2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，是无理数的是( )
A. 237B. 3C. 3.14D. 0
2.华为首款手机SC芯片麒麟用0.000000028m四核处理器，开启了智能手机芯时代，数0.000000028用科学记数法表示为( )
A. 28×10−9B. 2.8×10−9C. 2.8×10−8D. 2.8×10−10
3.如图，直线a//直线b，AB⊥BC，若∠1=50∘，则∠2的度数是( )
A. 40∘
B. 50∘
C. 25∘
D. 60∘
4.当x=3时，下列分式中，值为0的是( )
A. x−3x2−9B. 2x−6x+2C. 1x−3D. x+3x+1
5.如图，在数轴上表示实数 26−1的点可能是( )
A. 点PB. 点QC. 点MD. 点N
6.已知a2=b3，则a2−b2a2−ab=( )
A. 23B. 35C. 52D. 25
7.如图，点O为CB延长线上一点，下列条件不能判定EF//BC的是( )
A. ∠FEB=∠EBC
B. ∠AFE=∠OBA
C. ∠FEC+∠C=180∘
D. ∠AEF=∠C
8.已知R−rn=s(s≠R)，则n可以表示为( )
A. n=R−srB. n=R+srC. n=rR−sD. n=rR+s
9.端午期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校25km的公园做活动，男生在班长的带领下，骑自行车提前80分钟出发，女生在王老师的带领下乘公交车出发，结果两队同时到达，若公交车的速度是自行车速度的3倍，设男生队骑车的速度是xkm/h，则方程为( )
A. 253x−25x=80B. 25x−253x=80C. 253x−25x=43D. 25x−253x=43
10.如图，点B是线段CD上一点，以AB、BC为边向外作正方形，面积分别为S1、S2，若S1+S2=25，DC=7，三角形ABC的面积是( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.化简： 16=______.
12.因式分解：ab2−9a=______.
13.已知关于x的分式方程kx−2−32−x=1有增根，则k=______.
14.使等式x+3x=1+3成立的x的值为x=1或x=3；使等式x+3x=2+32成立的x的值为x=2或x=32；使等式x+3x=4+34成立的x的值为x=4或x=34.
根据上述材料，回答下列问题：
(1)使等式x+3x=52+65成立的x的值为______；
(2)使等式m+7−2mm−2=283成立的m的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：38−2−1+(π−2024)0.
16.(本小题8分)
解不等式组：x+x−12≤15x≥3x−1.
17.(本小题8分)
先化简2−aa−1÷(a+1−3a−1)，再求值，其中−2≤a≤2且a为整数，请你从中选取一个合适的数代入求值.
18.(本小题8分)
如图，学校有一块边长为(2a+b)米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为(a+b)米、宽为b米的鱼池供观赏.
(1)求绿化的面积是多少平方米？
(2)若a=4，b=3时，求绿化面积.
19.(本小题10分)
如图，在正方形网格中有一个格点三角形ABC(三角形ABC的各顶点都在格点上).
(1)画出三角形ABC中AB边上的高CD.
(2)将三角形ABC先向上平移2格，再向右平移4格，画出平移后的三角形A′B′C′.
(3)连接AA′，BB′，求四边形A′ABB′的面积.
20.(本小题10分)
如图，已知∠ABC+∠GDE=180∘，CB平分∠ACG.
(1)证明：BC//DE.
(2)若∠E=40∘，求∠EFC的度数.
21.(本小题12分)
夏天来到，天气较为炎热，黄老师为了给学生降温，准备给学生购买冰淇淋，在购买时发现梦龙的单价比巧乐兹的单价高60%，用160元购买梦龙的个数比用160元购买巧乐兹的个数少12个.
(1)购买梦龙、巧乐兹的单价是多少元？
(2)现需要购买梦龙和巧乐兹共45个，且购买的总费用不超过280元，则至多购买多少个梦龙冰淇淋？
22.(本小题12分)
【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容.
【自主探究】
用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②.
(1)请你仔细观察图形变化，解决下列问题.
