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中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（上册）第3章 圆锥曲线3.1 椭圆3.1.2 椭圆的几何性质优秀当堂达标检测题
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基础巩固
一、单选题
1．椭圆的长轴端点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程确定的值以及焦点位置，从而可得长轴端点坐标.
【详解】解：中，焦点在y轴上，所以长轴端点坐标为.
故选：C.
2．已知椭圆()的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先分析出圆的圆心从而确定出椭圆的焦点坐标，再根据短轴长度求解出椭圆方程中的值，从而左顶点可求.
【详解】因为圆即为，所以圆心为，
所以椭圆的一个焦点坐标为，故，又因为，则，
所以，所以，所以左顶点为.
故选：D.
【点睛】本题考查求解椭圆的左顶点坐标，涉及圆心坐标求解以及利用求解的值，难度较易.
3．以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出已知椭圆的两个焦点及短轴的两个端点坐标，确定出所求椭圆的长轴、短轴即可得解.
【详解】椭圆的两个焦点，短轴的两个端点，
则以点及为四个顶点的椭圆长轴长，短轴长，
其焦点在y轴上，中心在原点，方程为，
所以所求的椭圆方程是：.
故选：B
4．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】B
【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.
【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
5．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意列出关系式，结合与可求出椭圆的离心率．
【详解】椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，
，即，
又，，
，，
又，则，
因此椭圆的离心率为．
故选：B．
6．已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【分析】根据离心率求解，即可由焦点三角形求解周长.
【详解】因为的离心率为，且，所以，解得，则，所以的周长为.
故选：C
7．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.
【详解】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，
故，
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，
故选：D
8．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．4
【答案】B
【分析】将椭圆方程化为标准形式，再由条件列方程求的值.
【详解】椭圆化为标准方程为，故，
因为焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，
所以，
故选：B.
9．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点不在椭圆上B．点不在椭圆上
C．点在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
【答案】C
【分析】根据椭圆的对称性可判断.
【详解】点与点关于原点对称，
点与关于轴对称，
点与关于轴对称，
若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，
故选：C
10．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，即可判断作答.
【详解】椭圆的焦点在x轴上，
长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.
椭圆的焦点在x轴上，
长轴长为，短轴长为，焦距为8，离心率为，
所以两椭圆焦距相等.
故选：D.
二、填空题
11．中心在原点，焦点在x轴上，过点，且离心率为的椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】设出椭圆的方程，由所过定点求出，再根据结合离心率求出，可得椭圆的标准方程．
【详解】设椭圆的标准方程为，椭圆过点，，则，又，解得，因此椭圆的标准方程为
故答案为：
12．椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．
请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．
【答案】答案见解析
【分析】将椭圆方程化为标准方程，分别求出，从而可求出答案.
【详解】解：化椭圆方程为标准方程得，
则，
所以长半轴长为5，短轴长为6，焦距为8，
顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，
图像如图所示：
13．一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为 ．
【答案】12
【分析】由椭圆的离心率和的关系求出.根据椭圆的定义可得的周长为,即可得出答案.
【详解】因为椭圆的短半轴长是，所以.离心率是，所以.
由可得，即.
根据椭圆的定义，
可得的周长为.
故答案为：12.
14．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为；③离心率为；④一个顶点坐标为．选择一个条件可求得椭圆方程为的有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】由椭圆方程得值，得椭圆顶点坐标，离心率等值，再判断．
【详解】只需保证，，即可，
且椭圆的顶点坐标为，，离心率为，
故①②③可求得椭圆方程为．
故答案为：①②③
15．以椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】求出椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，进而可以得出答案.
【详解】椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点分别为，
则该椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，
则
所以以此为四个顶点的椭圆的标准方程为，
故答案为：.
三、解答题
16．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6，离心率为；
(2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；
(3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】(1)根据离心率与长轴的定义，求解出椭圆的、、，再按焦点所在坐标轴分别写出椭圆的标准方程即可；
(2)根据离心率与顶点坐标的定义，求解椭圆的、、即可
(3)根据为等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的关系即可.
