2023-2024学年吉林省长春市经开区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年吉林省长春市经开区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若a>b，则下列式子正确的是( )
A. a+3>b+3B. a3−b3
3.如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示，由这两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集为( )
A. −1≤x≤0B. x≥2C. −1≤x≤2D. x≥−1
4.如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA=18m，PB=16m，那么A、B之间的距离不可能是( )
A. 18mB. 26mC. 30mD. 34m
5.风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转( )度.
A. 60B. 120C. 180D. 270
6.长春市图书馆决定对某些楼层地面进行维修，选用同一种大小相等、形状相同的瓷砖密铺地面，下列图形不能做到无缝隙，不重叠要求的是( )
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
7.一副三角板如图所示摆放，其中含45∘角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若∠1=23∘，则∠2的度数是( )
A. 23∘
B. 28∘
C. 38∘
D. 39∘
8.如图，在△ABC中，∠B=40∘，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C′，点A，B的对应点分别是A′，B′，边A′B′经过点A，若∠B′CA=37∘，则∠BAC的大小为( )
A. 77∘B. 78∘C. 79∘D. 80∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知方程2x+y=1，请用含x的式子表示y，得y=______.
10.若x=1是关于x的方程3x+a=4的解，则a=______.
11.在现代装饰中，仿古艺术品被广泛应用，图①是一面雕花窗格，其主体轮廓是一个正八边形，如图②是它的示意图，则它的一个内角α=______ ∘.
12.如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A、D之间的距离为2，CE=4，则BF=______.
13.如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙AD、CE，其中木块墙AD=24cm，CE=12cm.木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE=______cm.
14.如图，将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部的A′处，若∠A=40∘，∠1=25∘，则∠2=______.
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
解下列方程(组)：
(1)x+3=9−2x；
(2)5x+y=73x−y=1.
16.(本小题6分)
解下列不等式(组)：
(1)x≤2x−(1−x)；
(2)2x−40.
17.(本小题6分)
列方程解应用题：
某校红星年级组织学生到上海东方绿洲进行社会实践，A组同学共有58人，B组同学共有32人，在进行划船项目时，由于船只有限，需要从C组调来18人分别加入A组和B组，为了使A组人数是B组人数的2倍，问应调往A组多少人？
18.(本小题7分)
如图，C是AB的中点，∠ACD=∠CBE，∠D=∠E.求证：△ACD≌△CBE.
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N、O均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
(1)在图①中，画出图中△ABC向下平移3格后的△DEF；
(2)在图②中，画出图中△ABC关于直线MN对称的△DEC；
(3)在图③中，画出图中△ABC绕点O顺时针旋转90∘后的△DEF.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，已知DE//BC，且DB=DE.
(1)求证：BE平分∠ABC；
(2)若∠A=65∘，∠C=45∘，则∠AEB=______ ∘.
21.(本小题8分)
某校“书香校园”活动开展的有声有色，广播中“师生同读一本书”更是激发了同学们读书的热情，为提高学生的阅读品味，学校决定购买获得“茅盾文学奖”的甲、乙两种图书，已知购买1本甲种图书和2本乙种图书共需80元，购买2本甲种图书和3本乙种图书共需130元.
(1)求甲，乙两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校决定购买甲，乙两种图书共50本，且购书总费用不超过1450元，那么该校至少可以购买甲种书多少本？
22.(本小题8分)
对于有理数a，b，定义M(a,b)的含义为：当a≥b时，M(a,b)=a；当a(1)M(2,−3)=______；
(2)若M(2x−1,2)=2，求x的取值范围；
(3)若M(−2x+1,x−1)=3，直接写出x的值.
23.(本小题10分)
【发现】如图①，AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC，求证：BD=CE；
【拓展】如图②，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D、B、C在同一直线上，连结CE，则∠ACE=______ ∘，若AC=3，CE=5，则CD=______.