(i)图①中两个三角形的面积分别为______和______，图②中长方形 ABCD的面积为______.(用含a，b的字母表示)
(ii)当a≠b时，比较大小：a2+b22______ab.(填“>”或“<”)
(iii)当a和b满足什么条件时，a2+b22与ab相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明.乙同学说：我可以通过画图进行说明.请你选择其中一人的方法，进行说明.
【知识应用】
(2)已知m>0，n>1，且m(n−1)=9，利用(1)发现的结论求m2+n2−2n+1的最小值.
23.(本小题14分)
如图1，已知∠MON=30∘，将一块含30∘角的直角三角板ABC按如图所示放置(∠ACB=30∘)，使顶点B落在ON边上，绕点B转动三角板ABC，始终保持点C在ON的上方，过点C作DE//ON.
(1)当∠ABO=______ ∘时，AC//OM.
(2)如图2，作∠BCE的角平分线CF.
(i)若AB//CF，求∠BFC的度数.
(ii)将三角板ABC绕点B转动，当三角板ABC有一边与OM垂直时，求∠BFC的度数.(直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵237，3.14，0是有理数，
∴ 3是无理数，
故选：B.
根据立方根，无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数即无限不循环小数，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8，
故选：C.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵直线a//b，∠1=50∘，
∴∠ACB=∠1=50∘.
∵AB⊥BC，
∴∠3=90∘，
∴∠2=90∘−∠ACB=90∘−50∘=40∘.
故选：A.
先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再由垂直的定义得出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，关键掌握两直线平行，同位角相等．
4.【答案】B
【解析】解：A、当x=3时，x2−9=0，此时分式无意义，故此选项不合题意；
B、当x=3时，2x−6=0，x+2≠0，此时分式的值为零，符合题意；
C、1x−3，当x=3时，x−3=0，此时分式无意义，故此选项不合题意；
D、当x=3时，x+3=6，x+1=4，此时分式的值不为零，故此选项不合题意；
故选：B.
直接利用分式的值为零的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵25<26<36，
∴5< 26<6，
∴4< 26−1<5，
∴数轴上表示实数 26−1的点可能是点N，
故选：D.
先估算 26的值，即可判断．
本题考查了实数，实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的值是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵a2=b3，
∴设a=2k，b=3k，
∴a2−b2a2−ab
=(a+b)(a−b)a(a−b)
=a+ba
=3k+2k2k
=52.
故选：C.
首先根据a2=b3，设a=2k，b=3k，再将a2−b2a2−ab化简为a+ba，然后将a=2k，b=3k代入计算即可得出答案．
此题主要考查了分式的运算，求分式的值，熟练掌握分式的约分，以及求分式值的方法与技巧是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠FEB=∠EBC，
∴EF//BC，
故A不符合题意；
由∠AFE=∠OBA，不能判定EF//BC，
故B符合题意；
∵∠FEC+∠C=180∘，
∴EF//BC，
故C不符合题意；
∵∠AEF=∠C，
∴EF//BC，
故D不符合题意；
故选：B.
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：两边都乘以n得，
Rn−r=sn，
所以n=rR−s，
故选：C.
根据分式方程的解法，先去分母，转化为关于n的整式方程求解即可．
本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设男生队骑车的速度是xkm/h，则生队骑车的速度是3xkm/h，
根据题意得25x−253x=8060，
即25x−253x=43.
故选：D.
设男生队骑车的速度是xkm/h，则生队骑车的速度是3xkm/h，根据同时到达，可以时间作为等量关系列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程的．准确找出等量关系是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设AB=x，BC=y，
由S1+S2=25，DC=7，
得x2+y2=25，x+y=7，
得2xy=(x+y)2−(x2+y2)=24，
得三角形ABC的面积=24÷4=6.
故选：A.
设AB=x，BC=y，由S1+S2=25，DC=7，得x2+y2=25，x+y=7，得2xy=(x+y)2−(x2+y2)=24，可得三角形ABC的面积=24÷4=6.
本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确设未知数．
11.【答案】4
【解析】解：原式= 16= 42=4.
