高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）2.3 向量的内积精品当堂达标检测题

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基础巩固
一、单选题
1．已知，与的夹角是120°，则等于（ ）
A．3B．－3C．－3D．3
【答案】B
【分析】由数量积的定义计算即可得出答案.
【详解】因为，与的夹角是120°，
由数量积的定义，得.
故选：B
2．以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ）
A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的
C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直
【答案】C
【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案.
【详解】对于任意得两个非零向量，，其中.
若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确；
若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确；
若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误；
若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确.
故选: C.
3．向量与的夹角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两向量的夹角的定义，即可得到答案.
【详解】根据两向量的夹角的定义，可得向量与向量的夹角的范围是，即.
故选：D.
4．已知向量与的夹角为，且，则的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积公式得出答案.
【详解】.
故选: A.
5．已知向量满足，则（ ）
A．－2B．－1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
6．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】由题意，先求出，然后根据向量的夹角公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
设与的夹角为，则，
因为，
所以，
故选：B.
7．若，与的夹角为135°，则（ ）
A．12B．12C．－12D．－12
【答案】C
【分析】直接利用数量积的定义求解即可
【详解】因为，与的夹角为135°，
所以，
故选：C
8．设，是单位向量，若，则的值为（ ）．
A．1B．0C．D．
【答案】A
【分析】直接根据平面向量数量积的运算律，将展开，计算结果.
【详解】因为，是单位向量，且，所以，，
所以
故选：A.
9．若与是相反向量，且=3，则等于（ ）
A．9B．0C．-3D．-9
【答案】D
【分析】直接根据向量的数量积公式求解即可.
【详解】由已知得
故选：D
二、填空题
10．若，，与的夹角为60°，且，则的值为 ．
【答案】/2.875
【分析】由及数量积的运算即可求解.
【详解】因为，所以,
即，即,
即，解得.
故答案为:.
11．已知，且，则与的夹角为 .
【答案】/
【分析】利用向量的数量积运算即可求出向量夹角.
【详解】与的夹角为，则，解得.
因为，所以.
故答案为：
12．当时，向量与的位置关系是 ．
【答案】共线
【分析】利用向量数量积的公式可得答案.
【详解】设向量与的夹角为，
因为，，
所以，此时或，
所以向量与的位置关系是共线.
故答案为：共线.
13．在四边形中，若，且，则四边形是 形.
【答案】矩形
【分析】利用向量相等可得四边形是平行四边形，根据可得，从而可得四边形是矩形.
【详解】因为，所以，且，此时，四边形是平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形是矩形.
故答案为：矩形
14．两个单位向量与的夹角为，则 ．
【答案】
【分析】利用向量基本运算进行计算即可.
【详解】两个单位向量与的夹角为，
，
故答案为：.
三、解答题
15．已知，在下列条件下求
(1)向量与平行时；
(2)向量与的夹角为﹔
(3)向量与垂直时．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）（2）（3）利用向量平行、垂直得出夹角，利用数量积公式可求答案；
【详解】（1）当向量与平行时，向量与的夹角为或，
由向量数量积的定义得或.
所以.
（2）当向量与的夹角为，由向量数量积的定义得，
所以.
（3）当向量与垂直时，向量与的夹角为，由向量数量积的定义得.
所以.
16．已知，，，求与的夹角．
【答案】
【分析】利用数量积计算和夹角的余弦，得夹角的值.
【详解】，因为夹角取值范围为，
所以，
故答案为：.
17．已知，，且与的夹角为60°，求．
【答案】1.
【分析】由，代入已知条件即可求出.
【详解】解：，解得.
能力进阶
18．已知，，与的夹角为．满足下列条件时，分别求与的数量积．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为30°时.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）分两种情况分析讨论得解；
（2）（3）直接利用数量积公式计算得解；直接利用数量积公式计算得解.
【详解】（1）解：当 时，若与同向，则，．
若与反向，则，．
（2）解：时，，．
（3）解：当与的夹角为30°时，．
19．已知，，且与互相垂直，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】因为与互相垂直，所以，整理化简，可得，由此即可证明结果.
【详解】证明：因为与互相垂直，
所以，
即．
又因为，
所以．
因为是非零向量，所以．