2025高考数学一轮复习第10章计数原理、概率及其分布06第51讲二项分布与超几何分布（课件+解析试卷）

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1．(人A选必三P77T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　)A．0.33B．0.66C．0.5D．0.45
2．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的概率为(　　)
1．两点分布如果随机变量X的分布列为 其中0＜p＜1，我们称X服从________分布或________分布．
2．伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验：只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_________________．(2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_______________，k＝0，1，2，…，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
4．两个特殊分布的期望与方差
　　　(2023·芜湖三模)在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭．主持人知道金蛋在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖．无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人．(1)求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差．
　　　(2023·芜湖三模)在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭．主持人知道金蛋在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖．无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人．(2)为了增加节目效果，改变游戏规则．当一抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子．与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会．如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖．若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？
因为E(Y)＞E(Z)，所以建议抽奖人改变选择．
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同；(2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
变式　(2024·淮安期初)某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数ξ满足P(ξ＝n)＝k·n(n＝1，2，3，4，5)，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．(1)求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；
变式　(2024·淮安期初)某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数ξ满足P(ξ＝n)＝k·n(n＝1，2，3，4，5)，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为X，求X的分布列与数学期望；
变式　(2024·淮安期初)某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数ξ满足P(ξ＝n)＝k·n(n＝1，2，3，4，5)，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为Y，求Y的数学期望．
　　　某个地区的乒乓球训练机构，在众多乒乓球爱好者中随机抽取100名，检验乒乓球爱好者的水平，要求每个乒乓球爱好者打100个球，打到对方球台的指定位置，每打到指定位置1个球得1分，100个球都打到指定位置得满分，即100分．将这100名乒乓球爱好者按成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]共5组，制成如图所示的频率分布直方图(打100个球，每个乒乓球爱好者至少能得50分)．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计这100名乒乓球爱好者成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)若该地区这样的乒乓球爱好者有2 000人，试估计成绩不低于70分这一水平的人数；
　　　　由0.025×10＋0.03×10＋0.02×10＝0.75，可估计不低于70分这一水平的人数为2 000×0.75＝1 500．
(3)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]的两组乒乓球爱好者中抽取5人，再在这5人中抽取2人，参加一个乒乓球技术交流会，在抽到的2人中成绩在[90，100]内的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
二项分布与超几何分布的识别
　　　某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成频率分布表如下：
(1)如果规定竞赛得分在(80，90]为“良好”，竞赛得分在(90，100]为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层随机抽样的方法抽取10个学生，则各抽取多少人？
(2)在(1)的条件下，再从这10名学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是“优秀”的概率．
(3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
超几何分布与二项分布的联系与区别
变式　我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境，垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．上海是我国首个进行垃圾分类的城市，分出可回收垃圾既环保又节约资源．例如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸．现调查了上海市5个小区2019年10月的生活垃圾投放情况，其中在规定时间内投放垃圾的百分比和可回收物中废纸投放量如下表所示：
(1)从这5个小区中任选1个小区，求该小区2019年10月在规定时间内投放垃圾的百分比不低于80%，且废纸投放量大于5吨的概率；
(2)从这5个小区中任选2个小区，记X为2019年10月投放的废纸可再造好纸大于4吨的小区个数，求X的分布列及数学期望；
(3)若将频率视为概率，在上海市任选4个小区，求恰有2个小区2019年10月在规定时间内投放垃圾的百分比不低于80%，且废纸投放量大于5吨的概率．
1．设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则P(X＝1)＝(　　)
3．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
1．(2023·苏州调研)一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是(　　)A．若事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次试验中才首次发生的概率为p(1－p)k－1B．集合A内的元素个数不确定D．该n重伯努利实验共做了n次相互独立的试验
　　　　对于A，事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为p(1－p)k－1，故A正确．对于B，一个n重伯努利试验的所有结果构成合A，所以集合A内的元素个数为n＋1，所以B不正确．
对于D，该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验，故D正确．
2．袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)为(　　)A．0B．1C．2D．4
4．某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则这节课该班甲同学在直播屏幕上出现的时间的均值是(　　)A．10分钟B．5分钟C．4分钟D．2分钟
5．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5题，现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格．下列说法正确的是(　 　)
　　　　由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字在填时互不影响，故5位数中后4位的所有结果有5类：
7．(2023·镇江期初)(多选)设甲袋中有3个白球，4个红球，乙袋中有1个白球，2个红球，则(　　　)
8．(2023·大连二模)已知随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝_____．
9．(2023·邵阳三模)一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为___．
10．(2023·十堰二模)现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．(1) 甲盒中有2个红球和2个黄球的概率为______；
10．(2023·十堰二模)现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．(2) 若甲盒中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i＝1，2，3)个球进行交换，记交换后甲盒中的红球个数为X，设X的数学期望为Ei(X)，则E1(X)＋E3(X)＝_____．
11．(2023·石家庄联考)某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀、大小与颜色相同，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当x≥5时，该顾客积分为3分，当3≤x＜5时，该顾客积分为2分，当x＜3时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30个数据如下：1　3　1　1　6　3　3　4　1　2　4　1　2　5　31　2　6　3　1　6　1　2　1　2　2　5　3　4　5
(1) 以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2分的概率；
11．(2023·石家庄联考)某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀、大小与颜色相同，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x表示取出的小球上的数字，当x≥5时，该顾客积分为3分，当3≤x＜5时，该顾客积分为2分，当x＜3时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30个数据如下：1　3　1　1　6　3　3　4　1　2　4　1　2　5　31　2　6　3　1　6　1　2　1　2　2　5　3　4　5(2) 某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让利几折(如该顾客积分为3＋3＝6，商场就给该顾客的所有购物打10－6＝4折)，记该顾客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望．
12．(2023·南京、盐城三模)进行独立重复试验，设每次成功的概率为p(0＜p＜1)，则失败的概率为1－p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为X～NB(r，p)．