2023-2024学年山东省威海市经开区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省威海市经开区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.x2m+n−2+4ym+n+1=6是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值( )
A. 3，−2B. 3，−4C. 3，−3D. 3，0
2.若不等式13(x+4)<3m的解集为x<5，则m的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
3.如图，一副三角板的一边重合，得到四边形ABCD，过点A作直线AE//BC，∠1的度数为( )
A. 30∘
B. 15∘
C. 20∘
D. 60∘
4.已知x=10y=−7，x=k+1y=k均是关于x，y的二元一次方程2x−y=a的解，则k的值是( )
A. 24B. 25C. 11D. 12
5.下列命题的逆命题，是假命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等B. 全等三角形的对应边相等
C. 对顶角相等D. 有一个角为90度的三角形是直角三角形
6.李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是( )
A. 摸到黄球、红球的概率均为12
B. 摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为13
C. 摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13、16
D. 摸到黄球、红球、白球的概率都是13
7.如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A. x−2y=−22x−y=2
B. y=−x+1y=2x−2
C. x−2y=−12x−y=−2
D. y=2x+1y=2x−2
8.如图，在△ABC中，∠ABC=60∘，AB=3，BC=6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC，若AE=5，则BD的长等于( )
A. 3
B. 32
C. 2
D. 52
9.如图△ABC中，AC=BC=5，AB=6，CD=4，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为( )
A. 4.8
B. 2.4
C. 6
D. 5
10.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D.∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20∘，则∠DFB的度数为( )
A. 50∘
B. 55∘
C. 60∘
D. 65∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.从13， 2，π，0，−3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是______.
12.如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形，则图中阴影部分面积为______平方厘米.
13.如图，在△ABC中，∠B=28∘，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1−∠2=______ ∘.
14.我们知道，若ab>0.则有a>0b>0或a<0b<0.如图，直线y=kx+b与y=mx+n分别交x轴于点A(−0.5,0)、B(2,0)，则不等式(kx+b)(mx+n)>0的解集是______.
15.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则BE+EF的最小值为______.
16.如图，BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF=90∘；②AE=CE；③∠BFC=90∘+12∠BAC；④∠BAC=2∠BEC；⑤∠AEH=∠BCF，正确的为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)解方程组：x3−y4=13x−4y=2；
(2)解不等式组4x−2≥3(x−1)x−52+1>x−3，将解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解.
18.(本小题7分)
在一个不透明的袋子中装有4个红球和6个白球，每个球除颜色外其余都相同．
(1)从中任意摸出1个球，摸到______球的可能性大；
(2)摸出红球和白球的概率分别是多少？
(3)如果另拿红球和白球共8个放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和白球的可能性大小相等，那么应放入______个红球，______个白球．
19.(本小题8分)
如图，AB//CD，∠ABE=120∘.
(1)如图1，求∠BED+∠D的度数；
(2)如图2，∠DEF=2∠BEF，∠CDF=13∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数.
20.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−x+b过点M(1,3)，与x轴、y轴分别交于点A，B，过点M的直线l2：y=kx+m与x轴、y轴分别交于点C，D.
(1)求点A，B的坐标；
(2)若点B，O关于点D对称.
①求直线l2的解析式；
②直接写出关于x的不等式021.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=60∘，BC=3.
(1)求AB的长；
(2)点D在CB的延长线上，点M在∠ABD的平分线上，连接DM，AM，AD，且DM=AM.求证：∠MDB+∠MAB=180∘.
22.(本小题10分)
“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元.
(1)求A，B两种跳绳的单价；
(2)如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
23.(本小题10分)
如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME.
(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
(2)点G是射线MD上一动点(不与点M、F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β.
①如图2，若β=40∘，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.
24.(本小题11分)
如图，△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90∘，AF⊥CB，垂足为F.
(1)试说明∠ABF=∠ADC的理由；
(2)猜想CF和CE的位置关系，并说明理由；
(3)试说明：CD=2BF+DE.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意得：2m+n−2=1m+n+1=1，
解得：m=3，n=−3，故A正确．
故选：C.
