2024年河南省中考数学真题试卷及答案解析

这是一份2024年河南省中考数学真题试卷及答案解析，共26页。试卷主要包含了 计算的结果是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 如图，数轴上点P表示的数是（）
A. B. 0C. 1D. 2
2. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（）
A. B. C. D.
4. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）
A. B.
C. D.
5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（）
A. B. 1C. D. 2
7. 计算的结果是（）
A. B. C. D.
8. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）
A. B. C. D.
9. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（）
A. B. C. D.
10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）
A. 当时，B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同D. P越大，插线板电线产生的热量Q越多
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出的一个同类项：_______．
12. 2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分．
13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________．
15. 如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
根据以上信息，回答下列问题．
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
（1）求这个反比例函数的表达式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
19. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）证明（1）中得到的四边形是菱形
20. 如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
23. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．
根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解．
【详解】解：根据题意可知点P表示的数为，
故选：A．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值是解题的关键．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：5784亿．
故选：C．
3. 【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
4. 【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可．从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面．
【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形；
故选A．
5. 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．
【详解】根据题意，可得，
A.此不等式组无解，符合题意；
B.此不等式组解集为，不符合题意；
C.此不等式组解集为，不符合题意；
D.此不等式组解集为，不符合题意；
故选：A
6. 【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．
7. 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
【详解】解：，
故选D
8. 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片分别记为A.B.C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为．
故选∶D．
9. 【答案】C
【解析】
【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解∶过D作于E，
∵是边长为的等边三角形的外接圆，
∴，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．
10. 【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案．
【详解】解：的一个同类项为，
故答案为：
12. 【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了众数的概念，解题的关键是熟知相关概念，出现次数最多的数叫做众数．
根据众数概念求解即可．
【详解】解：根据得分情况图可知：9分数的班级数最多，即得分的众数为9．
故答案为：9．
13. 【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．
【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
15. 【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵线段绕点C在平面内旋转，，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
在中，，
∵为定值，
∴当最大时，最大，最小时，最小，
∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最大值为；
当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：；．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 【答案】（1）9（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：
（1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可；
（2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 【答案】（1）甲 29
（2）甲 （3）乙队员表现更好
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶
（1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可；
（2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可；
（3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可．
【小问1详解】
解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
【小问2详解】
解∶因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
【小问3详解】
解∶甲的综合得分为，
乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
18. 【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；
（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
当时，，
∴反比例函数图象经过，，，
画图如下：
【小问3详解】
解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上，
∴平移后点E对应点的纵坐标为4，
当时，，
解得，
∴平移距离为．
故答案为：．
19. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角方法作图即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证．
【小问1详解】
解：如图，
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
20. 【答案】（1）见解析 （2）塑像的高约为
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证；
（2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
则．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高约为．
21. 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包
（2）选用A种食品3包，B种食品4包
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
【小问2详解】
解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴w随a的增大而减小．
∴当时，w最小．
∴．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
22. 【答案】（1）
（2）
（3）小明说法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断.
【小问1详解】
解：
，
∴当时，h最大，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意，得
当时，，
∴，
∴（负值舍去）；
【小问3详解】
解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得，
当时，，
解方程，得，，
∴两次间隔的时间为，
∴小明的说法不正确．
23. 【答案】（1）②④ （2）①．理由见解析；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；
（2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论；
②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可；
（3）分，，，四种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
【小问2详解】
解：①，理由：
延长至点E，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图，连接，过N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
当时，连接，过N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
综上，的长为或．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3