2023-2024学年山东省淄博市淄川区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市淄川区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个选项中的说法不是命题的是( )
A. 对顶角相等B. 过直线外一点作已知直线的平行线
C. 如果a=b，b=c，那么a=cD. 三角形的外角大于任何一个内角
2.已知方程3x−4y=6，用含y的式子表示x为( )
A. x=6−4y3B. x=6+4y3C. y=6−3x4D. y=6+3x4
3.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 95∘
B. 100∘
C. 105∘
D. 110∘
4.有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
5.如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是( )
A. SASB. AASC. SSSD. ASA
6.已知关于x，y的方程组2x+y=−a+4x+2y=3−a，则x−y的值为( )
A. 1B. a−1C. 0D. −1
7.如图，∠1=70∘，直线a//b，则∠2比∠3大( )
A. 70∘
B. 80∘
C. 110∘
D. 180∘
8.若x+aay，则( )
A. x0B. xy，a>0D. x>y，a<0
9.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是( )
A. 24B. 30C. 36D. 42
10.某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最低可以打( )
A. 8折B. 6折C. 7折D. 9折
11.若关于x的不等式组x<3a+2x>a−4无解，则a的取值范围是( )
A. a≤−3B. a<−3C. a>3D. a≥3
12.如图，已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(−2,3)，则关于x的不等式mx+m+n<3的解集为( )
A. x>−3
B. x<−3
C. x>−2
D. x<−2
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.写出一个解集为x<−12的不等式______.
14.天气预报称，明天全市的降水概率为90%.你对“明天全市的降水概率为90%”的理解是______.
15.如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC//DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
16.乐天借到一本有72页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页？设以后几天里每天要读x页，所列不等式为______.
17.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率是______.
18.如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，AC的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG.若AM=2，则△MNG的周长为______.
19.若点M(m+3,m−1)在第四象限，则m的取值范围是______.
20.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下______元．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题20分)
完成下列各题：
解方程组：
x−y=13,x=6y−7;
12x−32y=−3,2x+3y=3.
解不等式(组)：
2(x−1)+1>−3，
5x+2>3(x−1),12x−1≤7−32x.
22.(本小题8分)
如图，MN//BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60∘，DC是∠NDE的平分线．
(1)AB与DE平行吗？请说明理由；
(2)试说明∠ABC=∠C；
(3)试说明BD是∠ABC的平分线．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=60∘.
(1)作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；作BC的垂直平分线交BD于点E，交BC于点F；(保留痕迹，不写作法)
(2)连接CE，若∠ACE=42∘，求∠BEF的度数.
24.(本小题10分)
为了提倡低碳经济，某公司决定购买节省能源的10台新设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格、产量如下表.
经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型台设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元.
(1)表中a与b的值分别是______；
(2)预算该公司购买节能设备的资金不超过110万元，试通过计算说明公司有几种购买方案可供选择？
(3)在(2)的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节省资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.
25.(本小题12分)
已知点A(0,4)、C(−2,0)在直线l：y=kx+b上，l和函数y=−4x+a的图象交于点B.
(1)求直线l的表达式；
(2)若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组y=kx+by=−4x+a的解及a的值.
(3)在(2)的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积.
26.(本小题12分)
两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD=CE；
(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE.
①求∠AEB的度数；②判断线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．
故选：B.
判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句(祈使句)、感叹句等都不是命题．
2.【答案】B
【解析】解：方程3x−4y=6，
3x=6+4y，
所以：x=6+4y3.
故选：B.
把y看作已知数求出x即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
3.【答案】C
【解析】解：如图：
∵∠2=180∘−30∘−45∘=105∘，
∵AB//CD，
∴∠1=∠2=105∘，
故选：C.
根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：
，
三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645；
三位数是5的倍数的概率为：26=13；
故选：C.
根据题意，画出图形即可，再根据数据进行分析．
本题主要考查了概率的相关知识，难度不大，认真分析即可．
5.【答案】A
【解析】解：在△ABC和△DCB中
∵AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
故选：A.
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】A
【解析】解：方程组{2x+y=−a+4①x+2y=3−a②，
①-②，得：
x−y=−a+4−3+a=1.
故选：A.
由x、y系数的特点和所求式子的关系，可确定让①-②即可求解．
本题考查了解二元一次方程组，整体思想是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】如图，过∠2的顶点作直线c//b，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠5，
∴∠4=∠3，
∴∠2−∠3=∠2−∠4，
∵a//b，b//c，
∴a//c，
∴∠2−∠4=180∘−∠1=180∘−70∘=110∘，
即∠2−∠3=110∘，
故选：C.
由平行线的性质即可求解．
此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵x+a∴由不等式的性质1，得x∵ax>ay，
∴a<0.
故选B.
