2023-2024学年安徽省六安市金寨县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市金寨县七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列各数中，是无理数的是( )
A. −2B. π
C. 3.1415D. 13
2.清⋅袁牧的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.若苔花的花粉直径约为0.0000085米，数据“0.0000085”用科学记数法表示为( )
A. 0.85×10−5B. 8.5×10−6C. 8.5×10−7D. 85×10−8
3.下面的计算正确的是( )
A. x3⋅x3=2x3B. (x3)2=x5
C. (6xy)2=12x2y2D. (−x)4÷(−x)2=x2
4.如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是( )
A. B.
C. D.
5.估计 72−2的值在( )
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
6.下列不等式变形正确的是( )
A. 由mc>nc，得n>mB. 由m2>n2，得mC. 由m>n>0，c>0，得mc>ncD. 由m>n，得|m|>|n|
7.如果(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，那么m的值为( )
A. 0B. −3C. 3D. 1
8.如图，将含有30∘角的直角三角尺的直角顶点与一张长方形纸片的顶点重合，其中一个锐角顶点在一边上.若∠1=55∘，则∠2的度数是( )
A. 15∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 35∘
9.若关于x的分式方程7xx−1+3=2m−1x−1有增根，则m的值为( )
A. 0B. 12C. 1D. 4
10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如8=32−12，16=52−32，即8，16均为“和谐数”.在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为( )
A. 255024B. 253008C. 257048D. 255054
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.因式分解：mn2−4m=______.
12.如图，将三角形ABC沿BC方向平移5cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为18cm，则四边形ABFD的周长为______cm.
13.已知10a=20，10b=50，则a+b的值是______.
14.在实数范围内定义运算“※”；m※n=m+n−6mn(mn≠0)，请解决下列问题：
(1)3※2=______；
(2)若(x−1)※(x+2)=Ax−1+Bx+2，则2A−B=______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 25+(−2023)0+(12)−1.
16.(本小题8分)
解不等式3+x2−1≥4(x+1)3，并把它的解集在数轴上表示出来.
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(1m−1−1m+1−1)÷1m2−1，其中m= 3.
18.(本小题8分)
某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
19.(本小题10分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点都在网格线的交点处，现将三角形ABC平移得到三角形DEF，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E.
(1)请画出平移后的三角形DEF；
(2)若连接AD，CF，则这两条线段之间的关系是______.
20.(本小题10分)
如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接AD和BC，∠1+∠2=180∘，∠A=∠C，AD平分∠BDF.
(1)证明：AB//CD；
(2)BC是否平分∠DBE？请说明理由.
21.(本小题12分)
观察以下等式：
第1个等式：12+1=14−1×92，
第2个等式：12+12=19−1×8，
第3个等式：12+13=116−1×252，
第4个等式：12+14=125−1×18，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明.
22.(本小题12分)
图①是一个长为m，宽为4n(m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
(1)观察图②，可得：(m+n)2−(m−n)2=______；
(2)若m−n=7，mn=6，求(m+n)2的值．
(3)当(x−10)(20−x)=8时，求(2x−30)2的值．
23.(本小题14分)
【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题解决】(1)如图1，AB//CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE.若∠A=42∘，∠C=28∘.则∠AEC=______.
【问题探究】(2)如图2，AB//CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A=36∘，∠C=54∘，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
【问题拓展】(3)如图3.AB//CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD=56∘，∠GDE=20∘，过点D作DF//CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查无理数的定义，关键是要牢记无理数的定义，无理数是指无限不循环小数．根据无理数是无限不循环小数解答即可．
【解答】
解：−2是整数，是有理数，故A不符合题意；
π是无限不循环小数，是无理数，故B选项符合题意；
3.1415是有限小数，是有理数，故C不符合题意；
13是有理数，故D不符合题意．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000085=8.5×10−6.
故选：B.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查的是科学记数法，熟知用科学记数法表示较小的数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.x3⋅x3=x6，故本选项不合题意；
B.(x3)2=x6，故本选项不合题意；
C.(6xy)2=36x2y2，故本选项不合题意；
D.(−x)4÷(−x)2=x2，故本选项符合题意；
故选：D.
分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵C中∠1和∠2是由四条直线组成，
∴∠1和∠2不是同位角．
故选：C.
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵82=64，92=81，而64<72<81，
∴8< 72<9，
∴6< 72−2<7，
故选：B.
根据算术平方根的定义估算无理数 72的大小，进而估算 72−2的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
6.【答案】C
【解析】解：A.由mc>nc，当c>0时，得m>n；当c<0时，得mB.由m2>n2，得m>n或mC.由m>n>0，c>0，得mc>nc，故此选项符合题意；
D.由m>n，得|m|>|n|或|m|<|n|，故此选项不符合题意．
故选：C.
