的大小;
(3)若E是PC上的点,且PA//平面BDE,求四面体P−BDE的体积.
19.(本小题12分)
如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye1,则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标,记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中,若OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2),F是BP的中点,AF与OP交于T两点.
(1)求|OP|;
(2)求OT的坐标;
(3)若过点P的直线l分别与x轴、y轴正方向交于M、N两点,求S△OMN的最小值.
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.BD
11.AB
12.13
13.75分
14.516
15.解:(1)(32)−13×(−76)0+814×42+(32× 3)6− (−23)23
=(23)13×1+234×214+22×33−(23)13
=2+4×27=110;
(2)lg8+lg125lg 10⋅lg0.1−eln2+lg2−lg14+3lg5−lg32⋅lg49.
=lg(8×125)(12lg10)⋅lg10−1−2+lg8+lg125−lg2lg3⋅2lg32lg2
=312×(−1)−2+lg1000−1
=−6−2+3−1=−6.
16.解:(1)因为 3bcsA−asinB=0,
所以由正弦定理可得 3sinBcsA=sinAsinB,
又sinB≠0,
所以 3csA=sinA,即tanA= 3,
又A∈(0,π),
所以A=π3;
(2)因为A=π3,a=2,
所以由余弦定理可得4=b2+c2−2bccsA≥2bc−bc=bc,当且仅当b=c=2时取等号,
所以bc≤4,
所以S△ABC=12bcsinA≤12×4× 32= 3,当且仅当b=c=2时取等号,
则△ABC面积的最大值为 3.
17.解:(1)记事件A=“选到同学数学成绩优秀”,记事件B=“选到同学语文成绩优秀”,则A与B相互独立,
①P(AB)=73400,
②P(B|A)=n(AB)n(A)=73127.
(2)表2整理如下:
零假设H0:数学成绩与语文成绩无关联,根据表2中的数据可得:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40(8×20−6×6)214×26×14×26=384408281≈4.642>3.841,
依据α=0.05的独立性检验,我们可以推断H0不成立;即认为数学成绩与语文成绩有关联,该推断犯错误的概率不超过0.05.
18.解:(1)设O是AD的中点,连接PO,CO,
又侧面PAD是正三角形,O是AD的中点,
∴PO⊥AD,
又因为侧面PAD⊥底面ABCD,PAD∩ABCD=AD,
∴PO⊥底面ABCD,
∴∠PCO是PC与底面ABCD所成角,
在Rt△PCO中,PO= 3,OC= 7,
∴tan∠PCO= 217.
(2)又∵在菱形ABCD中,∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,
又O为AD的中点,所以BO⊥BC,
由(1)知,PO⊥BC,
∴BC⊥平面POB,则PB⊥BC,
∴∠PBO是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,
而在Rt△PBO中,PO=BO= 3,
∴∠PBO=45°,
∴侧面PBC与底面ABCD所成二面角大小为45°.
(3)连结AC交BD于点F,连结EF,
∵底面ABCD为菱形,且PA//平面BDE,
∴EF//PA,
又∵在△PAC中,F为AC中点,
∴E为PC中点,
又PA//平面BDE,
∴P点到平面BDE的距离等于A点到平面BDE的距离,
即VP−BDE=VA−BDE=VE−ABD,
由(1)知AD⊥PO,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥底面ABCD,
因为等边△PAD的边长为2,∴PO= 3,
又因为E为PC中点,
∴点E到底面ABCD的距离为12PO= 32,
∵△ABD为边长为2的等边三角形,
∴三棱锥P−BDE的体积为VP−BDE=VE−ABD=13⋅ℎ⋅S△ABD=13× 32× 34×22=12.
19.解:(1)依题意可得e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cs60°=1×1×12=12,
∵OP=(3,2)=3e1+2e2,|OP|2=(3e1+2e2)2=9e12+12e1⋅e2+4e22=9+12×12+4=19,
∴|OP|= 19.
(2)∵OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2),
∴OA=3e1,OB=2e2,OP=3e1+2e2,∴OP=OA+OB,
∴四边形OAPB是平行四边形,即OA//BP,∴△PFT∽△OAT,
∵F是BP的中点,PFOA=FTAT=12,∴AT=23AF,
又AF=OF−OA=12(OB+OP)−OA=12(2e2+3e1+2e2)−3e1=2e2−32e1,
∴OT=OA+AT=3e1+23(2e2−32e1)=2e1+43e2,
∴OT=(2,43).
(3)设OM=(x,0),ON=(0,y)(x,y>0),则OM=xe1,ON=ye2,
∵M,P,N三点共线,则设MP=λMN(0
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