2023-2024学年福建省泉州市石狮市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市石狮市七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若3a−1=2a，则a等于( )
A. 1B. −1C. 15D. −15
2.对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若某三角形的三边长分别为4、8、x，则x的值可以是( )
A. 3B. 4C. 5D. 13
4.下列正多边形中，能够铺满地面的是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十二边形
5.若a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a−1−b
6.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( )
A. x+2x+4x=34685B. x+2x+3x=34685
C. x+2x+2x=34685D. x+12x+14x=34685
7.将如图所示的正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转一定角度后能与原图形重合，则这个旋转角的大小不可能是( )
A. 72∘
B. 144∘
C. 150∘
D. 216∘
8.如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，则△ABD的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.把边长相等的正五边形ABCDE和正方形DEFG按如图方式拼在一起，延长AE交FG于点H，则∠FEH的度数为( )
A. 10∘
B. 15∘
C. 18∘
D. 20∘
10.如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足( )
A. PA=PCB. PA=PE
C. ∠APE=90∘D. ∠APC=∠DPE
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.十边形的外角和的度数是______.
12.如图，AC⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为点C、E.若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，则CE=______.
13.如图，△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE.若AE=6，则B，D两点的距离为______.
14.已知关于x、y的方程组2x+m=1,y=m+3若用含x的代数式来表示y，则y=______.
15.整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2mx+4n=−4的解是______.
16.有一条65cm长的塑料卷尺.若在刻度4cm处折叠(如图1所示)，上层(阴影层)与下层的整数刻度就会叠合在一起，如刻度0与8，1与7，2与6，3与5叠合.若沿上层刻度2cm的位置用剪刀剪开(如图2所示)，并将中间叠合的那段展开铺平，可得到三段卷尺.小明同学选择在刻度30cm处将该卷尺折叠，并在上层某整数刻度处剪开并展平，得到三段卷尺，若其中一段长是另一段长的3倍，则上层剪开处的刻度是______cm.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x−32−2x+13=−1.
18.(本小题8分)
解方程组：{x−y=2①2x+y=16②.
19.(本小题8分)
解不等式组，并把不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来.
{x−1>4x+11①3(x−2)−1⩽2(1+x)②
20.(本小题8分)
某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书共100本.已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.
(1)求甲、乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=∠B=2∠ACB，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD.
(1)求∠A的度数；
(2)AB与EC平行吗？请说明理由.
22.(本小题10分)
在如图所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，△ABC的三个顶点均在“格点”上，每个小正方形的边长均为1.
(1)在方格图中，将△ABC沿着射线BB′方向平移，使点B与点B′对应，请画出平移后的△A′B′C′；
(2)请直接写出直线BB′与线段A′C′的位置关系，不必说明理由；
(3)试求出在平移过程中，线段BC所扫过部分的面积.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠B=40∘，∠BAC=80∘，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE.
(1)求∠E的度数；
(2)当AB//DE时，求∠DAC的度数.
24.(本小题13分)
阅读理解：
定义：若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”.例如，方程2x−1=1的解是x=1，同时x=1也是不等式x+1>0的解，则称方程2x−1=1的解x=1是不等式x+1>0的“友好解”.
(1)试判断方程32x−2=12x+1的解是不是不等式x−32>0的“友好解”？不必说明理由；
(2)若关于x、y的方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”，求k的取值范围；
(3)当k<3时，方程3(x−1)=k的解是不等式4x−125.(本小题13分)
在△ABC中，∠ACB=90∘，点D、E分别在直线AC、AB上，∠ADE=∠ABC.
(1)如图1，当点D在边AC上，点E在边AB上时，试说明：DE⊥AB；
(2)如图2，当点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上时，直线DE与BC交于点F，点G在EF上，且∠F=2∠DGA，AG平分∠EAC吗？请说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BG，当BG平分∠ABC时，将△AGB沿AG折叠至△AGH，试判断∠HGD与∠F之间的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3a−1=2a，
3a−2a=1，
a=1，
故选：A.
按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.不是中心对称图形，不符合题意；
D.是中心对称图形，符合题意；
故选：D.