【应用】如图③，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，点D、B、C在同一直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连结CE，则∠DCE=______ ∘，若AH=2，CE=4，则CD=______.
24.(本小题12分)
在△ABC中，∠BAC=90∘，∠B=60∘，AB=6，BC=12，D是线段BC的中点，动点P从点C出发以每秒3个单位长度的速度沿线段CB向终点B运动，设点P的运动时间为t秒.(t>0)
(1)BP=______(用t的代数式表示)；
(2)点P出发______秒后，DP=2CP；
(3)当AP⊥BC时，求t的值；
(4)在点P运动的同时，有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿D−A−D作往返运动，当点P运动到终点B时，点Q也随之停止运动，在两点运动的过程中，若△PDQ为等腰三角形，直接写出t的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据中心对称图形的定义，可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意，
故选：D.
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、∵a>b，
∴a+3>b+3，故本选项符合题意；
B、∵a>b，
∴a3>b3，故本选项不符合题意；
C、∵a>b，
∴3a>3b，故本选项不符合题意；
D、∵a>b，
∴−a3<−b3，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，不等式组的解集为x≥2.
故选：B.
根据一元一次不等式组解集的表示方法解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取较大”是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：根据三角形的三边关系可得：18−16即2∴A、B之间的距离不可能是34，
故选：D.
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得18−16此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
5.【答案】B
【解析】解：该图形被平分成三部分，旋转120∘的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120.
故选：B.
该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120∘，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
6.【答案】C
【解析】解：A、正三角形的一个内角为60∘，是360∘的约数，能能做到无缝隙，不重叠，不符合题意；
B、正方形的一个内角度数为90∘，是360∘的约数，能能做到无缝隙，不重叠，不符合题意；
C、正五边形的一个内角度数为180−360÷5=108∘，不是360∘的约数，不能做到无缝隙，不重叠，符合题意；
D、正六边形的一个内角度数为180−360÷6=120∘，是360∘的约数，能做到无缝隙，不重叠，不符合题意；
故选：C.
看哪个正多边形的一个内角的度数不是360∘的约数，就不能做到无缝隙，不重叠．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
7.【答案】C
【解析】解：如图，
由题意得：∠A=45∘，∠B=30∘，
∵∠1=23∘，
∴∠3=∠1+∠A=68∘，
∴∠2=∠3−∠B=38∘.
故选：C.
利用三角形的外角性质进行求解即可．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
8.【答案】A
【解析】解：∵将△BAC绕点C逆时针旋转得到△B′A′C，
∴∠B=∠B′=40∘，∠BAC=∠B′A′C，CA=CA′，
∴∠B′A′C=∠CAA′，
∵∠CAA′=∠B′+∠ACB′=77∘，
∴∠BAC=∠B′A′C=∠CAA′=77∘，
故选：A.
由旋转的性质可得∠B=∠B′=40∘，∠BAC=∠B′A′C，CA=CA′，由外角的性质和等腰三角形的性质可得∠BAC=∠B′A′C=∠CAA′=77∘.
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】1−2x
【解析】解：∵2x+y=1，
∴y=1−2x，
故答案为1−2x.
将方程移项，得到y=1−2x.
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
10.【答案】1
【解析】解：∵x=1是关于x的方程3x+a=4的解，
∴3×1+a=4，
∴a=1.
故答案为：1.
将x=1代入方程3x+a=4之中即可求出a的值．
此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程解的定义，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键．
11.【答案】135
【解析】解：α=180∘−360∘÷8=180∘−45∘=135∘.
故答案为：135.
根据多边形的内角和为360∘，求出每个外角的度数，再根据邻补角的定义即可求得．
本题主要考查多边形的内角与外角，灵活运用以上知识点是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，
∴BE=CF=2，
∵CE=4，
∴BF=CF+BE+CE=2+2+4=8.
故答案为：8.
