2023-2024学年广西南宁市横州市八年级（下）期末数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁市横州市八年级（下）期末数学试卷 （含解析），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一组数据4，3，6，3，7，9的众数是（ ）
A．3B．4C．6D．7
2．下列各式中，可以与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．正比例函数y＝3x中，当y＝12时，自变量x的值是（ ）
A．12B．6C．4D．3
4．菱形ABCD中，∠D＝120°，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．30°C．20°D．15°
5．一次函数y＝﹣x+2的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（ ）
A．1B．C．D．
7．某小组5位同学的英语听力成绩分别为：25分，23分，28分，22分，30分．则这组数据的中位数为（ ）
A．22B．23C．25D．28
8．如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
9．一次函数y＝（k﹣1）x+2的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．k＞0B．k＜0C．k＞1D．k＜1
10．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（ ）
A．20B．16C．2D．4
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
12．如图1，两个夹角为θ（0°＜θ＜180°）的共点力F1和F2的合力F，可以用表示这两个力F1和F2的大小和方向的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形中这两条邻边之间对角线的大小和方向就表示合力F的大小和方向，这种方法我们常常称为平行四边形法则．如图2，一条小河水流的速度为2km/h，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向，大小为，则小船的实际行驶方向和速度为（ ）
A．北偏东30°，4km/hB．北偏东30°，
C．北偏西30°，4km/hD．北偏西30°，
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．计算：÷的结果是 ．
14．如果数据1，4，x，5的平均数是3，那么x＝ ．
15．小颖拿着5元钱去购买一些铅笔，铅笔单价为0.2元/支，他买了x支，尚可余y元，则y元与x支之间的函数表达式为 ．
16．边长为10的等边三角形的高为 ．
17．如图，正方形ABCD中，已知△ABE的面积等于8，CE＝3，则BE的长为 .
18．如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3，…，按此作法进行下去，则△OM2024N2024的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．计算：．
20．如图，这是小凯同学周末从家里去超市的时间和距离之间关系的图象．根据图象填空：
（1）小凯从家出发到超市用了 分钟；
（2）超市距离小凯家 米；
（3）小凯在超市停留了 分钟．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB＝60°，且AB＝4，求四边形ABCD对角线长．
22．智能电饭锅给人们生活带来了便利，市场需求越来越大，为了满足用户不同需求某电器厂推出甲，乙两种型号智能电饭锅在市场中进行试销，如图是根据甲，乙两种型号电饭锅的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表（结果保留一位小数）
解答问题：
（1）1月份甲，乙两种型号电饭锅的销售量分别是：甲 台，乙 台；
（2）写出统计分析表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（3）若该品牌准备在甲，乙两种型号电饭锅中选择一种进行大规模生产，请运用你所学的统计知识帮助厂家分析应该选择哪种型号电饭锅，请说明理由．
23．某公司招聘人才，对应聘者进行理论和技能两项测试，其中甲，乙两人的成绩如下表（单位：分）
（1）若根据两项测试的平均成绩在甲，乙两人中录用一人，谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将理论，技能两项测试得分按4：6的比确定各人最后成绩，若按此成绩在甲，乙两人中录用一人，谁将被录用？
（3）公司按照（2）中成绩计算方法，将每位应聘者的成绩绘制成如图所示的频数分布直方图，决定由高分到低分录用8名员工，甲，乙两人是否被录用？请说明理由．
24．手持电风扇深受消费者喜爱，某电风扇厂每天生产A，B两款手持电风扇共60件，这两款手持电风扇每件的成本和售价如表所示：
设每天生产A款手持电风扇x件，获得的总利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）如果电风扇厂每天投入A，B两款手持电风扇的成本最多为2640元，那么每天生产多少件A款手持电风扇时所获得利润最大？最大利润为多少？
25．如图是一个“探究拉力F与斜面高度h关系”的物理实验装置，A，B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC（斜面足够长且h≠0）斜向上做匀速直线运动，多次实验得出沿斜面的拉力F（N）与高度h（cm）的对应关系如下表所示：
解答问题：
（1）分析数据变化规律，求出F与h之间的函数表达式；
（2）若弹簧的最大拉力F是9N，求装置高度h的取值范围．
26．阅读材料并完成任务：
定义：如图1，我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：等腰梯形两条对角线相等；性质3：……
任务：
（1）写出等腰梯形性质2的逆命题： ，该命题是 （填“真”或“假”）命题．
（2）请补全等腰梯形的性质1的证明过程：
已知：如图2，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：∠A＝∠D，∠B＝∠C．证明：……
（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为点O，如果BD＝4cm，求梯形ABCD的上下底之和．
参考答案
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.)
