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    2024遵义高一下学期7月期末考试数学含解析

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    这是一份2024遵义高一下学期7月期末考试数学含解析,共19页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
    1. 已知集合,,,则( )
    A B. C. D.
    2. 在中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,若,,,则( )
    A. B. C. D.
    3. 如图,向量,,,则向量可以表示为( )
    A. B. C. D.
    4. 已知,且,则( )
    A. B. C. D.
    5. 某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试,其中甲班40人,乙班35人,甲班的平均成绩为82分,乙班的平均成绩为85分,那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分( )
    A. 82.4B. 82.7C. 83.4D. 83.5
    6. 已知,,,则三角形的面积为( )
    A. 3B. 5C. 7D. 8
    7. 遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”,正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心,现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量,采用了如图所示的方式来进行测量:在地面选取相距30米的C、D两观测点,且C、D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上,在C、D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为,,测得,则“大吉他”建筑的估计高度为多少米( )
    A. 米B. 34米C. 米D. 30米
    8. 已知函数的定义域为,,则( )
    A. B. 函数是奇函数
    C. 若,则D. 函数在单调递减
    二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知复数(是虚数单位),则下列正确的是( )
    A. B. z虚部是3
    C. 若是实数,则D. 复数z的共轭复数为
    10. 已知事件A、B发生的概率分别为,,则下列说法正确的是( )
    A. 若A与B相互独立,则B. 若,则事件A与相互独立
    C. 若A与B互斥,则D. 若B发生时A一定发生,则
    11. 将函数图象上所有的点向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列关于说法正确的是( )
    A. 的最小正周期为1
    B. 在上增函数
    C. 对于任意都有
    D. 若方程在上有且仅有4个根,则
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知角的终边经过点,则的值为____________.
    13. 若函数的部分图像如图所示,则函数的解析式为_______.
    14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,如图是一个正八边形的窗花,从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形,正八边形的边长为4,P是正八边形内的动点(含边界),则的取值范围为________.

    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知向量,
    (1)求;
    (2)若向量,向量与向量共线,求m的值.
    16. 2024年5月3日,搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭,在中国文昌航天发射场成功发射,这是我国航天器继嫦娥五号之后,第二次实现月球轨道交会对接,为普及探月知识,某校开展了“探月科普知识竞赛”活动,现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名,统计他们的成绩(满分100分),其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

    (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数;
    (2)若在抽取的80名学生中,从成绩在,,中采用分层抽样的方法随机抽取6人,再从这6人中选择2人,求被选中的2人均为“探月达人”的概率.
    17. 已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
    (1)求角B;
    (2)若点D在上,为的角平分线,,求的最小值.
    18. 已知函数
    (1)求函数的最小值,以及取得最小值时x的集合;
    (2)已知,,,求的值.
    19. 若函数在定义域区间上连续,对任意,恒有,则称函数是区间上的上凸函数,若恒有,则称函数是区间上的下凸函数,当且仅当时等号成立,这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点,即若是上凸函数,则对任意,,…,恒有,若是下凸函数,则对任意,,…,恒有,当且仅当时等号成立.应用以上知识解决下列问题:
    (1)判断函数在定义域上上凸函数还是下凸函数(说明理由);
    (2)证明,上是上凸函数;
    (3)若A、B、C、,且,求的最大值.
    遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测
    高一数学
    一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
    1. 已知集合,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据交集和补集含义即可得到答案.
    【详解】由题意得,则.
    故选:C
    2. 在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据正弦定理即可得到答案.
    【详解】根据正弦定理有,即,解得.
    故选:D.
    3. 如图,向量,,,则向量可以表示为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用图形结合向量线性运算即可.
    【详解】.
    故选:A.
    4. 已知,且,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】首先求出,再利用二倍角正弦公式即可.
    【详解】因为,,则,
    则.
    故选:B.
    5. 某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试,其中甲班40人,乙班35人,甲班的平均成绩为82分,乙班的平均成绩为85分,那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分( )
    A. 82.4B. 82.7C. 83.4D. 83.5
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据平均数计算公式直接求解即可.
    【详解】全班名学生的平均成绩.
    故选:C.
    6. 已知,,,则三角形的面积为( )
    A. 3B. 5C. 7D. 8
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形,求解即可.
    【详解】,,