由不等式的性质1，x主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90∘，
∴DH=CD=4，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DH+12BC⋅CD=12×6×4+12×9×4=30，
故选：B.
10.【答案】B
【解析】解：设可以打x折出售此商品，
由题意得：240×x10−120≥120×20%，
解得x≥6，
故选：B.
设可以打x折出售此商品，根据售价-进价=利润，利润=进价×利润率可得不等式，解之即可．
此题考查了一元一次不等式的应用，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键
11.【答案】A
【解析】解：∵不等式组x<3a+2x>a−4无解，
∴a−4≥3a+2，
解得：a≤−3，
故选：A.
利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=mx+n的图象经过点P(−2,3)，
∴一次函数y=m(x+1)+n的图象经过点(−3,3)，
由图象可知，关于x的不等式mx+m+n<3的解集为x>−3.
故选：A.
由一次函数y=mx+n的图象经过点P(−2,3)可知，一次函数的图象向左平移一个单位经过点(−3,3)，然后根据图象即可得到不等式mx+m+n<3的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握用数形结合的方法解题．
13.【答案】2x<−1(答案不唯一)
【解析】解：符合要求的不等式2x<−1，
故答案为：2x<−1(答案不唯一).
根据不等式的性质，两边同乘以2即可得出一个不等式2x<−1.
本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式性质是关键．
14.【答案】表明天全市下雨的可能性很大
【解析】解：“明天全市的降水概率为90%”的理解是表明天全市下雨的可能性很大．
故答案为：表明天全市下雨的可能性很大．
下雨的降水概率指的是下雨的可能性，据此进行解题即可．
本题考查概率的意义，掌握生活中常用的知识点是解题的关键．
15.【答案】AB=ED(答案不唯一)
【解析】【分析】
此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】
解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴∠BAC=∠DEF=90∘，
∵BC//DF，
∴∠DFE=∠BCA，
∴添加AB=ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中
∠BCA=∠DFE∠BAC=∠DEFAB=ED，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(AAS)，
故答案为：AB=ED(答案不唯一).
16.【答案】8x+2×5≥72
【解析】解：根据题意，得
8x+2×5≥72.
故答案为：8x+2×5≥72
理解：10天之内读完，意思是10天内读的页数应大于或等于72.
此题的关键是弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
17.【答案】1350
【解析】解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a，
∴点P落在阴影部分的概率为2a2+2×(1.5a)216a2+4×(1.5a)2=1350，
故答案为：1350.
求出阴影部分的面积，根据概率是即可求出概率．
本题考查几何概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
18.【答案】18
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60∘，
∵AC⊥GN，BA⊥MG，CB⊥MN，
∴∠ACG=∠BAM=∠CBM=90∘，
∴∠CAG=90∘−∠BAC=30∘，∠ABM=90∘−∠ABC=30∘，
∴△ABM≌△ACG(ASA)，
∴MA=CG=2，
即MG=AM+AG=CG+AG，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，
∵AC⊥GN，BA⊥MG，
∴∠ACG=∠BAM=90∘，
∴∠CAG=90∘−∠BAC=30∘.
∴∠M=90∘−∠ABM=60∘，
同理：∠N=∠G=60∘，
∴△MNG为等边三角形，
∵∠CAG=30∘，
∴AG=2CG=4，
∵MG=CG+AG=6，
所以△MNG的周长=3MG=3×6=18，
故答案为：18.
本题中△ABC为等边三角形，通过ASA证明△ABM≌△ACG，得MA=CG=2.证明△MNG是等边三角形，易得∠CAG=30∘，AG=2CG=4，即可作答．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形判定与性质，30∘所对的直角边是斜边的一半等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19.【答案】−3【解析】解：∵点M(m+3,m−1)在第四象限，
∴{m+3>0①m−1<0②，
解不等式①得：m>−3，
解不等式②得：m<1，
∴原不等式组的解集为：−3故答案为：−3根据第四象限点的坐标特征(+,−)可得{m+3>0①m−1<0②，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
20.【答案】31
【解析】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意得：5x+3y+10=3x+5y−4，
∴y=x+7，
∴(5x+3y+10)−8x=[5x+3(x+7)+10]−8x=8x+31−8x=31.
故答案为：31.
设每支玫瑰x元，每支百合y元，利用总价=单价×数量，结合小慧带的钱数不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出y=x+7，再将其代入(5x+3y+10)−8x中即可求出剩下的钱数．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1){x−y=13①x=6y−7②，
把②代入①得：6y−7−y=13，
解得y=4，
把y=4代入②得：x=17，
所以方程组的解是x=17y=4.
(2)整理得{x−3y=−6①2x+3y=3②，
①+②得：3x=−3，
解得x=−1，
把x=−1代入①得−1−3y=−6，
解得y=53，
所以方程组的解x=−1y=53.