1．一组数据4，3，6，3，7，9的众数是（ ）
A．3B．4C．6D．7
【分析】直接利用众数的定义求解．
解：一组数据4，3，6，3，7，9的众数是3．
故选：A．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
2．下列各式中，可以与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先对各项进行化简找出与是同类二次根式的项即可．
解：A．，与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B．，与是同类二次根式，所以能合并，故本选项符合题意；
C．，与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D．，与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
3．正比例函数y＝3x中，当y＝12时，自变量x的值是（ ）
A．12B．6C．4D．3
【分析】把y＝12代入y＝3x，解方程即可得到结论．
解：把y＝12代入y＝3x得，12＝3x，
解得x＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
4．菱形ABCD中，∠D＝120°，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．30°C．20°D．15°
【分析】由菱形的性质得AD＝CD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠1＝∠DCA，
∵∠D＝120°，
∴∠1＝×（180°﹣120°）＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
5．一次函数y＝﹣x+2的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的系数确定函数图象经过的象限，由此即可得出结论．
解：∵一次函数y＝﹣x+2中k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数系数的正负确定函数图象经过的象限是关键．
6．在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据勾股定理求解即可．
解：在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
7．某小组5位同学的英语听力成绩分别为：25分，23分，28分，22分，30分．则这组数据的中位数为（ ）
A．22B．23C．25D．28
【分析】把中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解：从小到大排列为22，23，25，28，30，
∵排在中间的数是25，
∴这组数据的中位数是25分．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是学生对中位数定义的掌握情况，解题的关键在于能够熟知中位数的定义，由此即可解答．
8．如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的长．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3cm，
∵BC＝AD＝5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
9．一次函数y＝（k﹣1）x+2的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．k＞0B．k＜0C．k＞1D．k＜1
【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出k﹣1＞0，解之即可得出k的值．
解：∵y随x的增大而增大，
∴k﹣1＞0，
解得：k＞1，
∴k的取值范围为k＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（ ）
A．20B．16C．2D．4
【分析】原式利用完全平方公式化简，将x与y的值代入计算即可求出值．
解：当x＝+1，y＝﹣1时，x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝20，
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
12．如图1，两个夹角为θ（0°＜θ＜180°）的共点力F1和F2的合力F，可以用表示这两个力F1和F2的大小和方向的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形中这两条邻边之间对角线的大小和方向就表示合力F的大小和方向，这种方法我们常常称为平行四边形法则．如图2，一条小河水流的速度为2km/h，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向，大小为，则小船的实际行驶方向和速度为（ ）
A．北偏东30°，4km/hB．北偏东30°，
C．北偏西30°，4km/hD．北偏西30°，
【分析】先根据题意作图，再根据勾股定理和三角函数求解．
解：如图2：AC为小船的实际行驶方向，
由题意得：∠CDA＝90°，CD＝2，AD＝2，
∴AC＝＝4，∠CAD＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握勾股定理和特殊角三角函数值是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．计算：÷的结果是 ．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则计算得出答案．
解：÷＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．
14．如果数据1，4，x，5的平均数是3，那么x＝ ．
【分析】根据平均数的概念建立关于x的方程，然后解方程即可．
解：根据题意得，（1+4+x+5）＝3，
解得x＝2．
故答案为：2．
【点评】解题的关键熟悉平均数的定义．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
15．小颖拿着5元钱去购买一些铅笔，铅笔单价为0.2元/支，他买了x支，尚可余y元，则y元与x支之间的函数表达式为 ．
【分析】依据题意，由余额＝总价﹣单价×数量，进而列式可以得解．
解：由题意，∵余额＝总价﹣单价×数量，
∴y＝5﹣0.2x．
故答案为：y＝5﹣0.2x．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
16．边长为10的等边三角形的高为 ．
【分析】由等边三角形的性质得到∠B＝60°，AB＝10，根据勾股定理即可求出AD的长．
解：如图，△ABC是边长为2的等边三角形，AD是高，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，AB＝10，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝，
∴AD＝＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理．
17．如图，正方形ABCD中，已知△ABE的面积等于8，CE＝3，则BE的长为 .