根据二元一次方程的定义，x，y的指数都是1，由此列方程求解．
本题主要考查了二元一次方程的概念，二元一次方程是含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程．
2.【答案】C
【解析】解：13(x+4)<3m，
x+4<9m，
x<9m−4，
∵不等式的解集是x<5，
∴9m−4=5，
m=1，
故选：C.
先用m表示出x，再由x<5得出关于m的方程，求出m的值即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程，关键是能求出关于m的方程．求出不等式的解集，根据已知得出方程，求出方程的解即可．
3.【答案】B
【解析】解：∵AE//BC，
∴∠EAB+∠ABC=180∘，
即∠1+∠DAB+∠ABD+∠DBC=180∘，
∵∠DAB=90∘，∠ABD=45∘，∠DBC=30∘，
∴∠1=15∘，
故选：B.
根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵x=10y=−7，x=k+1y=k均是关于x，y的二元一次方程2x−y=a的解，
∴20−(−7)=a2(k+1)−k=a，
∴2k+2−k=20+7=27，
解得：k=25，
故选：B.
根据方程的解的含义可得20−(−7)=a2(k+1)−k=a，再解方程组即可得到答案．
本题考查的是二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，理解方程的解的含义是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；
B、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，是真命题；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
D、有一个角为90度的三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的一个角是直角，是真命题；
故选：C.
先交换各命题的题设与结论部分得到四个逆命题，然后分别根据全等三角形的判定、平行线的判定、矩形直角三角形的判定方法和对顶角的定义判断逆命题的真假．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
6.【答案】B
【解析】解：A、摸到黄球，红球的概率均为12，两种情况概率相加为1，可以成功；
B、摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为13，三种情况概率相加不等于1，肯定不能成功；
C、摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13、16，三种情况概率相加为1，可以成功；
D、摸到黄球、红球、白球的概率都是13，三种情况概率相加为1，可以成功．
故选：B.
分析A、B、C、D必须满足总的概率和为1，否则就是错误的．
本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1.
7.【答案】A
【解析】解：设l1的解析式为y=kx+b，
∵图象经过的点(1,0)，(0,−2)，
∴b=−20=k+b，
解得：b=−2k=2，
∴l1的解析式为y=2x−2，
可变形为2x−y=2，
设l2的解析式为y=mx+n，
∵图象经过的点(−2,0)，(0,1)，
∴n=10=−2m+n，
解得：n=1m=12，
∴l2的解析式为y=12x+1，
可变形为x−2y=−2，
∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组x−2y=22x−y=2的解．
故选：A.
首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式，然后可得方程组．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组的解．
8.【答案】C
【解析】本题考查了含30∘角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
过点E作EF⊥BC于点F.先在Rt△BEF中利用30∘角所对的直角边等于斜边的一半得出BF=12BE=4，于是CF=BC−BF=2，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DC=2CF=4，然后根据BD=BC−DC即可求解．
解：过点E作EF⊥BC于点F.
在Rt△BEF中，∵∠BFE=90∘，∠B=60∘，
∴∠BEF=30∘.
∵AB=3，AE=5，
∴BF=12BE=12(AB+AE)=12×(3+5)=4.
∵BC=6，
∴CF=BC−BF=6−4=2.
∵ED=EC，EF⊥BC，
∴DC=2CF=4，
∴BD=BC−DC=6−4=2.
故选：C.
9.【答案】A
【解析】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，
∵CD为△ABC的中线，AB=6，CD=4，
∴AD=BD=12AB=12×6=3，
∵AC=BC=5，
∴CD⊥AB，
∴点A与点B关于直线CD对称，
∴AE=BE，AI=BI，
∴AE+EF=BE+EF，
∵BE+EF≥BF，BF≥BG，
∴当点E与点I重合时，AE+EF=AI+IF=BI+IF=BF，
∴当BF与BG重合时，AE+EF=BF=BG，此时AE+EF的值最小，
∵12AC⋅BG=12AB⋅CD=S△ABC，
∴12×5BG=12×6×4，
∴BG=4.8，
∴AE+EF的最小值为4.8，
故选：A.