【详解】（1）由题意得：，则，
又因为，所以，
则由椭圆的几何性质得：，所以，
所以椭圆的标准方程为：或.
（2）因为椭圆的焦点在轴上，由题设得：，
又因为，所以，
则由椭圆的几何性质得：，所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（3）设椭圆标准方程为：，
如图所示，为等腰直角三角形，为斜边上的中线，且，，
又因为焦距为6，所以，
则由椭圆的几何性质得：，
所以椭圆的标准方程为：.
17．求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解；
(3)答案见详解．
【分析】小问1：求出值，根据椭圆的几何性质一一求解即可；
小问2：求出值，根据椭圆的几何性质一一求解即可；
小问3：先化为标准方程再求出值，根据椭圆的几何性质一一求解即可．
(1)
由得，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
(2)
由得，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
(3)
由得，，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程.
（2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.
【详解】（1）由已知,，，得：，，从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，.
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为.
19．求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
【答案】(1)长轴长为6，短轴长为2，离心率为，焦点坐标为与，顶点坐标为，，，
(2)长轴长为，短轴长为4，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为.
【分析】把椭圆方程化为标准方程，结合的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.
【详解】（1）整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，
（2），整理为：，焦点在y轴上，则
，，所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，顶点坐标为
能力进阶
20．设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且过点P，求这个椭圆的方程．
【答案】＋＝1
【分析】利用椭圆过点，离心率和关系即可得出椭圆方程.
【详解】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上且过点P，
，又，
，
，
故这个椭圆方程是．
21．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定、、及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形.
【详解】（1）将化为标准方程为：，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，
椭圆图象如下：
（2）将化为标准方程为：，
因为，所以椭圆的焦点落在轴上，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，
椭圆图象如下：
基础巩固
一、单选题
1．椭圆的长轴端点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程确定的值以及焦点位置，从而可得长轴端点坐标.
【详解】解：中，焦点在y轴上，所以长轴端点坐标为.
故选：C.
2．已知椭圆()的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先分析出圆的圆心从而确定出椭圆的焦点坐标，再根据短轴长度求解出椭圆方程中的值，从而左顶点可求.
【详解】因为圆即为，所以圆心为，
所以椭圆的一个焦点坐标为，故，又因为，则，
所以，所以，所以左顶点为.
故选：D.
【点睛】本题考查求解椭圆的左顶点坐标，涉及圆心坐标求解以及利用求解的值，难度较易.
3．以椭圆的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出已知椭圆的两个焦点及短轴的两个端点坐标，确定出所求椭圆的长轴、短轴即可得解.
【详解】椭圆的两个焦点，短轴的两个端点，
则以点及为四个顶点的椭圆长轴长，短轴长，
其焦点在y轴上，中心在原点，方程为，
所以所求的椭圆方程是：.
故选：B
4．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】B
【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.
【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
5．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意列出关系式，结合与可求出椭圆的离心率．
【详解】椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，
，即，
又，，
，，
又，则，
因此椭圆的离心率为．
故选：B．
6．已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【分析】根据离心率求解，即可由焦点三角形求解周长.
【详解】因为的离心率为，且，所以，解得，则，所以的周长为.
故选：C
7．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.
【详解】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，
故，
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，
故选：D
8．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A．B．
C．2D．4
【答案】B
【分析】将椭圆方程化为标准形式，再由条件列方程求的值.
【详解】椭圆化为标准方程为，故，
因为焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，
所以，
故选：B.
9．若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点不在椭圆上B．点不在椭圆上
C．点在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
【答案】C
【分析】根据椭圆的对称性可判断.
【详解】点与点关于原点对称，
点与关于轴对称，
点与关于轴对称，
若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，
故选：C
10．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，即可判断作答.
【详解】椭圆的焦点在x轴上，
长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.