根据平移的性质得到BE=CF=2，即可求解．
本题考查平移的性质，解答本题的关键是熟练掌握平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
13.【答案】36
【解析】解：由题意得AB=BC，∠ABC=90∘，AD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠BEC=90∘，
∴∠ABD+∠CBE=90∘，∠BCE+∠CBE=90∘，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
∠ABD=∠BCD∠ADB=∠BECAB=BC，
∴△ABD≌△BCE(AAS)；
∴AD=BE=24cm，DB=EC=12cm，
∴DE=DB+BE=36cm，
即：两堵木墙之间的距离为36cm.
故答案为：36.
根据题意可得AB=BC，∠ABC=90∘，AD⊥DE，CE⊥DE，进而得到∠ADB=∠BEC=90∘，再根据等角的余角相等可得∠ABD=∠BCE，再证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
14.【答案】55∘
【解析】解：根据平角的定义和折叠的性质，得∠1+∠2=360∘−2(∠3+∠4).
又∠3+∠4=180∘−∠A，
∴∠1+∠2=360∘−2(180∘−∠A)=2∠A=80∘，
∴∠2=80∘−25∘=55∘，
故答案为：55∘.
根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2=360∘−2(∠3+∠4)，再利用三角形的内角和定理进行转换，得∠1+∠2=360∘−2(180∘−∠A)=2∠A.
此题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，掌握平角的定义、折叠的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
15.【答案】解：(1)x+3=9−2x，
x+2x=9−3，
3x=6，
x=2；
(2){5x+y=7①3x−y=1②，
①+②得5x+3x=7+1，
解得x=1，
把x=1代入①得5+y=7，
解得y=2，
∴方程组的解为x=1y=2.
【解析】(1)先移项，合并同类项，再系数化为1即可；
(2){5x+y=7①3x−y=1②，先由①+②得5x+3x=7+1，求出x，然后把x的值代入①可求出y，从而得到方程组的解．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，关键是相关法则的熟练掌握．
16.【答案】解：(1)去括号得：x≤2x−1+x，
移项、合并同类项得：−2x≤−1，
解得：x≥12.
(2){2x−40②，
解不等式①得：x<5，
解不等式②得：x>4.
∴不等式组的解集为4【解析】(1)根据一元一次不等式的解法计算即可．
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法是解答本题的关键．
17.【答案】解：设应调往A组x人，则调往B组(18−x)人，
由题意得：58+x=2[32+(18−x)]，
解得：x=14，
答：应调往A组14人．
【解析】设应调往A组x人，则调往B组(18−x)人，根据A组人数是B组人数的2倍，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18.【答案】解：∵C是AB的中点，
∴BC=AC，
在△ACD和△CBE中，
∠D=∠E∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS).
【解析】先利用线段的中点得到BC=AC，然后根据“AAS”可判断△ACD≌△CBE.
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
19.【答案】解：(1)如图①中，△DEF即为所求；
(2)在图②中，△DEC即为所求；
(3)在图③中，△DEF即为所求．

【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
(2)利用轴对称变换的性质分别作出A，B的对应点的D，E即可；
(3)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点D，E即可．
本题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，作图-平移变换，解题的关键是学会掌握平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】80
【解析】(1)证明：∵DE//BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠CBE=∠DBE，
∴BE平分∠ABC；
(2)解：∵∠A=65∘，∠C=45∘，
∴∠ABC=70∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=35∘，
∴∠AEB=180∘−∠A−∠ABE=80∘.
故答案为：80.
(1)根据DE//BC证得∠DEB=∠CBE，根据DB=DE证得∠DBE=∠DEB，等量代换证得∠CBE=∠DBE，进而证得结论；
(2)根据∠A=65∘，∠C=45∘求出∠ABC=70∘，所以∠ABE=35∘，再利用三角形内角和求出∠AEB的度数．
本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理．
21.【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：x+2y=802x+3y=130，
解得：x=20y=30，
答：甲种书的单价是20元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(50−m)本，
根据题意得：20m+30(50−m)≤1450，
解得：m≥5，
∴m的最小值为5.