连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，由等腰三角形的性质得CD⊥AB，则点A与点B关于直线CD对称，所以AE=BE，AI=BI，由BE+EF≥BF，BF≥BG，可以证明当点E与点I重合，且BF与BG重合时，AE+EF=BF=BG，此时AE+EF的值最小，由12×5BG=12×6×4=S△ABC，求得BG=4.8，则AE+EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE=∠BAE，∠1=∠2，
设∠CAE=∠BAE=x，∠C=y，∠ABC=3y，
由外角的性质得：
∠1=∠BAE+∠G=x+20，∠2=12∠ABD=12(2x+y)=x+12y，
∴x+20=x+12y，解得y=40∘，
∴∠1=∠2=12(180∘−∠ABC)=12×(180∘−120∘)=30∘，
∴∠DFB=60∘.
故选：C.
由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，设∠C=y，∠ABC=3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】25
【解析】解：从13， 2，π，0，−3这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有 2，π这2种可能，
∴抽到的无理数的概率是25，
故答案为：25.
直接利用概率公式计算得出答案．
此题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．正确得出无理数的个数是解题关键．
12.【答案】53
【解析】解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得：x+4y=15 x+2y=9+y ，
解得：x=7 y=2 ，
∴图中阴影部分面积为15×(9+y)−8xy=15×(9+2)−8×7×2=53(平方厘米).
答：图中阴影部分面积为53平方厘米．
故答案为：53.
设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；再利用阴影部分的面积=大长方形的面积−8×小长方形的面积，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13.【答案】56
【解析】解：如图，
∵△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠3=∠4，∠5=∠6，
∵∠3+∠4+∠1=180∘，∠5+∠6+∠2=180∘，
∴2∠3+∠1=180∘，2∠5+∠2=180∘，
∴∠1−∠2=2∠5−2∠3，
∵∠5=∠3+∠B，
∴2∠5=2∠3+2∠B，
∴∠1−∠2=2∠B=2×28∘=56∘.
故答案为：56.
如图，根据折叠的性质得到∠3=∠4，∠5=∠6，再利用平角定理得到2∠3+∠1=180∘，2∠5+∠2=180∘，把两式相减得到∠1−∠2=2∠5−2∠3，再利用三角形外角性质得到∠5=∠3+∠B，所以∠1−∠2=2∠B.
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180∘.也考查了折叠的性质．
14.【答案】−0.5【解析】解：∵不等式(kx+b)(mx+n)>0，
∴kx+b>0mx+n>0或kx+b<0mx+n<0.
当kx+b>0mx+n>0，由图得：x<−0.5x>2，此时该不等式无解．
当kx+b<0mx+n<0，由图得：x>−0.5x<2，此时不等式组的解集为−0.5综上：−0.5故答案为：−0.5由若不等式(kx+b)(mx+n)>0，则kx+b>0mx+n>0或kx+b<0mx+n<0，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
15.【答案】3 3
【解析】解：如图，过点C作CN⊥AB于点N，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，AN=BN=3，
∴BE=CE，
∴BE+EF=CE+EF≥CF，即BE+EF的最小值为CF的长，
∵当点F于点N重合时，CF最小，即CN的长，
∴BE+EF的最小值为CN的长，
∴CN= BC2−BN2= 62−32=3 3，
即BE+EF的最小值为3 3.
故答案为：3 3.
过点C作CN⊥AB于点N，根据等边三角形的性质可得AD垂直平分BC，AN=BN=3，从而得到BE=CE，进而得到当点F于点N重合时，CF最小，即CN的长，再由勾股定理，即可求解．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，点到直线的距离，熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理，点到直线，垂线段最短是解题的关键．
16.【答案】①②③④⑤
【解析】解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACF=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，
∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=12(∠ACB+∠ACD)=90∘，故①正确；
∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BHA=∠BHC=90∘，
∴∠BAH+∠ABE=90∘，∠ACB+∠EBC=90∘，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∵BE⊥AC，
∴AH=CH，
∴EA=EC，故②正确；
∵∠BFC=180∘−(∠FBC+∠FCB)=180∘−12(∠ABC+∠ACB)=180∘−12(180∘−∠BAC)=90∘+12∠BAC，故③正确；
设∠ACE=∠ECD=x，∠ABE=∠EBC=y，
则有x=y+∠BEC2x=2y+∠BAC，可得∠BAC=2∠BEC，故④正确，
∵EA=EC，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC，
∵∠FCH+∠ACE=90∘，∠ACE+∠BEC=90∘，
∴∠FCH=∠BEC=∠AEB，
∵∠ACF=∠BCF，
∴∠AEH=∠BCF，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
①根据角平分线的定义以及平角的性质即可解决问题．
②证明BE垂直平分线段AC即可解决问题．
③利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可解决问题．
④利用参数构建方程组即可解决问题．
⑤利用等角的余角相等即可解决问题．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)整理得{4x−3y=12①3x−4y=2②，
3×①−4×②得：7y=28，即y=4.