依据不等式的基本性质进行分析，即可得到正确结论．
本题考查不等式的基本性质，在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．掌握不等式的基本性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：(x+m)(x+3)=x2+3x+mx+3m，
∵(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
∴m=−3，
故选：B.
先计算(x+m)(x+3)=x2+3x+mx+3m，根据(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，可得3+m=0，进一步求解即可．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠3=∠1=55∘，
∴∠2=∠3−∠E=55∘−30∘=25∘.
故选：B.
由平行线的性质得到∠3=∠1=55∘，由三角形外角的性质得到∠2=∠3−∠E=55∘−30∘=25∘.
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到∠3=∠1=55∘，由三角形外角的性质即可求解．
9.【答案】D
【解析】解：7xx−1+3=2m−1x−1，
去分母，得7x+3(x−1)=2m−1.
去括号，得7x+3x−3=2m−1.
移项，得10x=2m−1+3.
合并同类项，得10x=2m+2.
x的系数化为1，得x=m+15.
∵关于x的分式方程7xx−1+3=2m−1x−1有增根，
∴m+15=1.
∴m=4.
故选：D.
根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设两个连续的奇数分别为：2n−1，2n+1，
∵(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=8n，
∴任意一个“和谐数”是8的倍数，
又∵2023÷8=25278，
∴在不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为：8×252=2016，
∴在不超过2023的整数中，“和谐数”分别为：8，16，24，32，……，2016，
又∵8=32−12，16=52−32，24=72−52，32=92−72，……，2016=5052−5032，
∴8+16+24+32+……+2016
=32−12+52−32+72−52+92−72+……+5052−5032
=5052−12
=255024.
故选：A.
首先设两个连续的奇数分别为：2n−1，2n+1，计算(2n+1)2−(2n−1)2=8n，再计算：2023÷8=25278，从而可得出不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为：8×252=2016，而2016=5052−5032，据此可计算出在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是判断出在不超过2023的正整数中最大的“和谐数”是2016.
11.【答案】m(n+2)(n−2)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．首先提公因式m，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】
解：原式=m(n2−4)
=m(n+2)(n−2).
故答案为m(n+2)(n−2).
12.【答案】28
【解析】解：∵将△ABC沿BC方向平移5cm得到△DEF，
∴AD=CF=5cm，
∵三角形ABC的周长为18cm，
∴AB+BC+AC=AB+BC+DF=18cm，
∴四边形ABFD的周长为：18+5+5=28(cm).
故答案为：28.
根据平移的性质可得AD=CF=5cm，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD，CF的和，再代入数据计算即可得解．
本题考查的是平移的性质，熟知平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：∵10a=20，10b=50，
∴10a⋅10b=10a+b=20×50=1000=103，
∴a+b=3.
故答案为：3.
利用同底数幂的乘法即可得出10a⋅10b=10a+b=103，从而可求得a+b的值．
本题考查同底数幂的乘法．熟练掌握运算法则是解题关键．
14.【答案】(1)−16；
(2)−5.
【解析】【分析】
(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；
(2)由(x−1)※(x+2)=2x−5(x−1)(x+2)，Ax−1+Bx+2=(A+B)x+2A−B(x−1)(x+2)，对比各项系数，即可得出答案．
本题主要考查分式的加减以及新定义问题，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．
【解答】
解：(1)根据题中的新定义得：原式=3+2−63×2=−16；
故答案为：−16；
(2)由新定义得(x−1)※(x+2)=x−1+x+2−6(x−1)(x+2)=2x−5(x−1)(x+2)，
Ax−1+Bx+2=A(x+2)+B(x−1)(x−1)(x+2)=(A+B)x+2A−B(x−1)(x+2)，
由题意得：A+B=22A−B=−5，
故答案为：−5.
15.【答案】解：原式=5+1+2=8.
【解析】由算术平方根性质解得 25=5，由a0=1(a≠0)解得(−2023)0=1，(12)−1=112=2据此解题．
本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂等，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16.【答案】解：去分母得：
3(3+x)−6≥8(x+1)，
则9+3x−6≥8x+8，
解得：x≤−1.
解集在数轴上表示为：
.
【解析】直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键．
17.【答案】解：原式=m+1−(m−1)−(m2−1)(m−1)(m+1)⋅(m2−1)
=m+1−m+1−m2+1
=3−m2，
当m= 3时，
原式=3−( 3)2=3−3=0.
