2023-2024学年河南省南阳市内乡县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省南阳市内乡县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若x=1是方程2x+a=0的解，则a=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
2.不等式组2x−5<13x+1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
A. B.
C. D.
4.已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 4B. 5C. 10D. 11
5.如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中∠ABD=130∘，CD//EF，∠E=60∘，则∠BDC=( )
A. 70∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘
6.如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角形DEF，下列错误的是( )
A. AC=DF
B. EB=FC
C. ∠D=∠ABC
D. DE//AB
7.下列各组图形中，属于全等图形的是( )
A. B.
C. D.
8.某商店卖出两件衣服，售价均为60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店( )
A. 不赚不亏B. 赚12元C. 亏8元D. 亏12元
9.手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下设定的图案即可.下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
10.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35∘，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90∘，则∠A的度数( )
A. 35∘
B. 75∘
C. 55∘
D. 65∘
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写一个解为x=2y=1的二元一次方程______.
12.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书大约在四五世纪.书中著名的“雉(鸡)兔同笼”问题是“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，此问题中鸡有______只.
13.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______.
14.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE=5，AG=2，则S△DEC=______.
15.工人师傅选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地.他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处，则选用的这块正多边形地砖的周长是______米.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程(组)：
(1)x−73−1+x2=1；
(2)解方程组2x−y=3x+2y=4.
17.(本小题9分)
下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
18.(本小题9分)
阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如x=1y=2,x=−1y=3,x=4y=0.5……都是方程x+2y=5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可.
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y=24这个二元一次方程的正整数解.
解：2x+5y=24，得：y=24−2x5根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+5y=24的正整数解为x=2y=4或x=7y=2.
问题：已知关于x，y的方程组x+2y−6=0x−2y+ax+5=0
(1)请你直接写出方程x+2y−6=0的一组正整数解：______；
(2)若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x的值有______.
A.3个
B.4个
C.5个
(3)若方程组的解满足x+y=0，求a的值.
19.(本小题9分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1)；
(2)在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
(3)直接写出△A1BC的面积为______.
20.(本小题9分)
河南某景区，门票价格规定如下表：
某校七年级(1)、(2)两个班共102人去该景区游玩，其中(1)班人数多于(2)班人数，且(1)班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元.
(1)去该景区游玩的七年级(1)班和(2)班各有多少学生？
(2)如果七年级(1)班有6名学生因特殊情况不能外出游玩，(2)班学生全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你如何购票才能最省钱？
21.(本小题9分)
如图：在△ABC中，∠C=90∘，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点E是BC上一个动点(点E与B、C不重合)，连接A、E.若a、b满足b−6=02a−b=10，且c是不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的最大整数解．
(1)求a、b、c的长．
(2)若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小．
22.(本小题10分)
某超市用1500元购进了甲、乙两种文具，已知甲种文具进价为每个15元，乙种文具进价为每个18元，超市在销售时甲种文具售价为每个20元，乙种文具售价为每个26元，全部售完后共获利600元.
(1)求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个；
(2)若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具，且购进甲种文具的数量不变，而购进乙种文具的数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价销售，而甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕时，要使再次购进的文具获利不少于920元，则甲种文具的最低售价每个应为多少元？
23.(本小题10分)
我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”.如：三个内角分别为105∘，60∘，15∘的三角形是“和谐三角形”.
【概念理解】
如图1，∠MON=60∘，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C(点C不与O，B重合)
(1)∠ABO的度数为______，△AOB______(填“是”或“不是”)“和谐三角形”；
(2)若∠ACB=84∘，试说明：△AOC是“和谐三角形”.
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180∘，∠DEF=∠B.若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：将x=1代入2x+a=0，
得2+a=0，
∴a=−2，
故选：D.
将x=1代入2x+a=0即可求出a的值.
本题考查一元一次方程，解题的关键是将x=1代入方程，本题属于基础题型.
2.【答案】C
【解析】解：2x−5<13x+1≥2x，
解不等式2x−5<1得x<3，
解不等式3x+1≥2x得x≥−1，
故不等式组的解集为−1≤x<3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C.
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
【解答】
解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：8−35只有10可以，
故选：C.