椭圆的焦点在x轴上，
长轴长为，短轴长为，焦距为8，离心率为，
所以两椭圆焦距相等.
故选：D.
二、填空题
11．中心在原点，焦点在x轴上，过点，且离心率为的椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】设出椭圆的方程，由所过定点求出，再根据结合离心率求出，可得椭圆的标准方程．
【详解】设椭圆的标准方程为，椭圆过点，，则，又，解得，因此椭圆的标准方程为
故答案为：
12．椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．
请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．
【答案】答案见解析
【分析】将椭圆方程化为标准方程，分别求出，从而可求出答案.
【详解】解：化椭圆方程为标准方程得，
则，
所以长半轴长为5，短轴长为6，焦距为8，
顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，
图像如图所示：
13．一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为 ．
【答案】12
【分析】由椭圆的离心率和的关系求出.根据椭圆的定义可得的周长为,即可得出答案.
【详解】因为椭圆的短半轴长是，所以.离心率是，所以.
由可得，即.
根据椭圆的定义，
可得的周长为.
故答案为：12.
14．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为；③离心率为；④一个顶点坐标为．选择一个条件可求得椭圆方程为的有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】由椭圆方程得值，得椭圆顶点坐标，离心率等值，再判断．
【详解】只需保证，，即可，
且椭圆的顶点坐标为，，离心率为，
故①②③可求得椭圆方程为．
故答案为：①②③
15．以椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点为四个顶点的椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】求出椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，进而可以得出答案.
【详解】椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点分别为，
则该椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，
则
所以以此为四个顶点的椭圆的标准方程为，
故答案为：.
三、解答题
16．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6，离心率为；
(2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；
(3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】(1)根据离心率与长轴的定义，求解出椭圆的、、，再按焦点所在坐标轴分别写出椭圆的标准方程即可；
(2)根据离心率与顶点坐标的定义，求解椭圆的、、即可
(3)根据为等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的关系即可.
【详解】（1）由题意得：，则，
又因为，所以，
则由椭圆的几何性质得：，所以，
所以椭圆的标准方程为：或.
（2）因为椭圆的焦点在轴上，由题设得：，
又因为，所以，
则由椭圆的几何性质得：，所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（3）设椭圆标准方程为：，
如图所示，为等腰直角三角形，为斜边上的中线，且，，
又因为焦距为6，所以，
则由椭圆的几何性质得：，
所以椭圆的标准方程为：.
17．求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解；
(3)答案见详解．
【分析】小问1：求出值，根据椭圆的几何性质一一求解即可；
小问2：求出值，根据椭圆的几何性质一一求解即可；
小问3：先化为标准方程再求出值，根据椭圆的几何性质一一求解即可．
(1)
由得，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
(2)
由得，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
(3)
由得，，，
所以椭圆的长轴长为、短轴长为、离心率为、
顶点坐标为，焦点坐标为；
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程.
（2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.
【详解】（1）由已知,，，得：，，从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，.
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为.
19．求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标：
(1)；
(2)．
【答案】(1)长轴长为6，短轴长为2，离心率为，焦点坐标为与，顶点坐标为，，，
(2)长轴长为，短轴长为4，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为.
【分析】把椭圆方程化为标准方程，结合的值求出长轴长，短轴长，离心率及焦点坐标，顶点坐标.
【详解】（1）整理为：，焦点在x轴上，则，，，所以长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为与，顶点坐标为，，，
（2），整理为：，焦点在y轴上，则
，，所以，长轴长为，短轴长为，离心率，焦点为，顶点坐标为
能力进阶
20．设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，且过点P，求这个椭圆的方程．
【答案】＋＝1
【分析】利用椭圆过点，离心率和关系即可得出椭圆方程.
【详解】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上且过点P，
，又，
，
，
故这个椭圆方程是．
21．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定、、及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形.
【详解】（1）将化为标准方程为：，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，
椭圆图象如下：
（2）将化为标准方程为：，
因为，所以椭圆的焦点落在轴上，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，
椭圆图象如下：
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