将y=4代入①得：x=6，
所以方程组的解为x=6y=4；
(2){4x−2⩾3(x−1)①x−52+1>x−3②，
解不等式①得：x≥−1.
解不等式②得：x<3.
∴原不等式组的解集为：−1≤x<3.
将不等式组的解集表示在数轴上，如图
∴不等式组的整数解是−1，0，1，2.
【解析】(1)先将方程组中的第一个方程去分母，再利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
(2)先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解即可．
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键．
18.【答案】白 5 3
【解析】解：(1)从中任意摸出1个球，摸到白球的可能性大；
故答案为：白；
(2)摸到红球的概率=410=25，摸到白球的概率=610=35，
(3)设应放入x个红球，(8−x)个白球，
根据题意得4+x10+8=6+8−x10+8，
解得x=5，
8−x=3，
所以应放入5个红球，3个白球．
故答案为：5；3.
(1)由于白球比红球多，所以摸到白球的可能性大；
(2)根据概率公式求解；
(3)设应放入x个红球，(8−x)个白球，根据概率公式得到4+x10+8=6+8−x10+8，然后解方程即可．
本题考查了概率公式：正确理解概率公式是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1，
过E作EK//AB，
∵AB//CD，
∴EK//CD，
∴∠DEK=∠D，∠BEK=∠ABE=120∘，
∴∠BED+∠D=120∘；
(2)如图2，
∵∠DEF=2∠BEF，∠CDF=13∠CDE，EF与DF交于点F，
∴∠DEF=23∠BED，∠EDF=23∠CDF，
∴∠DEF+∠EDF=23×(∠BED+∠CDE)=23×120∘=80∘，
∴∠EFD=180∘−(∠DEF+∠EDF)=100∘.
【解析】(1)如图1，过E作EK//AB，得到EK//CD，推出∠DEK=∠D，∠BEK=∠ABE=120∘，于是得到∠BED+∠D=120∘；
(2)如图2，由∠DEF=23∠BED，∠EDF=23∠CDF，求出∠DEF+∠EDF=23×(∠BED+∠CDE)=80∘，由三角形内角和定理即可求出∠EFD的度数．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出∠DEK=∠D，∠BEK=∠ABE=120∘；求出∠DEF+∠EDF=120∘，由三角形内角和定理求出∠EFD的度数．
20.【答案】解：(1)将(1,3)代入直线l1：y=−x+b得，b=4，
∴直线l1：y=−x+4，
令x=0，得y=4，令y=0，得x=4，
∴点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,4)；
(2)①当点B，O关于点D对称时，点D的坐标为(0,2)，
将D(0,2)，M(1,3)代入y=kx+m得，
2=m3=k+m，
解得m=2k=1，
∴直线l2的解析式为y=x+2；
②由图象可得，关于x的不等式0【解析】(1)利用待定系数法求出直线l1的解析式，进而可求出点A、B的坐标；
(2)①根据中心对称的性质得出点D坐标，再利用待定系数法即可求出l2的解析式；
②根据函数图象即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的交点问题，坐标与图形，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
21.【答案】(1)解：∵∠ACB=90∘，∠ABC=60∘，BC=3，
∴∠BAC=30∘，
∴AB=2BC=6，
∴AB的长是6.