答：该校至少可以购买甲种书5本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买1本甲种书和2本乙种书共需80元；购买2本甲种书和3本乙种书共需130元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(50−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1450元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】2
【解析】解：(1)∵2>−3，
∴M(2,−3)=2，
故答案为：2；
(2)∵M(2x−1,2)=2，
∴2x−1<2，
解得：x<1.5；
(3)已知M(−2x+1,x−1)=3，
若−2x+1≥x−1，即x≤23时，−2x+1=3，
解得：x=−1；
若−2x+123时，x−1=3，
解得：x=4；
综上，x的值为−1或4.
(1)根据定义即可求得答案；
(2)根据定义列得一元一次不等式，解不等式即可；
(3)根据定义分情况讨论并列得方程，解方程后判断是否符合题意即可．
本题考查解一元一次方程及一元一次不等式，结合已知条件列得正确的方程及不等式是解题的关键．
23.【答案】120 8 90 8
【解析】【发现】证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，即∠DAB=∠EAC，
在△BAD和△EAC中，
AD=AE∠BAD=∠EACAB=AC，
∴△BAD≌△EAC(SAS)，
∴BD=CE；
【拓展】解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC=BC=3，AD=AE，∠DAE=∠BAC=60∘，
∴∠ABD=180∘−60∘=120∘，
由【发现】可知：△BAD≌△EAC(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD=120∘，BD=CE=5，
∴CD=BD+BC=5+3=8，
故答案为：120，8；
【应用】解：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ABD=180∘−45∘=135∘，
由【发现】可知：△BAD≌△EAC(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD=135∘，BD=CE=4，
∵∠ACB=45∘，
∴∠DCE=135∘−45∘=90∘，
在等腰直角△ABC中，AH⊥BC，AH=2，
则BC=2AH=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
故答案为：90，8.
【发现】证明△BAD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=CE；
【拓展】根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC=3，AD=AE，∠DAE=∠BAC=60∘，仿照【发现】的证明方法解答；
【应用】根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=45∘，得到∠ABD=135∘，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
24.【答案】12−3t23
【解析】解：(1)∵CP=3t，
则BP=BC−CP=12−3t，
故答案为：12−3t；
(2)由题意得：CP=3t，DP=|3t−6|，
∵DP=2CP，则2×3t=|3t−6|，
解得：t=23，
故答案为：23；
(3)当AP⊥BC时，则∠BAP=90∘−∠B=30∘，
则BP=12AB=3，则PC=12−3=9，
则t=9÷3=3；
(4)点P运动的时间为12÷4=4，
当0≤t≤2时，
此时，点P在CD上，点Q在D−A上，
则DQ=DP，即2t=6−3t，
解得：t=65；
当2此时点P在D−A上，点P在BD上，
∵∠ADB=60∘，△PDQ为等腰三角形，
则△PDQ为等边三角形，
则PD=DQ，即3t−6=2t，
解得：t=6(舍去)；
当3此时点P在A−D上，点P在BD上，
∵∠ADB=60∘，△PDQ为等腰三角形，
则△PDQ为等边三角形，
则PD=DQ，即3t−6=6−(2t−6)，
解得：t=185；
综上，t=65或185.
(1)CP=3t，则BP=BC−CP=12−3t，即可求解；
(2)由题意得：CP=3t，DP=|3t−6|，DP=2CP，则2×3t=|3t−6|，即可求解；
(3)当AP⊥BC时，则∠BAP=90∘−∠B=30∘，则BP=12AB=3，则PC=12−3=9，即可求解；
(4)当0≤t≤2时，此时，点P在CD上，点Q在D−A上，则DQ=DP，即2t=6−3t，解得：t=65；当2本题为三角形综合题，涉及到直角三角形、等边三角形的性质等，分类求解是解题的关键．