根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转180∘，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵三角形的三边长分别为4，8，x，
∴8−4即4故选：C.
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围．
本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4.【答案】B
【解析】解：A.正五边形每个内角为108∘，不能整除360∘，所以不能铺满地面；
B.正六边形每个内角为120∘，能整除360∘，所以能铺满地面；
C.正八边形每个内角为135∘，不能整除360∘，所以不能铺满地面；
D.正十二边形每个内角为150∘，不能整除360∘，所以不能铺满地面；
故选：B.
分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除360∘即可．
此题考查了平面镶嵌(密铺)，计算正多边形的内角能否整除360∘是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴a−1>b−1，
∴选项A错误，不符合题意；
a>b，
b−a<0一定成立，例如：a=2，b=−4时，−4−2<0，故B正确，符合题意；
∵a>b，
a2>b2，
∴选项C错误，不符合题意；
∵a>b，
∴−a<−b，故D错误，不符合题意；
故选：B.
根据a>b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】
解：设他第一天读x个字，
根据题意可得：x+2x+4x=34685，
故选：A.
7.【答案】C
【解析】解：由题知，
360∘÷5=72∘，
所以当正五角星绕着它的中心点O顺时针旋转72∘的整数倍后，均能与原图形重合，
显然四个选项中只有C选项符合题意．
故选：C.
根据旋转对称图形的性质，用360∘÷5得出最小的旋转角，据此可解决问题．
本题主要考查了旋转对称图形，熟知旋转对称图形的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×3×4=6；
在Rt△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴BD=12BC，
∴S△ABD=12S△ABC=12×6=3，
故选：A.
首先求得S△ABC=6；在Rt△ABC中，AD是BC边上的中线，得到BD=12BC，依据S△ABD=12S△ABC即可得到答案．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，解答本题的关键要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
9.【答案】C
【解析】解：正五边形ABCDE的外角∠DEH=360∘5=72∘，
正方形DEFG的内角∠DEF=90∘，
∴∠FEH=90∘−72∘=18∘，
故选：C.
根据正多边形的内角与外角的计算方法进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角与外角的计算方法是正确解答的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查轴对称最短问题、对顶角的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可得到∠APC=∠DPE.
【解答】
解：如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．
由对称性可知：∠EPD=∠FPD，
∵∠CPA=∠FPD，
∴∠APC=∠DPE，
∴DP+PB最小时，点P应该满足∠APC=∠DPE，
故选D.
11.【答案】360∘
【解析】解：∵任意多边形的外角和等于360∘，
∴十边形的外角和的度数为360∘.
故答案为：360∘.
根据多边形的外角和等于360∘解答．
本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360∘.
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，
∴BE=AC=5，BC=DE=2，
∴CE=BE−BC=5−2=3，
故答案为：3.
根据全等三角形的性质得到BE=AC=5，BC=DE=2，结合图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
根据平移的性质计算出AC=BD=3即可．
【解答】
解：∵△ABC沿射线AC的方向平移，得到△CDE，
∴AC=CE，
∵AE=6，
∴AC=3，
∴BD=AC=3，
故答案为：3.
14.【答案】−2x+4
【解析】解：{2x+m=1①y=m+3②，
由①得，m=1−2x③，
将③代入②得，y=1−2x+3，
即y=−2x+4，
故答案为：−2x+4.
将方程①用含有x的代数式表示t，再代入方程②进行化简即可．
本题考查解二元一次方程组，用含有x的代数式表示t是正确解答的关键．
15.【答案】x=0
【解析】解：由表中可知：当x=−1时，mx+2n=0，当x=0时，mx+2n=−2，
所以−m+2n=02n=−2，
解得：m=−2n=−1，
代入方程2mx+4n=0得：−4x−4=−4，
解得：x=0，
故答案为：x=0.