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，先证四边形EFBC是矩形，得出EF＝BC＝AB，再根据三角形的面积公式即可求出AB的长，于是得出BC的长，在Rt△BCE中根据勾股定理即可求出BE的长．
解：过点E作EF⊥AB于点F，如图，
∴∠EFB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠EFB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
∴EF＝BC，
∴AB＝EF，
∵△ABE的面积等于8，
∴，
即，
∴AB＝4，
∴BC＝4，
在Rt△BCE中，CE＝3，
由勾股定理得BE＝，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线l于点N3，…，按此作法进行下去，则△OM2024N2024的面积为 ．
【分析】根据题意，依次求出三角形的面积，发现规律即可解决问题．
解：过点N1作x轴的垂线，垂足为A，
∵点N1坐标为（1，1），
∴N1A＝OA＝1，
则∠N1OA＝45°．
∵N1M1⊥l，
∴△ON1M1是等腰直角三角形，
∴△ON1M1的面积为：＝20；
同理可得，
△ON2M2的面积为：4＝22；
△ON3M3的面积为：16＝24；
△ON4M4的面积为：64＝26；
…，
所以△ONnMn的面积为：22n﹣2（n为正整数），
当n＝2024时，
△ON2024M2024的面积为：24046．
故答案为：24046．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意依次求出三角形的面积并发现△ONnMn的面积为：22n﹣2（n为正整数）是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19．计算：．
【分析】先化简各二次根式，然后再合并同类二次根式即可．
解：
＝
＝．
【点评】本题主要考查的是二次根式的加减，先化简再计算是解题的关键．
20．如图，这是小凯同学周末从家里去超市的时间和距离之间关系的图象．根据图象填空：
（1）小凯从家出发到超市用了 分钟；
（2）超市距离小凯家 米；
（3）小凯在超市停留了 分钟．
【分析】（1）由题图即可得到答案．
（2）由题图即可得到答案．
（3）小凯在超市停留的时间，即题图中距离没有发生变化的一段时间．
解：（1）由题图可知，小凯从家出发到超市用了20分钟．
故答案为：20．
（2）由题图可知，超市距离小凯家900米．
故答案为：900．
（3）小凯在超市停留了30﹣20＝10（分钟）．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查函数的图象，读懂函数图象，从函数图象中获取解题所需信息是解题关键．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB＝60°，且AB＝4，求四边形ABCD对角线长．
【分析】（1）根据等角对等边得出OB＝OC，根据等腰三角形的性质推出AC＝BD，根据矩形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质和等边三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OC，BD＝2OB，
∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得平行四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝AC＝BD，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∴AC＝BD＝8，
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用矩形的性质是本题的关键．
22．智能电饭锅给人们生活带来了便利，市场需求越来越大，为了满足用户不同需求某电器厂推出甲，乙两种型号智能电饭锅在市场中进行试销，如图是根据甲，乙两种型号电饭锅的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表（结果保留一位小数）
解答问题：
（1）1月份甲，乙两种型号电饭锅的销售量分别是：甲 台，乙 台；
（2）写出统计分析表中a，b的值：a＝ ，b＝ ；
（3）若该品牌准备在甲，乙两种型号电饭锅中选择一种进行大规模生产，请运用你所学的统计知识帮助厂家分析应该选择哪种型号电饭锅，请说明理由．
【分析】（1）根据折线统计图数据解答即可；
（2）根据统计图数据和中位数的确定方法即可得到a的值；根据统计图数据和众数的确定方法即可得到b的值；
（3）可从各种统计量的意义方面考虑应该选择哪种型号的电饭锅即可．
解：（1）由统计图可知，1月份甲，乙两种型号电饭锅的销售量分别是：甲110台，乙140台；
故答案为：110，140；
（2）∵甲型号冰箱6个月试销数量由小到大排列为：110，120，130，140，140，140，
∴甲型号冰箱试销量的中位数a＝（130+140）÷2＝135，
∵乙型号冰箱6个月试销数量为：130，140，120，130，130，130，其中130出现4次，是出现次数最多的数据，
∴乙型号冰箱试销量的众数b＝130，
故答案为：135，130；
（3）建议选择乙型号的智能电饭锅在该商场进行销售，
理由：甲、乙型号智能电饭锅销售量的平均数都为130台，相比较乙型号智能电饭锅销售量的波动性更小，因此建议该品牌选择乙型号智能电饭锅在该商场进行销售．
【点评】本题考查折线统计图，近似数与有效数字，中位数，众数，方差，能从统计图中获取信息，明确统计量的意义是解题的关键．
23．某公司招聘人才，对应聘者进行理论和技能两项测试，其中甲，乙两人的成绩如下表（单位：分）
（1）若根据两项测试的平均成绩在甲，乙两人中录用一人，谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将理论，技能两项测试得分按4：6的比确定各人最后成绩，若按此成绩在甲，乙两人中录用一人，谁将被录用？
（3）公司按照（2）中成绩计算方法，将每位应聘者的成绩绘制成如图所示的频数分布直方图，决定由高分到低分录用8名员工，甲，乙两人是否被录用？请说明理由．
【分析】（1）利用算术平均数公式求得各自的成绩，然后进行比较即可确定；
（2）利用加权平均数公式即可求解；
（3）判断甲，乙两人成绩能否排进前8即可．
解：（1）甲的成绩为＝84.5（分），
乙的成绩为＝85（分），