(2)证明：如图，作MF⊥AB于点F，MG⊥CB交CB的延长线于点G，
∴∠G=∠MFA=90∘，
又∵点M在∠ABD的平分线上，∠ABD=180∘−∠ABC=120∘，
∴MG=MF，∠MBD=∠MBA=12∠ABD=60∘，
在Rt△MGD和Rt△MFA中，
DM=AMMG=MF，
∴Rt△MGD≌Rt△MFA(HL)，
∴∠MDG=∠MAF，
∴∠MDB+∠MAB=∠MDB+∠MDG=180∘.
【解析】(1)根据含30∘角的直角三角形的性质即可求解；
(2)作MF⊥AB于点F，MG⊥CB交CB的延长线于点G，根据HL证明Rt△MGD≌Rt△MFA得出∠MDG=∠MAF，即可推出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含30∘角的直角三角形的性质，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
3x+y=1055x+3y=215，
解得：x=25y=30，
答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；
(2)设购进A种跳a件，总费用为w元，
∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，
则2a≤48−a，
解得：a≤16，
w=25a+30(48−a)=−5a+1440，
∵−5<0，
∴w随a的增大而减小，
当a=16时，w有最小值为1360元，
答：购买跳绳所需最少费用是1360元．
【解析】(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
(2)设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵EM平分∠AEF
∴∠AEM=∠FEM，
又∵∠FEM=∠FME，
∴∠AEM=∠FME，
∴AB//CD；
(2)①如图2，∵AB//CD，β=40∘
∴∠AEG=140∘，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，
∴∠MEH=12∠AEG=70∘，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90∘−70∘=20∘，
即α=20∘；
②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α=12β.
证明：∵AB//CD，
∴∠AEG=180∘−β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，
∴∠MEH=12∠AEG=12(180∘−β)，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90∘−∠MEH=90∘−12(180∘−β)=12β，
即α=12β；
如图3，当点G在点F的左侧时，α=90∘−12β.
证明：∵AB//CD，
∴∠AEG=∠EGF=β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，
∴∠MEH=∠MEF−∠HEF
=12(∠AEF−∠FEG)
=12∠AEG
=12β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN=90∘−∠MEH，
即α=90∘−12β.
【解析】(1)依据角平分线，可得∠AEM=∠FEM，根据∠FEM=∠FME，可得∠AEM=∠FME，进而得出AB//CD；
(2)①依据平行线的性质可得∠AEG=130∘，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=12∠AEG=65∘，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90∘−65∘=25∘；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α=12β.当点G在点F的左侧时，α=90∘−12β.
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
24.【答案】解：(1)∵△BAD和△CAE是等腰三角形且∠BAD=∠CAE=90∘，
∴AB=AD，AC=AE，∠E=∠ACE=45∘，∠BAC=∠DAE=90∘−∠CAD，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴∠ACB=∠E=45∘，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACE=90∘，
∵∠ABF+∠ABC=180∘，∠ADC+∠ABC=360∘−∠BAD−∠BCD=180∘，
∴∠ABF=∠ADC.
(2)CF⊥CE，
理由：由(1)得∠BCD=90∘，
∴CF⊥CE.
(3)由(1)得△BAC≌△DAE，
∴BC=DE，
∵∠F=90∘，∠ACB=45∘，
∴∠ACF=∠CAF=45∘，
∴AF=CF，
∴AC= AF2+CF2= 2CF，
∴CE= AE2+AC2= 2AC= 2× 2CF=2CF，
∴CD=CE−DE=2CF−BC=2(BF+BC)−BC=2BF+BC，
∴CD=2BF+DE.
【解析】(1)由等腰三角形的性质得AB=AD，AC=AE，∠E=∠ACE=45∘，推导出∠BAC=∠DAE，即可根据“SAS”证明△BAC≌△DAE，得∠ACB=∠E=45∘，则∠BCD=90∘，即可由∠ABF+∠ABC=180∘，∠ADC+∠ABC=180∘，推导出∠ABF=∠ADC；
(2)由(1)得∠BCD=90∘，则CF⊥CE；
(3)由全等三角形的性质得BC=DE，由∠ACF=∠CAF=45∘，得AF=CF，则AC= 2CF，CE= 2AC=2CF，所以CD=2CF−BC=2(BF+BC)−BC=2BF+BC=2BF+DE.
此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于360∘、同角的补角相等、勾股定理等知识，证明△BAC≌△DAE是解题的关键．