由表中可知：当x=−1时，mx+2n=0，当x=0时，mx+2n=−2，代入后得出方程组−m+2n=02n=−2，求出m、n的值，代入方程2mx+4n=−4得出−4x−4=−4，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，能求出m、n的值是解此题的关键．
16.【答案】9或12或25
【解析】解：设上层剪开处的刻度是x cm，则得到三段卷尺的长度分别为x cm，2(30−x)cm，[65−x−2(30−x)]=(5+x)cm，
当x=3×2(30−x)时，x=1807(不符合题意，舍去)
当x=3(5+x)时，x=152(不符合题意，舍去)；
当2(30−x)=3x时，x=12；
当5+x=3x时，x=52(不符合题意，舍去)；
当2(30−x)=3(5+x)时，x=9；
当5+x=3×2(30−x)时，x=25.
综上所述，上层剪开处的刻度是9或12或25.
故答案为：9或12或25.
设上层剪开处的刻度是x cm，则得到三段卷尺的长度分别为x cm，2(30−x)cm，(5+x)cm，根据其中一段长是另一段长的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17.【答案】解：去分母，得3(x−3)−2(2x+1)=−6，
去括号，得3x−9−4x−2=−6，
移项、合并同类项，得−x=5，
两边同时乘以−1，得x=−5.
【解析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
18.【答案】解：{x−y=2①2x+y=16②，
①+②，可得3x=18，
解得x=6，
把x=6代入①，可得：6−y=2，
解得y=4，
∴原方程组的解是x=6y=4.
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
19.【答案】解：解不等式①得：x<−4，
解不等式②得：x≤9，
则不等式组的解集为x<−4，
将不等式①、②的解集在同一数轴上表示出来如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：设甲、乙两种书的单价分别为x元和y元，依题意得，
2x+y=100,3x+2y=165.
解得 x=35,y=30.
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．；
(2)设该校购买甲种书a本，则购买乙种书(100−a)本，依题意得，
35a+30(100−a)≤3200，
解得 a≤40.
所以该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买1本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)根据三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∵∠A=∠B=2∠ACB，
∴2∠ACB+2∠ACB+∠ACB=180∘，
∴∠ACB=36∘，
∴∠A=2∠ACB=72∘；
(2)AB与EC平行，理由如下：
由(1)可知：∠A=∠B=72∘，
∴∠ACD=∠A+∠B=144∘，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=ACE=12∠ACD=72∘，
∴∠DCE=∠B=72∘，
∴AB//CE.
【解析】(1)根据三角形内角和定理及∠A=∠B=2∠ACB得∠ACB=36∘，进而可得∠A的度数；
(2)由(1)可知∠A=∠B=72∘，则∠ACD=∠A+∠B=144∘，再由角平分线定义得∠DCE=ACE=12∠ACD=72∘，由此得∠DCE=∠B=72∘，据此即可得出结论．
此题主要考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角度的计算是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)由图可得，直线BB′⊥A′C′.
(3)在平移过程中，线段BC所扫过部分的面积为S四边形BB′C′C=4×3=12.
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)由图可得出答案．
(3)求出四边形BB′C′C的面积即可．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)由图形旋转的特征可得：∠E=∠C.
∵∠B=40∘，∠BAC=80∘，
∴∠C=180∘−∠B−∠BAC=60∘.
∴∠E=60∘.
(2)如图1，当DE在AB下方时．
由图形旋转的特征可得：∠D=∠B=40∘.
∵AB//DE，
∴∠BAD=∠D=40∘.
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=80∘−40∘=40∘.
如图2，当DE在AB上方时．
∵AB//DE，
∴∠BAD+∠D=180∘，
∴∠BAD=180∘−∠D=180∘−40∘=140∘.
∴∠DAC=360∘−∠BAC−∠BAD=360∘−80∘−140∘=140∘.
综上所述，∠DAC的度数为40∘或140∘.