    ,所以三角形为直角三角形,

    故选:A.
    7. 遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”,正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心,现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量,采用了如图所示的方式来进行测量:在地面选取相距30米的C、D两观测点,且C、D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上,在C、D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为,,测得,则“大吉他”建筑的估计高度为多少米( )
    A. 米B. 34米C. 米D. 30米
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据仰角可得,,在三角形利用余弦定理即可求解.
    【详解】设教学楼的高度为,
    在直角三角形中,因为,所以,
    在直角三角形中,因为,所以,
    所以,
    在中,由余弦定理可得,
    代入数值可得,
    解得或(舍),
    故选:D.
    8. 已知函数的定义域为,,则( )
    A. B. 函数是奇函数
    C. 若,则D. 函数在单调递减
    【答案】B
    【解析】
    【分析】对A,赋值法令求解;对B,赋值法结合奇函数的定义判断;对C,令求得函数的周期求解;对D,利用单调性定义结合赋值法求解判断.
    【详解】对于A,令,可得,解得,故A错误;
    对于B,令,可得,又,
    则,所以函数是奇函数,故B正确;
    对于C,令,得,则是周期函数,周期为2,所以,故C错误;
    对于D,令,,且,则,
    即,而时,与2大小不定,故D错误.
    故选:B.
    二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知复数(是虚数单位),则下列正确的是( )
    A. B. z的虚部是3
    C. 若是实数,则D. 复数z的共轭复数为
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】对A,根据复数的模的计算公式即可判断;对B,根据复数虚部的定义即可判断;对C,根据复数的分类可判断;对D,根据共轭复数的定义即可判断.
    【详解】对于A,,故A正确;
    对于B,复数的虚部为3,故B正确;
    对于C,因为是实数,则,即,故C错误;
    对于D,复数的共轭复数为,故D错误.
    故选:AB.
    10. 已知事件A、B发生的概率分别为,,则下列说法正确的是( )
    A. 若A与B相互独立,则B. 若,则事件A与相互独立
    C. 若A与B互斥,则D. 若B发生时A一定发生,则
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.
    【详解】对于A,若A与B相互独立,则,
    所以,故A对;
    对于B,因为,,则,
    因为,所以事件与相互独立,故B对;
    对于C,若A与B互斥,则,故C错;
    对于D,若B发生时A一定发生,则,则,故D对.
    故选:ABD
    11. 将函数图象上所有的点向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列关于说法正确的是( )
    A. 的最小正周期为1
    B. 在上为增函数
    C. 对于任意都有
    D. 若方程在上有且仅有4个根,则
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】根据图象变换得到的解析式,进而可判断A,B,C选项;对D,题意转化为在上有且仅有4个根,根据正弦函数的性质求解判断.
    【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位,可得,
    再把所得各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到函数,
    对于A,周期,故A正确;
    对于B,令,,即,,
    所以函数的单调递增区间为,,故B错误;
    对于C,
    .故C正确;
    对于D,根据题意方程即在上有且仅有4个根,

    由正弦函数性质得,解得,故D错误.
    故选:AC.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知角的终边经过点,则的值为____________.
    【答案】
    【解析】
    【详解】试题分析:.
    考点:三角函数的定义
    13. 若函数的部分图像如图所示,则函数的解析式为_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据函数的图象求得,得到,再由和题设条件,求得,即可求得函数的解析式.
    【详解】由函数的图象可得,
    所以,即,
    又由,即,可得,
    即,
    又因为,所以,所以.
    故答案为:.
    14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,如图是一个正八边形的窗花,从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形,正八边形的边长为4,P是正八边形内的动点(含边界),则的取值范围为________.