故答案为：4.
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要根据二次根式的性质： a2=|a|解题．
12.【答案】a(b+3)(b−3)
【解析】解：原式=a(b2−9)
=a(b+3)(b−3)，
故答案为：a(b+3)(b−3).
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】−3
【解析】解：去分母得，k+3=x−2，
∵分式方程有增根，
∴x−2=0，即x=2，
∴k+3=0，
∴k=−3，
故答案为：−3.
先去分母得到k+3=x−2，再根据分式方程有增根，得到x=2，代入即可求出k=−3.
此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，正确理解分式方程增根的意义是解题的关键．
14.【答案】x=52或x=65 m=11或m=213
【解析】解：(1)使等式x+3x=52+65成立的x的值为x=52或x=65.
故答案为：x=52或x=65.
(2)∵m+7−2mm−2=283，
∴m2−2mm−2+7−2mm−2=283，
∴m2−4m+7m−2=283，
∴(m−2)2+3m−2=283，
∴m−2+3m−2=9+13，
∴m−2=9或m−2=13，
∴m=11或m=213.
故答案为：m=11或m=213.
(1)按照上述材料的方法，即可求得x的值；
(2)将m+7−2mm−2=283化为m−2+3m−2=9+13，按照上述材料的方法，即可求得m的值．
本题考查解分式方程，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解题方法，本题属于中等题型．
15.【答案】解：38−2−1+(π−2024)0
=2−12+1
=52.
【解析】先计算立方根、零次幂、负整数指数幂，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
16.【答案】解：解不等式x+x−12≤1得：x≤1，
解不等式5x≥3x−1得：x≥−12，
则不等式组的解集为−12≤x≤1.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：2−aa−1÷(a+1−3a−1)
=2−aa−1÷(a2−1−3a−1)
=2−aa−1⋅a−1a2−4
=−1a+2，
当a=0时，原式=−12(答案不唯一).
【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从−2≤a≤2且a为整数中选取一个使得原分式有意义的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则．
18.【答案】解：(1)S绿化部分=S正方形−S长方形
=(2a+b)2−b(a+b)
=4a2+4ab+b2−ab−b2
=(4a2+3ab)平方米，
答：绿化的面积是(4a2+3ab)平方米；
(2)当a=4，b=3时，4a2+3ab=4×16+3×4×3=100(平方米)，
答：当a=4，b=3时，绿化面积为100平方米．
【解析】(1)根据S绿化部分=S正方形−S长方形进行计算即可；
(2)把a=4，b=3代入(1)中的代数式进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
19.【答案】解：(1)如图，CD即为所求．
(2)如图，三角形A′B′C′即为所求．
(3)四边形A′ABB′的面积为3×2=6.
【解析】(1)根据三角形的高的定义画图即可．
(2)根据平移的性质作图即可．
(3)利用平行四边形的面积公式计算即可．
本题考查作图-平移变换、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠ABC+∠GDE=180∘，∠ABC+∠GBC=180∘，
∴∠GBC=∠GDE，
∴BC//DE.
(2)解：∵BC//DE，
∴∠E=∠ACB=40∘，∠EFC=∠BCG，
∵CB平分∠ACG，
∴∠ACB=∠BCG=40∘，
∴∠EFC=40∘.
【解析】(1)根据邻补角定义求出∠GBC=∠GDE，根据“同位角相等，两直线平行”即可得证；
(2)根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设巧乐兹的单价是x元，则梦龙的单价是(1+60%)x元，
根据题意得160x=160(1+60)x+12，
解得x=5，
经检验x=5是原方程的解，
(1+60%)×5=8.
