2023-2024学年山东省济宁学院附中七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年山东省济宁学院附中七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. x−y2=1B. 2x−y=1C. 1x+y=1D. xy−1=0
2.若a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a−3−2bC. a+1>b+1D. a43.如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
4.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=8，3DC=AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.在△ABC中，AB=AC，∠B=40∘，D是BC边上的动点(不与B、C重合)，连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为( )
A. 80∘B. 110∘C. 80∘或120∘D. 80∘或110∘
6.某品牌手机的成本为每部2000元，售价为每部2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于12%，如果将这种品牌的手机打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是( )
A. 2800x≥22000×12%B. 2800×x10−2000≥2000×12%
C. 2800×x10≥2000×12%D. 2800x−2000≥2000×12%
7.下列命题中，其逆命题是真命题的个数是( )
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
③如果两个角是对顶角，那么它们相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC于E，延长BC到点F，连接DF，若∠F=30∘，则EF的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如图，△ABC中，∠BAC=60∘，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO=2，下面结论中不一定正确的是( )
A. ∠BOC=120∘
B. ∠BAO=30∘
C. OB=3
D. 点O到直线BC的距离是1
10.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③OP=OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOE=120∘.其中正确的有( )
A. ①②④⑤B. ①②③④C. ②③④⑤D. ①③④⑤
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.书架上有数学书2本，英语书3本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是______.
12.用反证法证明：“若a≥b>0，则a2≥b2”，应先假设______.
13.如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC=90∘，AD=4m，AB=13m，BC=12m，DC=3m，该花圃的面积为______m2.
14.如果不等式组3x−2≥x+12x≤a无解，则a的取值范围是______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
15.不等式(组)
(1)解不等式2x−13≤3x+24−1，并把解集表示在数轴上．
(2)解不等式组{x−32+3⩾x+1①1−3(x−1)<8−x②并写出整数解．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
如图，△ABC中，AB=AC，
(1)请你利用直尺和圆规完成如下操作(保留作图痕迹，不写作法)：
①作△ABC的角平分线AD；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AD相交于点P；
③连接PB，PC.
请你观察图形解答下列问题：
(2)线段PA，PB，PC之间的数量关系是______，请说明理由.
17.(本小题7分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=14，BE=4，求AB的长.
18.(本小题6分)
已知直线l1：y=x+n−2与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,2).
(1)求m，n的值；
(2)请结合图象直接写出不等式mx+n≤x+n−2的解集；
(3)求直线l1、直线l2与y轴围成的三角形的面积.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F.
(1)证明：BA=BC；
(2)求证：△AFC为等腰三角形.
20.(本小题9分)
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜1个、乙种书柜1个，共需资金420元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元.
(1)求甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元；
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请你为学校设计所需资金最少的购买方案，并求出该方案所需资金多少元？
21.(本小题7分)
在边长为8的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
(1)如图1，若BQ=6，当t取何值时PQ//AC？
(2)若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形(在图2中画出示意图).
(3)如图3，将边长为AB=8的等边三角形ABC变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且AB=AC=8，BC=6，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当△BPM，△CNM全等时，直接写出a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.x−y2=1不是二元一次方程；
B.2x−y=1是二元一次方程；
C.1x+y=1不是二元一次方程；
D.xy−1=0不是二元一次方程；
故选：B.
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得．
本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵a>b，
∴a−3>b−3，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、∵a>b，
∴−2a<−2b，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、∵a>b，
∴a+1>b+1，原变形正确，故本选项符合题意；
D、∵a>b，
∴a4>b4，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵DE是AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC，
∵AB=4，BC=7，
∴△ABD的周长=4+7=11，
故选：B.
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90∘，BD平分∠ABC，
∴DE=CD，
∵AC=8，3DC=AD，
∴CD=2，
∴DE=2，
即点D到AB的距离是2，
故选：C.
过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE=CD，求出CD的长，再根据点到直线的距离的定义得出即可．
本题考查了角平分线的性质和点到直线的距离，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
5.【答案】D
【解析】解：
∵AB=AC，∠B=40∘，
∴∠C=∠B=40∘，
∴∠BAC=180−∠B−∠C=180∘−40∘−40∘=100∘，
∵△ACD为等腰三角形，
当AD=CD时，∠CAD=∠C=40∘，
∴∠ADB=40∘+40∘=80∘；
当AD=AC时，∠ADC=∠C=40∘，
这时点D与点B重合，不符合题意，
当CD=CA时，∠C=40∘，
∴∠DAC=180∘−∠C2=180∘−40∘2=70∘，
∴∠BDA=40∘+70∘=110∘
综上，∠BDA的度数为110∘或80∘.
故选：D.
根据三角形内角和为180∘，△ACD为等腰三角形，分三种情况分别计算即可．
本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如果将这种品牌手机打x折销售，根据题意得2800×x10−2000≥2000×12%，
故选：B.
