2023-2024学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市山亭区八年级（下）期末数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2−x−1=x(x−1)−1B. x2−1=(x−1)2
C. x2−x−6=(x−3)(x+2)D. x(x−1)=x2−x
2.数学的世界，是一个充满美的世界，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称.以如图案中(不包含文字)，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. 维切克分形B. H分形
C. HexaflakeD. 毕达哥拉斯树
3.如图，数轴上点A，B表示的数为a，b，且OA>OB，则下列结论不正确的是( )
A. 2a<2bB. a+b>0
C. b−a>0D. ab<0
4.综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.(1)～(3)是其作图过程．
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O；
(2)连接AO，在AO的延长线上截取OC=AO；
(3)连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
5.在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘.如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞骨BD、CD的点B、C固定不动，且满足AB=AC，伞柄AP平分∠BAC，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是( )
A. ∠ABD=∠ACDB. AD平分∠BDC
C. 线段AD垂直平分线段BCD. AB=AD
6.如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在( )
A. 三角形三条中线的交点B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
7.如果关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，那么m的取值范围是( )
A. m>−1B. m>−1且m≠0
C. m<−1D. m<−1且m≠−2
8.有一块长为am，宽为bm的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1m得到的.四条小路的面积从左至右依次用S1，S2，S3，S4表示.则关于四条小路面积大小的说法正确的是( )
A. S2最大B. S3最大C. S4最大D. 四个一样大
9.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE.若AC=5，DE=1，则AB等于( )
A. 7
B. 6.5
C. 6
D. 5.5
10.已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2=2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是______．
12.因式分解：x2y−9y=______．
13.关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m= ．
14.如图，△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为______．
15.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是______．
16.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E作ED//AB，EF//AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1，取BE中点E1作E1D1//FB，E1F1//EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2…，照此规律作下去，则Sn= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)解不等式组：2x−5x+12≤1①5x−1<3(x+1)②；
(2)解方程：x−2x−3=2−13−x．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：
1a+2+4a2−4，其中a= 3+2．
小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
原式=1a+2(a2−4)+4a2−4(a2−4)……①
=a−2+4……②
=a+2……③
当a= 3+2时，原式= 3+4．
19.(本小题8分)
如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．
(1)证明：△ADC≌△BCE；
(2)若CF=3，DF=4，求△DCE的面积．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−1,−2)，B(−2,−4)，C(−4,−1)．
(1)把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)请在y轴上求作一点P，使△PA1C的周长最小，则此时P点坐标为______．
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.点F为AC上一点，连接并延长FD至点E.请你从以下三个表述中选择两个作为已知，一个作为结论．
(1)按要求将对应序号填写在所给横线上；
(2)证明你的结论．
表述①：点F为AC的中点；
表述②：FD=DE；
表述③：四边形BEFA是平行四边形．
已知：______(填写序号)、______(填写序号)；
结论：______(填写序号)；
证明．
22.(本小题8分)
数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解.下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形；B型卡片是长为y，宽为x的长方形；C型卡片是边长为y的正方形．

(1)用1张A型卡片，2张B型卡片拼成如图1的图形，根据图1，多项式x2+2xy因式分解的结果为______；

(2)请用1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2的虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解．
23.(本小题10分)
中华文化源远流长，博大精深，诗词向来是以其阳春白雪式的唯美典雅，吸引了无数虔诚的追随者.《诗经》《楚辞》是我国历史较为久远的著作.某书店的《诗经》单价是《楚辞》单价的34，用720元购买《诗经》比购买《楚辞》多买6本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元；
(2)为筹备4月23日的“世界读书日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《楚辞》数量不少于《诗经》数量的一半，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
24.(本小题12分)
问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．

(1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；
(3)【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，△DEC的周长最小值= ______(直接写答案)．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.D
6.D
7.D
8.D
9.A
10.B
11.140°
12.y(x+3)(x−3)
13.−1
14.245
15.2
16. 322n+1
17.解：(1)解不等式①得，x≥−3，
解不等式②得，x<2，
所以不等式组的解集是−3≤x<2；
(2)原分式方程可化为
x−2x−3=2+1x−3，
方程两边乘x−3得，
x−2=2(x−3)+1，
解得x=3，
检验：当x=3时，x−3=0，因此x=3不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
18.解：小明的解答中步骤①开始出现错误，
正确解答过程如下：
原式=a−2(a+2)(a−2)+4(a+2)(a−2)
=a+2(a+2)(a−2)
=1a−2，
当a= 3+2时，
原式=1 3+2−2
=1 3
= 33．
19.(1)证明：∵AD//BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中，
AC=BE∠A=∠BAD=BC，
∴△ACD≌△BEC(SAS)；
(2)解：由(1)知△ADC≌△BCE，
∴DC=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF=EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF=3，DF=4．
∴DE=2DF=8，
∴S△DCE=DE⋅CF2=8×32=12，
即△DCE的面积是12．
20.(1)如图：
(2)如图：
(3)∵△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，A(−1,−2)，
∴A1(−1,1)，
△PA1C的周长=PA1+PC+A1C，
∵点C(−4,−1)，A1(−1,1)，是固定点，故△PA1C的周长最小时，即PA1+PC的值最小；
∵△ABC和△A2B2C2关于y轴对称，
即点C和点C2关于y轴对称；则C2(4,−1)，
连接A1C2交y轴于P点；此时PA1+PC的值最小；如图：
∵点P是直线A1C2与y轴的交点，
故设直线A1C2的解析式为：y=kx+b，
将A1(−1,1)，C2(4,−1)代入，得：
1=−k+b−1=4k+b，
解得：k=−52b=35，
即直线A1C2的解析式为y=−52x+35，
令x=0，则y=35，
即点P(0,35)．
21.解：已知：①，②，
结论：③；
证明：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵点F为AC的中点，
∴DF=AF=CF=12AC，
∵FD=DE=12EF，
∵AB=AC，
∴AB=EF，
∵点F为AC的中点，BD=CD，
∴DF//AB，
∴四边形BEFA是平行四边形．
22.(1)x(x+2y)；
(2)如图所示，x2+2xy+y2=(x+y)2．
23.解：(1)设《楚辞》的单价是x元，则《诗经》的单价是34x元，
根据题意得72034x−720x=6，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，
∴34x=34×40=30．
答：《诗经》的单价是30元，《楚辞》的单价是40元；
(2)设购买m本《诗经》，则购买(160−m)本《楚辞》，
根据题意得160−m≥12m，
解得m≤3203．
设购买这两种图书共花费w元，则w=30m+40(160−m)，
∴w=−10m+6400，
∵−10<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤3203，且m为正整数，
∴当m=106时，w取得最小值，此时160−m=160−106=54．
答：当购买106本《诗经》、54本《楚辞》时，总费用最少．
24.(1)解：BD=CE，理由如下：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠BEC=60°，
∴∠BEC=∠AED=60°，
∴EB平分∠AEC；
(3)2+ 3
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∴△DEC的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE，
∴当点D在线段BC上时，△DEC的周长=BC+DE，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE=AD，
∴当AD的值最小时，△DEC的周长最小，此时AD⊥BC，
∴BD=12AB=1，AD= 3BD= 3=DE，
∴△DEC的周长的最小值为2+ 3．