答：巧乐兹的单价是5元，则梦龙的单价是8元；
(2)设购买m个梦龙冰淇淋，则购买了(45−m)个巧乐兹，
根据题意得8m+5(45−m)≤280，
解得m≤553，
答：至多购买18个梦龙冰淇淋．
【解析】(1)设巧乐兹的单价是x元，则梦龙的单价是(1+60%)x元，根据用160元购买梦龙的个数比用160元购买巧乐兹的个数少12个列方程即可得到结论；
(2)设购买m个梦龙冰淇淋，则购买了(45−m)个巧乐兹，根据购买的总费用不超过280元列不等式即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地列出方程和不等式是解题的关键．
22.【答案】12a2 12b2 ab>
【解析】解：(1)(i)图①中两个三角形的面积分别为12a2，12b2，图②中长方形的长为b，宽为a的长方形，因此面积为ab，
故答案为：12a2，12b2，ab；
(ii)∵a≠b，
∴(a−b)2>0，
即a2−2ab+b2>0，
∴a2+b2>2ab，
∴a2+b22>ab，
故答案为：>；
(iii)选择甲同学的方法，当a=b时，a2+b22=a2，ab=a⋅a=a2，
所以当a=b时，a2+b22=ab，
(2)设x=m，y=n−1，xy=m(n−1)=9，
m2+n2−2n+1=x2+y2≥2xy，
当x=y时，最小值是2xy=2m(n−1)=2×9=18，
答：m2+n2−2n+1的最小值是18.
(1)(i)根据三角形、长方形面积的计算方法进行计算即可；
(ii)由a≠b可得(a−b)2>0，进而得出结论；
(iii)通过计算可得结论；
(2)设x=m，y=n−1，由题意可得xy=m(n−1)=9，由m2+n2−2n+1=x2+y2≥2xy可得答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
23.【答案】60
【解析】解：(1)如图，延长CA交OB于G，
当∠CGB=∠MON=30∘时，CG//OM，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAG=90∘，
∴∠ABG=90∘−∠CGB=60∘；
∴∠ABO=60∘；
故答案为：60；
(2)(i)∵AB//|CF，
∴∠A+∠ACF=180∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠ACF=90∘，
∵∠ACB=30∘，
∴∠BCF=90∘−30∘=60∘，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=∠BCF=60∘，
∵DE//ON，
∴∠BFC=∠ECF=60∘；
(ii)①如图，当BA⊥OM时，
∴∠PBO=90∘，
∵∠MON=30∘，
∴∠OBP=90∘−30∘=60∘，
∵∠ACB=30∘，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘，
∴∠OBC=∠OBP+∠ABC=120∘，
∵DE//ON，
∴∠BCE=∠OBC=120∘，∠BFC=∠ECF，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=12∠BCE=60∘，
∴∠BFC=60∘；
②如图，当BC⊥OM时，
∵∠MON+∠ABC=90∘，
∴此时AB在射线ON上，
∵DE//ON，
∴∠BCE=∠ABC=60∘，∠BFC=∠ECF，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=12∠BCE=30∘，
∴∠BFC=30∘；
③如图，当AC⊥OM时，
∴∠MON+∠CHO=90∘，
∴∠CHO=90∘−30∘=60∘，
∴∠AHB=60∘，
∴∠ABH=90∘−∠AHB=30∘，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABH=30∘，
∵DE//ON，
∴∠BCE=∠OBC=30∘，∠BFC=∠ECF，
∵CF平分∠BCE，
∴∠ECF=12∠BCE=15∘，
∴∠BFC=15∘，
综上所述：∠BFC的度数为15∘或30∘或60∘.
(1)延长CA交OB于G，当∠CGB=∠MON=30∘时，CG//OM，由平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余，即可求解；
(2)(i)由平行线的性质得∠A+∠ACF=180∘，由角平分线的定义得∠ECF=∠BCF=60∘，由平行线的性质即可求解；
(ii)①当BA⊥OM时，由角的和差得∠OBC=∠OBP+∠ABC=120∘，由平行线的性质得∠BCE=∠OBC=120∘，∠BFC=∠ECF，由角平分线的定义，即可求解；②当BC⊥OM时，同理可求；③当AC⊥OM时，同理可求；
本题考查了直角三角形的特征，角平分线的有关计算，平行线的判定及性质，掌握直角三角形的特征及平行线的性质，能用分类讨论思想求解是解题的关键．