(3)2(x−1)+1>−3，
2x−2+1>−3，
2x>−3+2−1，
2x>−2，
x>−1；
(4){5x+2>3(x−1)①12x−1⩽7−32x②，
解不等式①得x>−2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为−2.5【解析】(1)利用代入消元法求解即可；
(2)利用加减消元法求解即可；
(3)去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
(4)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式(组)，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)AB//DE，理由如下：
∵MN//BC，(已知 )
∴∠ABC=∠1=60∘.(两直线平行，内错角相等 )
又∵∠1=∠2，(已知 )
∴∠ABC=∠2.(等量代换 )
∴AB//DE.(同位角相等，两直线平行 )；
(2)∵MN//BC，
∴∠NDE+∠2=180∘，
∴∠NDE=180∘−∠2=180∘−60∘=120∘.
∵DC是∠NDE的平分线，
∴∠EDC=∠NDC=12∠NDE=60∘.
∵MN//BC，
∴∠C=∠NDC=60∘.
∴∠ABC=∠C.
(3)∠ADC=180∘−∠NDC=180∘−60∘=120∘，
∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90∘.
∴∠ADB=∠ADC−∠BDC=120∘−90∘=30∘.
∵MN//BC，
∴∠DBC=∠ADB=30∘.
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC.
∴BD是∠ABC的平分线．
【解析】(1)首先根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC=∠1=60∘，进而证明∠ABC=∠2，根据同位角相等，两直线平行，即可证得；
(2)根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而判断；
(3)在直角△BCD中，求得∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．.
本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)作法如图所示；
(2)设∠DBC=x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=x，
∵EF是BC的中垂线，
∴BE=CE，∠BFE=90∘，
∴∠ECB=∠DBC=x，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180∘，
∴60∘+42∘+x+x+x=180∘，
解得：x=26∘，
∴∠BEF=90∘−∠DBC=90∘−26∘=64∘，
∴∠BEF的度数为64∘.
【解析】(1)根据“作角平分线”和“作线段的垂直平分线”的基本作法作图；
(2)根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和定理求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
24.【答案】a=12，b=10
【解析】解：(1)根据题意得：a−b=22a−3b=−6，
解得a=12b=10，
∴a=12，b=10.
故答案为：a=12，b=10.
(2)设购买节省能源的新设备甲型设备x台，乙型设备(10−x)台，
则：12x+10(10−x)≤110，
解得：x≤5，
∵x取非负整数∴x=0，1，2，3，4，5，
∴有6种购买方案．
(3)由题意：240x+180(10−x)≥2040，
∴x≥4，
∴x为4或5.
当x=4时，购买资金为：12×4+10×6=108(万元)，
当x=5时，购买资金为：12×5+10×5=110(万元)，
则最省钱的购买方案为：应选购甲型设备4台，乙型设备6台．
(1)根据题意列出方程，求出a、b的值即可得出答案；
(2)设节省能源的新设备甲型设备x台，乙型设备(10−x)台，根据该公司购买节能设备的资金不超过110万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案；
(3)因为公司要求每月的产量不低于2040吨，得出240x+180(10−x)≥2040，解之求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可．
本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．
25.【答案】解：(1)∵点A(0,4)、C(−2,0)在直线l：y=kx+b上，
∴b=4−2k+b=0，解得k=2b=4，
所以直线l的表达式为：y=2x+4；
(2)由于点B在直线l上，当x=1时，y=2+4=6，
所以点B的坐标为(1,6)，
所以关于x、y的方程组y=kx+by=−4x+a的解为x=1y=6，
因为点B是直线l与直线y=−4x+a的交点，
把x=1，y=6代入y=−4x+a中，求得a=10.
(3)因为点A与点P关于x轴对称，所以点P(0,−4)，
所以AP=4+4=8，OC=2，
所以S△BPC=S△PAB+S△PAC
=12×8×1+12×8×2
=4+8
=12.
【解析】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
(1)由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式；
(2)先求出点B的坐标，即得方程组的解．代入组中方程求出a即可；
(3)由于S△BPC=S△PAB+S△PAC，分别求出△PBC和△PAC的面积即可．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=90∘=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45∘，
∴∠ADC=180∘−∠CDE=135∘，
∴∠BEC=∠ADC=135∘，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘，
②结论：AE=BE+2CM，
理由：∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∵∠DCE=90∘，
∴DM=ME=CM，
∴DE=2CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
【解析】(1)根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE(SAS)，即可得BD=CE；
(2)①根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE(SAS)，即有AD=BE，∠ADC=∠BEC，从而可得∠BEC=∠ADC=135∘，即知∠AEB=∠BEC−∠CED=90∘；
②由CD=CE，CM⊥DE，∠DCE=90∘，可得DM=ME=CM，故AE=AD+DE=BE+2CM.
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．甲型
乙型
价格(万元/台)
a
b
产量(吨/月)
240
180