设最低可打x折，根据品牌手机的利润率不低于12%，可列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据利润=售价-进价，可列不等式求解．
7.【答案】B
【解析】解：①逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②逆命题为：如果一个三边长a，b，c(c为最长边)的三角形是直角三角形，那么a2+b2=c2，是真命题；
③逆命题为：如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题；
④逆命题为：如果两个实数平方相等，那么它们相等，是假命题；
故选：B.
根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题与定理，根据逆命题的概念得出原命题的逆命题是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D为AC的中点，
∴CD=12AC=2，∠ACB=60∘，
∵∠F=30∘，DE⊥BC，
∴∠CDE=∠CDF=30∘，
∴CE=12CD=1，CD=CF=2，
∴EF=CF+CE=1+2=6，
故选：B.
由等边三角形的性质可证∠CDE=∠CDF=30∘，则CE=12CD=1，CD=CF=2，即可求出EF的长．
本题主要考查了等边三角形的性质，含30∘角的直角三角形的性质等知识，求出CE=12CD=1，CD=CF=2是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×(180∘−∠BAC)=60∘，
∴∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=120∘，
故A正确；
∵BO、CO分别平分∠ABC，
∴O是△ABC的内心，
∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC=60∘，
∴∠BAO=12∠BAC=30∘，
故B正确；
OB的长在变化不一定等于3，
故C不一定正确；
∵∠ANO=90∘，∠NAO=30∘，
∴ON=12AO=12×2=1，
∴OM=ON=1，
∴O到BC的距离是1，
故D正确．
故选：C.
由角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=60∘，由三角形内角和定理求出∠BOC的度数，由三角形内心的性质求出∠BAO的度数是30∘，
OB的长在变化不一定等于3，由直角三角形的性质得到ON=1，由角平分线的性质得到OM=ON=1，得到O到BC的距离是1.
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
10.【答案】A
【解析】解：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=60∘=∠DCE，
∴∠BCD=180∘−∠ACB−∠DCE=60∘，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，①正确，故符合要求；
∴∠CAP=∠CBQ，
∵∠CAP=∠CBQ，AC=BC，∠ACP=60∘=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴CP=CQ，
∴△CPQ为等边三角形，④正确，故符合要求；
∴∠CPQ=60∘=∠ACP，
∴PQ//AE，②正确，故符合要求；
∴∠OPQ=∠DAC，∠OQP=∠BEC，
∵∠DAC、∠BEC不一定相等，
∴OP=OQ，不一定成立，③错误，故不符合要求；
由题意知，∠AOE=180∘−(∠CAD+∠BEC)=180∘−(∠CBE+∠BEC)=180∘−∠ACB=120∘，⑤正确，故符合要求；
故选：A.
证明△ACD≌△BCE(SAS)，则AD=BE，可判断①的正误；证明△ACP≌△BCQ(ASA)，可得CP=CQ，可证△CPQ为等边三角形，可判断④的正误；由∠CPQ=60∘=∠ACP，可得PQ//AE，可判断②的正误；由∠OPQ=∠DAC，∠OQP=∠BEC，∠DAC、∠BEC不一定相等，可知OP=OQ，不一定成立，可判断③的正误；由题意知，∠AOE=180∘−(∠CAD+∠BEC)=180∘−(∠CBE+∠BEC)=120∘，可判断⑤的正误．
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
11.【答案】15
【解析】解：从中任意抽取一本是数学书的概率=22+3+5=15.
故答案为：15.
直接根据概率公式计算即可．
本题考查了概率公式，熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．
12.【答案】a2【解析】解：用反证法证明“若a≥b>0，则a2≥b2”的第一步是假设a2故答案为：a2根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
13.【答案】24
【解析】解：连接AC，
∵AD=4m，CD=3m，∠ADC=90∘，
∴AC= 32+42=5m，
△ACD的面积=12×3×4=6(m2)，
在△ABC中，
∵AC=5m，BC=12m，AB=13m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90∘，
∴直角△ABC的面积=12×12×5=30(m2)，
∴四边形ABCD的面积=30−6=24(m2).
故答案为：24.
连接AC，先利用勾股定理求AC，再利用勾股定理逆定理证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=△ABC面积−△ACD面积即可计算．
本题考查了直角三角形中勾股定理和勾股定理逆定理，求证△ABC是直角三角形是解题的关键．
14.【答案】a<1
【解析】解：不等式组{3x−2⩾x+12①x⩽a②.
解不等式①得x≥1，
不等式②x≤a，
∵不等式组无解，
∴a<1.
故答案为：a<1.
解不等式3x−2≥x+12得x≥1，已知x≤a，根据不等式组无解，可得a的取值范围．
本题考查了解一元一次不等式组．关键是根据已知不等式组无解，得出参数的取值范围．
15.【答案】解：去分母，得4(2x−1)≤3(3x+2)−12，
去括号，得8x−4≤9x+6−12，
移项，得8x−9x≤6−12+4，
合并同类項得−x≤−2，
系数化为1，得x≥2.