    【答案】
    【解析】
    【分析】建立平面直角坐标系,得到向量的坐标,用向量的数量积坐标运算即可求解.
    【详解】
    以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立平面直角坐标系,

    过作垂线,垂足为,
    正八边形中,边长为4,所以,
    所以,所以,所以,
    设,
    则,所以,
    因为是正八边形内动点(含边界),
    所以的范围为
    所以,
    故答案为:.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知向量,
    (1)求;
    (2)若向量,向量与向量共线,求m的值.
    【答案】(1)5 (2)或
    【解析】
    【分析】(1)根据向量的坐标运算,向量模的公式运算得解;
    (2)根据向量的坐标运算求得和坐标,再由向量共线即可计算出的值.
    【小问1详解】
    因为,,
    所以,
    所以.
    【小问2详解】
    因为,,
    又与共线,所以,
    所以,解得或.
    所以的值为或.
    16. 2024年5月3日,搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭,在中国文昌航天发射场成功发射,这是我国航天器继嫦娥五号之后,第二次实现月球轨道交会对接,为普及探月知识,某校开展了“探月科普知识竞赛”活动,现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名,统计他们的成绩(满分100分),其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

    (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数;
    (2)若在抽取的80名学生中,从成绩在,,中采用分层抽样的方法随机抽取6人,再从这6人中选择2人,求被选中的2人均为“探月达人”的概率.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)根据给定的频率分布直方图,结合分位数的意义列式计算即得.
    (2)求出抽取的6人中,“探月达人”人数,再利用列举法求出概率.
    【小问1详解】
    由频率分布直方图知,成绩在内的频率依次为:
    ,则成绩在80分以下的频率为,成绩在90分以下频率为,
    因此参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为,由,解得,
    所以参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为.
    小问2详解】
    由于,
    则6人中,成绩在内的学生分别为3人,2人,1人,
    其中有3人为“探月达人”,设为,,,有3人不是“探月达人”,设为,
    则从6人中选择2人作为学生代表,有,共15种,
    其中2人均为“探月达人”为,共3种,
    所以被选中的2人均为“探月达人”的概率为.
    17. 已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
    (1)求角B;
    (2)若点D在上,为的角平分线,,求的最小值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用正弦定理进行角换边,再结合余弦定理即可得到答案;
    (2)根据面积法得,再利用乘“1”法即可得到最小值.
    【小问1详解】
    因为,
    所以由正弦定理可得,即,
    又因为,则,
    因为,所以.
    【小问2详解】
    因为
    所以,
    因为,所以,
    所以,即,
    所以,
    当且仅当时,取得最小值.
    18. 已知函数
    (1)求函数的最小值,以及取得最小值时x的集合;
    (2)已知,,,求的值.
    【答案】(1)最小值为,的集合为
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用三角恒等变换得,则得到其最小值和此时所对应的的集合;
    (2)首先求出,再计算出,,,最后化简为繁,利用两角和的余弦公式即可得到答案.
    【小问1详解】
    当,即时,取得最小值,
    此时的集合为.
    【小问2详解】

    则,因为,所以,
    又因为,所以,所以,
    因为,
    所以,
    因为,所以,
    .
    19. 若函数在定义域区间上连续,对任意,恒有,则称函数是区间上的上凸函数,若恒有,则称函数是区间上的下凸函数,当且仅当时等号成立,这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点,即若是上凸函数,则对任意,,…,恒有,若是下凸函数,则对任意,,…,恒有,当且仅当时等号成立.应用以上知识解决下列问题:
    (1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数(说明理由);
    (2)证明,上是上凸函数;
    (3)若A、B、C、,且,求的最大值.
    【答案】(1)下凸函数,理由见解析
    (2)证明见解析 (3)
    【解析】
    【分析】(1)作差,化简即可证明;
    (2)任意取,作差,再分析其符号即可;
    (3)根据(2)中结论得,代入计算即可得到答案.
    小问1详解】
    下凸函数,理由如下:任意取,
    因为
    即,当且仅当时等号成立,
    故是下凸函数.
    【小问2详解】
    任意取,不妨设,

    由于,根据在上单调递增,在上单调递减,
    则,
    所以,即函数是上凸函数.
    【小问3详解】
    当,且,
    由(2)知是上凸函数,
    所以,

    所以当且仅当时等号成立,
    即的最大值为.
    【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是作差因式分解得,再分析其正负即可.
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