2023-2024学年吉林实验中学等友好学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林实验中学等友好学校高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数5i−2的共轭复数是( )
A. i+2B. −2+iC. −2−iD. 2−i
2.如果a和b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )
A. a=bB. a⋅b=1C. a2≠b2D. |a|2=|b|2
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知csA= 53，B=π6，b=3，则a=( )
A. 4B. 6C. 103D. 3 2
4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=2，O′B′=3，∠A′O′B′=45°，则原△AOB的面积为( )
A. 3 2
B. 4 2
C. 6
D. 8
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3， 15，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是( )
A. 1256πB. 125πC. 25πD. 75π
6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足1⊥m，1⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A. α//β，l//αB. α与β相交，且交线平行于l
C. α⊥β，l⊥βD. α与β相交，且交线垂直于l
7.在△ABC中，点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点，若MN=xAB+yAC，则x+y=( )
A. 1B. 23C. −23D. −1
8.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为( )
A. 4 7B. 3 13C. 2 30D. 11
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量a=(−1,1)，b=(2,0)，c=(3,3)，则( )
A. (a+b)//cB. a⊥c
C. (a−b)⋅c>0D. |2a+b|=|b|
10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是( )
A. A与B为对立事件B. A与B为相互独立事件
C. P(A∪B)=12D. P(AB)=14
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若csA>csB，则AB. 若A=60°，b=4，a=3.8，则△ABC有两解
C. 若a2=bc，则△ABC为锐角三角形
D. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算(−8−7i)×(−3i)=______．
13.2023年四川省高考分数公布后，石室中学再续辉煌，某基地班的12名同学成绩分别是(单位：分)：673，673，677，679，682，682，684，685，687，691，697，705，则这12名学生成绩的下四分位数为______．
14.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA=sinBcsC，tanA=13，则tanC= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC．
(1)求A；
(2)若b+c=5，△ABC的面积为 3，求a的值．
16.(本小题15分)
已知|a|=2，|b|=3，(2a−b)⋅(a+2b)=−1．
(1)求a与b的夹角；
(2)求|3a−2b|+|a−2b|的值．
17.(本小题15分)
如图，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BC=EC，点F为线段BE的中点．
(1)求证：CF⊥平面ABE；
(2)求证：DE//平面ACF．
18.(本小题17分)
某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[80,100)，[100,120)，[120,140)，[140,160)分组的频率分布直方图如图所示．
(1)估计这100户居民的月平均用电量的平均数，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)按照分层随机抽样的方法从月平均用电量在[120,140)，[140,160)的居民中抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户，求这2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160)的概率．
19.(本小题17分)
如图(1)梯形ABCD中，AD//BC，AB=2 3，BC=2，CD=2 2，BE⊥AD且BE=2，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE⊥平面BCDE，CE与BD和交于O，点P在AB上，且AP=2PB，R是CD的中点，过O、P、R三点的平面交AC于Q.在图(2)中：

(1)证明：Q是AC的中点；
(2)M是AB上一点，已知二面角M−EC−B的正切值为34，求AMAB的值．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.C
5.A
6.B
7.B
8.C
9.ABD
10.BD
11.AB
12.−21+24i
13.678
14.1或12
15.解：(1)由(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC，
得sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC，由正弦定理得b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理b2+c2−a2=2bccsA，
所以csA=−12，
因为0所以A=2π3；
(2)由于△ABC的面积为 3，
即12bcsinA=12× 32bc= 3，
可得bc=4，又因为b+c=5，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=52−4=21，
解得a= 21．
16.解：(1)因为(2a−b)⋅(a+2b)=−1，所以2a2+3a⋅b−2b2=−1，
故2×22+3a⋅b−2×32=−1⇒a⋅b=3，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=32×3=12，
因为〈a,b〉∈[0,π]，所以〈a,b〉=π3，
(2)因为|a|=2，|b|=3，a⋅b=3，
所以|3a−2b|= 9a2+4b2−12a⋅b= 36+36−12×3=6，
|a−2b|= a2+4b2−4a⋅b= 4+36−4×3=2 7，
故|3a−2b|+|a−2b|=6+2 7．
17.证明：(1)因为AB⊥平面BCE，CF⊂平面BCE，所以AB⊥CF，
又BC=EC，点F为线段BE的中点，所以BE⊥CF，
又AB∩BE=B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，
故CF⊥平面ABE；
(2)连接BD交AC于M，连接FM，

因为四边形ABCD是矩形，
则M为BD的中点，又点F为线段BE的中点，
可得FM//DE，而FM⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
故DE/​/平面ACF．
18.解：(1)由频率分布直方图可知，估计这100户居民的月平均用电量的平均数为90×0.005×20+110×0.015×20+130×0.020×20+150×0.010×20=124；
设中位数为m，
用电量在[80,120)的频率为(0.005+0.015)×20=0.4<0.5，
用电量在[80,140)的频率为(0.005+0.015+0.02)×20=0.8>0.5，
故中位数位于第三组中，故(m−120)×0.02=0.1，解得m=125
(2)由题意得月平均用电量在[120,140)的居民有23×6=4户，分别设为a，b，c，d，
月平均用电量在[140,160)的居民有13×6=2户，分别设为A，B，
所有基本事件有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,d)，(b,A)，(b,B)，(c,d)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)}，共15个．
记A为“2户居民中至少有1户月平均用电量在[140,160)”，
则事件A包含的基本事件有：(a,A)，(a,B)，(b,A)，(b,B)，(c,A)，(c,B)，(d,A)，(d,B)，(A,B)}，共9个，
所以P(A)=915=35．
19.解：(1)证明：如图(1)：因为AD//BC，AB=2 3，BC=2，CD=2 2，BE⊥AD且BE=2，
所以AB= AE2+BE2⇒AE=2 2，FD=2，EF=2，
图(2)中：
在△ABD中，BPPA=12，BOOD=BCED=12，所以OP//AD，
又OP⊂平面PORQ，AD⊄平面PORQ，
所以AD/​/平面PORQ，
AD⊂平面ACD，平面PORQ∩平面ACD=QR，
所以AD//QR，
在△ACD中，R为CD中点，所以Q为AC中点．
(2)如图：

因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AE⊂平面ABE，AE⊥BE，
所以AE⊥平面BCDE，
作MN⊥BE于E，则MN⊥平面BCDE，作MH⊥EC于H，连HN，
则∠MHN为二面角M−CE−B的平面角，
设AMAB=λ⇒AM=λAB=2 3λ，
因为MN//AE⇒NEEB=λ⇒NE=λEB=2λ，
因为△EHN为等腰直角三角形，所以NH= 2λ，
又MNAE=BMBA=1−λ⇒MN=(1−λ)AE=2 2⋅(1−λ)，
在直角△MNH中，tan∠MHN=MNNH⇒34=2 2⋅(1−λ) 2λ⇒λ=811，
即AMAB=811．