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入即可．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，
根据题意得：3⋅1600x=6000x+2，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解，且符合题意；
答：第一批饮料进货单价为8元．
(2)设销售单价为m元，
由(1)知：第一批饮料的数量为16008=200，第二批饮料的数量是60008+2=600，
根据题意得：200(m−8)+600(m−10)≥1200，
解得：m≥11，
答：销售单价至少为11元．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
(1)设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为(x+2)元，根据数量=总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
19.【答案】AD=CF，AD//CF
【解析】解：(1)如图，△DEF即为所画的三角形；
(2)由平移的性质可得：AD=CF，AD//CF，
故答案为：AD=CF，AD//CF.
(1)分别确定A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接即可；
(2)由平移的性质可得答案．
本题考查的是画平移图形，平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵∠1+∠2=180∘，∠2+∠BDC=180∘，
∴∠1=∠BDC，
∴AB//CD；
(2)平分．理由如下：
∵AD平分∠BDF，
∴∠FDA=∠BDA，
∵AB//CD，
∴∠C=∠EBC，
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠EBC
∴AD//CB，
∴∠FDA=∠C，∠BDA=∠DBC，
∵∠C=∠EBC，
∴∠EBC=∠DBC，
∴BC平分∠DBE.
【解析】(1)根据邻补角以及“同位角相等，两直线平行”即可证明；
(2)先证明AD//CB，再根据平行线的性质与角平分线的定义，即可求证．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
21.【答案】(1)12+15=136−1×492；
(2)12+1n=1(n+1)2−1×(n+2)22，
左边=12+1n=n+22n，
右边=1n2+2n⋅(n+2)22=n+22n，
所以左边=右边．
【解析】解：(1)有题意可得：12+15=136−1×492，
故答案为：12+15=136−1×492；
(2)见答案.
(1)根据前4个等式得出第五个等式即可；
(2)通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．
本题考查了数字类变化规律，掌握每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．
22.【答案】4mn
【解析】解：(1)(m+n)2−(m−n)2=4mn；
故答案为：4mn；
(2)由(1)得(m+n)2=(m−n)2+4mn
∴(m+n)2=72+4×6=73；
(3)(2x−30)2=[(x−10)−(20−x)]2
=[(x−10)+(20−x)]2−4(x−10)(20−x)
=102−4×8
=68.
(1)利用正方形的面积公式以及大正方形的面积减去小正方形的面积就是四个矩形的面积就可以列式求解；
(2)利用(1)的结论即可求解，即可求解；
(3)利用(1)的结论变形即可求解，即可求解．
本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
23.【答案】解：(1)70∘
(2)利用(1)的结论可得：
∠AEC=∠A+∠C=36∘+54∘=90∘，
所以∠AEC=∠BED=90∘，
因为EF平分∠BED，
所以∠BEF=12∠BED=45∘，
所以∠BEF的度数为45∘；
(3)因为BC//DF，
所以∠CDF=180∘−∠BCD=124∘，
因为DG平分∠CDF，
所以∠CDG=12∠CDF=62∘，
因为AB//CD，
所以∠BAG=∠CDG=62∘，
因为AE平分∠BAD，
所以∠BAE=12∠BAD=31∘，
因为∠GDE=20∘，
所以∠EDH=180∘−∠CDG−∠GDE=98∘，
利用(1)的结论可得：
∠AED=∠BAE+∠EDH=31∘+98∘=129∘，
所以∠AED的度数为129∘.
【解析】解：(1)如图，延长CE交AB于点F，
因为AB//CD，
所以∠AFC=∠C=28∘，
因为∠AEF=180∘−(∠A+∠AFC)，
所以∠AEC=180∘−∠AEF=∠A+∠AFC=∠A+∠C=70∘，
故答案为：70∘；
(2)利用(1)的结论可得：
∠AEC=∠A+∠C=36∘+54∘=90∘，
所以∠AEC=∠BED=90∘，
因为EF平分∠BED，
所以∠BEF=12∠BED=45∘，
所以∠BEF的度数为45∘；
(3)因为BC//DF，
所以∠CDF=180∘−∠BCD=124∘，
因为DG平分∠CDF，
所以∠CDG=12∠CDF=62∘，
因为AB//CD，
所以∠BAD=∠CDG=62∘，
因为AE平分∠BAD，
所以∠BAE=12∠BAD=31∘，
因为∠GDE=20∘，
所以∠EDH=180∘−∠CDG−∠GDE=98∘，
利用(1)的结论可得：
∠AED=∠BAE+∠EDH=31∘+98∘=129∘，
所以∠AED的度数为129∘.
(1)延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC=28∘，然后再利用三角形的内角和和邻补角可得∠AEC=∠A+∠C，进行计算即可解答；
(2)利用猪蹄模型可得：∠AEC=∠A+∠C=90∘，再利用对顶角相等可得∠BED=90∘，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；
(3)利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED=∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪蹄模型是解题的关键．