[数学][期末]吉林省BEST学校联合体2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]吉林省BEST学校联合体2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的．
1. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，即，得到或，所以得不出，
当时，有，即可以得出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：A.
2. 设集合是4与6的公倍数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知：，
显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12，
所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.
故选：B.
3. 已知，则的最小值为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】因为,
,
当且仅当，即时取得等号，
即的最小值为12，
故选：C
4. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于选项A，易知函数的定义域为，
又在上恒成立，得到的减区间为，，所以选项A错误，
对于选项B，由，得到，关于原点对称，
又，所以为奇函数，
又，得到在区间上恒成立，
即在其定义域上是增函数，所以选项B正确，
对于选项C，因为的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，所以选项C错误，
对于选项D，由性质知，在其定义域上不具有单调性，所以选项D错误，
故选：B.
5. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】，故，故选：C
6. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 是上的增函数
B. 的值域为
C. 单调递减
D. 若关于的方程恰有一个实根，则
【答案】D
【解析】因为，其图象如图所示，
对于选项A，由图知，时，，所以选项A错误，
对于选项B，由图知，当时，，所以选项B错误，
对于选项C，由图知，在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以选项C错误，
对于选项D，由，得到，
令，，
因为关于的方程恰有一个实根，
所以与的图象恰有一个交点，由图知，
故选：D.
7. 若，，，则正数大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，则为与交点的横坐标，
由，则为与交点的横坐标，
由，即，则为与交点的横坐标，
作出，，，的图象如下所示，
由图可知，.
故选：B
8. 已知，，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由，得到，令，得到
所以为函数与交点的横坐标，
由，得到，所以为函数与交点的横坐标，
又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称，
又关于对称，
由，得到，
所以，得到，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】因为，所以错误；
因为，所以正确；
因为，所以错误；
因为，所以D正确.
故选：BD
10. 已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的一个周期是
B. 函数的一个周期是
C. 若，则
D. 若当时，，则当时，
【答案】BCD
【解析】对于选项A，因为为奇函数，所以，
令，得到，
即有，故可得，
又为偶函数，所以，即有，
所以，得到，所以，
即函数的一个周期是，所以选项A错误，
对于选项B，因为为奇函数，所以，又，
所以，即，
所以函数的一个周期是，所以选项B正确，
对于选项C，由选项A和B知，，
又，，所以，故选项C正确，
对于选项D，因为当时，，
所以当时，，所以，
所以选项D正确，
故选：BCD.
11. 已知数列满足，，则（ ）
A. 是递减数列B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A：易知，否则与矛盾，由，得，
所以，所以数列是递增数列，故A错误；
对于B：由选项A的判断知，所以，
由，得，
所以，，
即，故B正确；
对于C：由，得，则
所以，故C错误；
对于D：由，得，
即，
所以， ，故D正确.
故选：BD
第Ⅱ卷 主观题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．
12 若，则__________.
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：1.
13. 已知定义在上的偶函数满足，当时，，则________
【答案】
【解析】因为，所以函数的周期，
所以，又为偶函数，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知集合，A是M的子集，当时，，则集合A元素个数的最大值为_______．
【答案】1895
【解析】先构造抽屉：．使前100个抽屉中恰均只有2个数，且只有1个数属于A，可从集合M中去掉前100个抽屉中的数，剩下个数，作为第101个抽屉．
现从第1至100个抽屉中取较大的数，和第101个抽屉中的数，组成集合A，于是
，
满足A包含于M，且当时，．
所以的最大值为．
故答案为：1895.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程.
15. 已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）设数列的公差为，由已知有
，即，解得（舍），
，；
（2），
.
16. 已知函数．
（1）若，求在上的最值；
（2）若在R上单调递减，求a的值．
解：由时，可得，
则，
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数在单调递增，在上单调递减，在单调递增，
又由，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
（2）由函数，可得，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
则满足，整理得且，解得.
17. 医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少．
（1）求k的值；
（2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1）
（3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，）
解：（1）依题意，，解得，所以k的值为.
（2）血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为．
由，得，两边取对数得：，
解得，
所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持.
（3）设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即，
记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间，
则
，
由，得，即，两边取对数得：
，解得，
又，
所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持．
18. 对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．
（1）求的值：
（2）若，求数列的前项和
（3）对互不相等的质数，证明：，并求的值．
解：（1）因为的所有正因数为，
所以，得到.
（2）因为共有个正因数，它们为，
所以，得到，
所以，
令①，则②，
由①②得到，
所以，
故.
（3）因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是，
的正因数均为个，分别为和，
的正因数有个，分别为，
所以，
，
因为，
所以.
19. 已知函数在上的极小值点从小到大排列成数列，函数．
（1）求在处切线方程；
（2）求的通项公式；
（3）讨论的零点个数．
解：（1）因为，所以，
得到，
又，所以在处的切线方程为.
（2）因为，令，则，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
在上递减，在上递增，
又，，，
，这里，
结合的单调性知，当时，，
对，存在唯一的，使得，
且在上取正值，在上取负值，
对，存在唯一的，使得，
且在上取负值，在上取正值，
这表明对，在和上递增，
在和上递增，
从而上递增，在和上递减，
从而，在上递增，在上递减，在上递增，且，
将以上讨论与结合，即可得到在上全部的极小值点就是，且是递增数列，所以，
又注意到，，结合的定义，知一定有，
所以的通项公式为.
（3）由已知有，
而，
故，
设，
则我们只需要讨论的零点个数，
又，令，
则，
由零点存在定理知存在唯一的，使得，
故当时，有，
从而，
当，有，
从而，
即在上单调递增，
在上单调递减，
又，，
则存在唯一的，
使得，
且当或时，，
当时，，
所以在或上递增，
在上递减，又，
当时，由于，，
故，又因为，
所以根据的定义可知此时，
故在上递增，在上递减，
再由，可知当时，，
而当时，有，
所以此时，且当时有，
这表明在上恰有1个零点，显然该零点不为，
又是偶函数，故的零点个数为，
当时，有，
由于
，
结合的单调性及，知存在唯一，
使得，且当时，，
当时，，
同时，当时，有，
当时，有
，
结合前面的讨论，知此时，
且当时，有，
当时，有，
所以在上恰有个零点，且这两个零点都不为，
又易知是偶函数，所以的零点个数为，
又，故与的零点个数相等，
所以，当时，的零点个数为；
当时，的零点个数为.