∴原不等式的解集为：x≥2，
在数轴上表示为：
(2){x−32+3⩾x+1①1−3(x−1)<8−x②，
由①得：x≤1；
由②得x>−2；
∴不等式组的解集为−2则原不等式组的整数解为−1，0，1.
【解析】(1)先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，找出解集中的整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
16.【答案】PA=PB=PC
【解析】解：(1)如图所示．
(2)PA=PB=PC.
理由：∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴PB=PC.
∵EF为线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
(1)根据角平分线和线段垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得PA=PB=PC.
本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90∘，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∴AB=AE−BE=AF−BE=AC−CF−BE，
∵AC=14，BE=CF=4，
∴AB=14−4−4=6.
【解析】(1)求出∠E=∠DFC=90∘，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线的判定定理，即可求证；
(2)根据Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE=AF，再由线段的和差关系求出答案，即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键．
18.【答案】解：(1)把P(1,2)代入y=x+n−2和y=mx+n中得：
1+n−2=2m+n=2，
解得m=−1n=3，
∴m和n的值分别为−1和3；
(2)由图象可得不等式mx+n≤x+n−2的解集为：x≥1；
(3)如图：
当x=0时，y=0+1，
故OA=1，
当x=0时，y=0+3，
解得：y=3，
则OB=3，
∴直线l1、直线l2与y轴围成的三角形的面积为：S△ABP=12×(3−1)×1=1.
【解析】(1)直接把已知点代入函数关系式进而得出m，n的值；
(2)直接利用函数图象得出不等式mx+n≤x+n−2的解集；
(3)分别得出AO，BO的长，进而得出△PAB的面积．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式以及三角形的面积，正确利用函数图象分析是解题关键．
19.【答案】证明：(1)在△ABD和△CBE中，
∠BAD=∠BCE∠B=∠BBD=BE，
∴△ABD≌△CBE(AAS)，
∴BA=BC；
(2)∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAD=∠BCE，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴△AFC为等腰三角形．
【解析】(1)利用AAS证明△ABD≌△CBE可证得答案；
(2)由(1)易得∠BAC=∠BCA，进而可求解∠FAC=∠FCA，即可证明结论．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，通过△ABD≌△CBE是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设每个甲种书柜的价格是x元，每个乙种书柜的价格是y元，
根据题意得：x+y=4204x+3y=1440，
解得：x=180y=240.
答：每个甲种书柜的价格是180元，每个乙种书柜的价格是240元；
(2)设该校购进m个甲种书柜，则购进(20−m)个乙种书柜，
根据题意得：20−m≥m180m+240(20−m)≤4320，
解得：8≤m≤10，
又∵m为正整数，
∴m可以为8，9，10，
∴该校共有3种购买方案，
方案1：购进8个甲种书柜，12个乙种书柜，所需资金为180×8+240×12=4320(元)；
方案2：购进9个甲种书柜，11个乙种书柜，所需资金为180×9+240×11=4260(元)；
方案3：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜，所需资金为180×10+240×10=4200(元).
∵4320>4260>4200，
∴方案3所需资金最少．
答：所需资金最少的购买方案：购进10个甲种书柜，10个乙种书柜，该方案所需资金为4200元．
【解析】(1)设每个甲种书柜的价格是x元，每个乙种书柜的价格是y元，根据“购买甲种书柜1个、乙种书柜1个，共需资金420元；购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购进m个甲种书柜，则购进(20−m)个乙种书柜，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，且学校至多能够提供资金4320元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出各进货方案，再求出各方案所需资金，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】解：(1)如图1∵△ABC是等边三角形，PQ//AC，
∴∠BQP=∠C=60∘，∠BPQ=∠A=60∘，
又∠A=60∘，
∴∠A=∠BQP=∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ，
由题意可知：AP=t，则BP=8−t，
∴8−t=6解得：t=2，
故t的值为2时，PQ//AC；
(2)如图2 ①当点Q在边BC上时，
此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，
若△APQ为等边三角形，则AP=AQ，
由题意可知，AP=t，BC+CQ=2t，
∴AQ=BC+AC−(BC+CQ)=8+8−2t=16−2t，
即：16−2t=t，解得：t=163，
故当t=163秒时，△APQ为等边三角形；
(3)由题意可知：BM=t，CN=at，BP=12AB=12×8=4，
∴CM=BC−BM=6−t，
若△PBM≌△NCM，
则PB=NC，BM=CM
∴4=at，t=6−t.
解得：a=43，t=3，
若△PBM≌△MCN，
则PB=MC，BM=CN，
∴4=6−t，t=at，
解得：a=1，t=2，
综上所述：当△BPM，△CNM全等时，a的值为1或43.
【解析】(1)由平行线的性质得∠BQP=∠C=60∘，∠BPQ=∠A=60∘，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
(2)根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可；
(3)由△BPM，△CNM全等可得△PBM≌△NCM或△PBM≌△MCN两种情况，再根据不同的情况分别得到等量关系，列方程求解即可．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解．能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．