【解析】(1)依据题意，由图形旋转的特征可得：∠E=∠C，再由∠B=40∘，∠BAC=80∘，可得∠C=180∘−∠B−∠BAC=60∘，进而可以得解；
(2)依据题意，根据当DE在AB下方时和当DE在AB上方时．分别进行分析即可得解．
本题主要考查了旋转的性质，解题时要能读懂题意，画出图形分析是关键．
24.【答案】解：(1)解方程32x−2=12x+1，得x=3，
解不等式x−32>0，得x>3，
所以方程32x−2=12x+1的解不是不等式x−32>0的“友好解”；
(2)解法一：{2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②，
由②-①，得 3x−4y=3−k，
由32x−2y>7，得：3x−4y>14，
∴3−k>14，
解得k<−11；
解法二：{2x+3y=5k+2①5x−y=4k+5②，
由②×3+①，得17x=17k+17，
x=k+1，
把x=k+1代入②，得y=k，
∵方程组2x+3y=5k+2,5x−y=4k+5的解是不等式32x−2y>7的“友好解”，
∴32(k+1)−2k>7，
解得k<−11；
(3)解法一：由3(x−1)=k，得x=k3+1，
∵k<3，
∴k3<1，
∴k3+1<2，即x<2，
由4x−1∵方程3(x−1)=k的解是不等式4x−1∴2m+13≥2，
解得 m≥52，
∴m的最小整数值为3.
解法二：由3(x−1)=k，得x=k3+1，
∵方程3(x−1)=k的解是不等式4x−1∴4(k3+1)−1<(k3+1)+2m，
解得m>k+22，
∵k<3，
∴k+2<5，
∴k+22<52，
∴m≥52，
∴m的最小整数值为3.
【解析】(1)根据若一个方程(组)的解也是一个不等式(组)的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式(组)的“友好解”判断即可；
(2)根据“定义”解答即可；
(3)根据“定义”解答即可．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，一元一次不等式的整数解以及二元一次方程的解，熟练一元一次不等式的步骤是解答此题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∵∠ADE=∠B，
∴∠A+∠ADE=90∘，
∴∠AED=90∘，
∴DE⊥AB；
(2)解：AG平分∠EAC，理由如下：
∵∠ACB=90∘，
∴∠BAC+∠B=90∘，DC⊥BF，
∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，
∴∠DAE+∠D=90∘，
∴BE⊥DF，
∵∠F=2∠DGA，
∴∠DGA=12∠F，
在△AEG中，∠EAG=90∘−∠DGA=90∘−12∠F，
在△ADG中，∠GAC=∠D+∠DGA=(90∘−∠F)+12∠F=90∘−12∠F，
∴∠EAG=∠GAC，
∴AG平分∠EAC；
(3)解：∠F+2∠HGD=90∘，理由如下：
解法一：
设∠F=α，则∠ABC=90∘−α，
由(2)知：∠EAG=90∘−12∠F=90∘−12α，∠DGA=12∠F=12α，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=12∠ABC=12(90∘−α)=45∘−12α，
∵∠EAG是△ABG的外角，
∴∠AGB=∠EAG−∠ABG=(90∘−12α)−(45∘−12α)=45∘，
由图形折叠的特征可知：∠AGH=∠AGB=45∘，
∴∠HGD=∠AGH−∠DGA=45∘−12α，
∴∠F+2∠HGD=α+2(45∘−12α)=90∘；
解法二：
设∠F=α，则∠ADE=∠ABC=90∘−α，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=12∠ABC=12(90∘−α)=45∘−12α，
由图形折叠的特征可知：
∠H=∠ABG=45∘−12α，∠GAH=∠GAB，
由(2)知：∠EAG=∠GAC，
∴∠GAH+∠GAC=∠GAB+∠EAG=180∘，
∴H、A、C三点共线，
∴∠ADE=∠H+∠HGD，
∴∠HGD=∠ADE−∠H=(90∘−α)−(45∘−12α)=45∘−12α，
∴∠F+2∠HGD=α+2(45∘−12α)=90∘.
【解析】(1)证明∠A+∠ADE=90∘，得出∠AED=90∘，即可得到DE⊥AB；
(2)在△AEG中，∠EAG=90∘−∠DGA=90∘−12∠F，在△ADG中，∠GAC=∠D+∠DGA=(90∘−∠F)+12∠F=90∘−12∠F，得到∠EAG=∠GAC，得出AG平分∠EAC；
(3)设∠F=α，∠HGD=∠AGH−∠DGA=45∘−12α，∠F+2∠HGD=α+2(45∘−12α)=90∘.
本题考查了垂直的定义，角平分线的性质和判定，三角形内角和等，掌握三角形的性质是解题的关键．x
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