∵85＞84.5，
∴乙将被录用；
（2）甲最后成绩为＝85（分），
乙最后成绩为＝84.4（分），
∵85＞84.4，
∴甲将被录用；
（3）由统计图可知，有7个人的成绩在85至90之间，由高分到低分录用8名员工，则甲将被录用；
此外有10个人的成绩在80至85之间，所以乙不一定被录用．
【点评】本题考查读频数分布直方图以及加权平均数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．手持电风扇深受消费者喜爱，某电风扇厂每天生产A，B两款手持电风扇共60件，这两款手持电风扇每件的成本和售价如表所示：
设每天生产A款手持电风扇x件，获得的总利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）如果电风扇厂每天投入A，B两款手持电风扇的成本最多为2640元，那么每天生产多少件A款手持电风扇时所获得利润最大？最大利润为多少？
【分析】（1）依据题意，根据表格数据可以求得A的利润与B的利润，从而可以求得总利润，写出相应的函数关系式；
（2）依据题意，列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
解：（1）由题意，得y＝（70﹣50）x+（50﹣35）（60﹣x）
＝20x+15（60﹣x）
＝5x+900．
∴y与x之间的函数关系式为y＝5x+900．
（2）由题意，50x+35（60﹣x）≤2640，
∴x≤36．
∵y＝5x+900，
又k＝5＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝36时，y取得取大值，y＝5×36+900＝1080．
∴当每天生产A款手持电风扇36件时，所获利润最大，最大是1080元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，灵活运用一次函数的性质解题．
25．如图是一个“探究拉力F与斜面高度h关系”的物理实验装置，A，B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC（斜面足够长且h≠0）斜向上做匀速直线运动，多次实验得出沿斜面的拉力F（N）与高度h（cm）的对应关系如下表所示：
解答问题：
（1）分析数据变化规律，求出F与h之间的函数表达式；
（2）若弹簧的最大拉力F是9N，求装置高度h的取值范围．
【分析】（1）依据题意，根据表格中数据变化规律，可判断F与h之间是一次函数，进而设这个一次函数为F＝ah+b，再结合表格数据建立方程组计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）F＝h+1，故当F≤9时，有h+1≤9，进而计算可以得解．
解：（1）根据表格中数据变化规律，可判断F与h之间是一次函数．
由题意，设这个一次函数为F＝ah+b，
又将h＝10，F＝2与h＝20，F＝3代入F＝hx+b得，
∴．
∴F与h之间的函数表达式为F＝h+1．
（2）由题意，结合（1）F＝h+1，
∴当F≤9时，有h+1≤9．
∴h≤80．
又∵h＞0且h≠0，
∴0＜h≤80．
答：当弹簧的最大拉力F是9N，装置高度h的取值范围为0＜h≤80．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
26．阅读材料并完成任务：
定义：如图1，我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质2：等腰梯形两条对角线相等；性质3：……
任务：
（1）写出等腰梯形性质2的逆命题： ，该命题是 （填“真”或“假”）命题．
（2）请补全等腰梯形的性质1的证明过程：
已知：如图2，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：∠A＝∠D，∠B＝∠C．证明：……
（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为点O，如果BD＝4cm，求梯形ABCD的上下底之和．
【分析】（1）根据逆命题的定义即可解决问题；
（2）过点A作DC的平行线交BC于点E，得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可解决问题；
（3）根据等腰梯形的性质得出AC＝BD，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）解：等腰梯形性质2的逆命题：对角线相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题，
故答案为：对角线相等的梯形是等腰梯形，真，
（2）证明：如图2，过点A作DC的平行线交BC于点E，
∵AE∥DC，
∴∠AEB＝∠C，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，∠C+∠D＝180°，
∴∠BAD＝∠D；
（3）解：如图3，过D点作DE∥AC，交BC的延长线于E，
∴∠BDE＝∠BOC，
∵AC⊥BD，
∴∠BDE＝∠BOC＝90°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD＝4cm，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝BD，AD＝CE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝BD＝4cm＝BC+CE＝BC+AD，
∴梯形ABCD的上下底之和等于4cm．
【点评】此题是四边形综合题，考查等腰梯形的性质，命题的真假，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，关键是根据等腰梯形的对角线相等解答．
型号
平均数
中位数
众数
方差
甲
130
a
140
133.3
乙
130
130
b
33.3
项目人员
理论
技能
甲
82
87
乙
88
82
成本（元/件）
售价（元/件）
A款
50
70
B款
35
50
高度h（cm）
…
10
15
20
25
30
…
拉力F（N）
…
2
2.5
3
3.5
4
…
型号
平均数
中位数
众数
方差
甲
130
a
140
133.3
乙
130
130
b
33.3
项目人员
理论
技能
甲
82
87
乙
88
82
成本（元/件）
售价（元/件）
A款
50
70
B款
35
50
高度h（cm）
…
10
15
20
25
30
…
拉力F（N）
…
2
2.5
3
3.5
4
…