根据三角形的三边关系可得8−3此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠ABD=130∘，∠E=60∘，
∴∠F=130∘−60∘=70∘，
∵CD//EF，
∴∠BDC=∠F=70∘.
故选：A.
由三角形外角的性质求出∠F=130∘−60∘=70∘，由平行线的性质推出∠BDC=∠F=70∘.
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠F的度数，由平行线的性质推出∠BDC=∠F.
6.【答案】C
【解析】解：∵三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，BE=CF，
∴∠A=∠D，AC=DF，DE//AB，
故选项A、B、D正确，
故选：C.
由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
此题考查平移的基本性质，解题关键在于掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等或在同一条直线上，对应角相等．
7.【答案】C
【解析】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C.
由全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
此题主要考查了全等形的概念，关键是掌握全等形的形状和大小都相同．
8.【答案】C
【解析】解：设赚25%的衣服进价为x元，亏25%的衣服进价为y元，
根据题意得：x(1+25%)=60，y(1−25%)=60，
解得：x=48，y=80，
48+80−60×2=8(元)，
则这两件衣服卖出后，商店亏8元．
故选：C.
设赚25%的衣服进价为x元，亏25%的衣服进价为y元，根据售价均为60元，建立方程求解，得到进价，将进价与售价相比较，即可解题．
本题考查一元一次方程的实际运用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程．
9.【答案】C
【解析】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意．
故选：C.
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
此题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握相关概念是解题的关键，图形绕一点旋转180∘后能够与原图形完全重合则此图形为中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35∘，得到△A′B′C，
由旋转的性质，可得∠ACA′=35，∠A=∠A′，
∵∠A′DC=90∘，
∴∠A′=90∘−∠ADA′=55∘，
∴∠A=∠A′=55∘.
故选：C.
根据旋转的性质可得∠ACA′=35，∠A=∠A′，结合∠A′DC=90∘，可求得∠A′，即可获得答案．
本题主要考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
11.【答案】x−2y=0(答案不唯一)
【解析】解：∵解为x=2y=1，
∴只需写一个等式含有x和y，并且将x，y的值代入进去刚好成立，
比如：x−2y=0或x−y−1=0等等，
故答案为：x−2y=0(答案不唯一).
根据解写出任意一个二元一次方程即可，正确理解题意是解题的关键．
本题考查了二元一次方程的解，根据解写出任意一个二元一次方程即可，正确理解题意是解题的关键．
12.【答案】23
【解析】解：设有x只鸡，则有2x条鸡腿，兔子的数量为(35−x)个，兔子的腿的数量为4(35−x)条，
根据题意得到：2x+4(35−x)=94.
解得x=23.
即此问题中鸡有23只．
故答案为：23.
由题意得，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，根据“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿”列出方程．
此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般．
13.【答案】360∘
【解析】解：如图：
∵∠E+∠A=∠1，∠B+∠F=∠2，
∵∠1+∠2+∠C+D=360∘，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360∘，
故答案为：360∘.
根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠A=∠1，∠B+∠F=∠2，再根据四边形内角和为360∘可得答案．
本题考查了三角形内角与外角的关系，解题的关键是灵活运用三角形的外角性质及多边形内角和定理．
14.【答案】5
【解析】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG=2，
∴CE=BC，S△DEC=S△ABC，
∴S△ABC=12BC×AG=12×5×2=5，
∴S△DEC=5，
故答案为：5.
根据题意，CE=BC，S△DEC=S△ABC，根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点O进行的铺设，
∴∠AOB=360∘−4×180∘6−90∘=150∘，
∴设这块正多边形地砖的边数是n，
∴(n−2)×180∘=n×150∘，
解得：n=12，
∵选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地，
∴这块正多边形地砖的周长=12×1=12(米)，
故答案为：12.
根据题意得到∠AOB的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案．
本题考查的是密铺及正多边形的性质，掌握正多边形性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)去分母得，2(x−7)−3(1+x)=6，
去括号得，2x−14−3−3x=6，
移项得，2x−3x=6+14+3，
合并同类项得，−x=23，
系数化为1得，x=−23；
(2){2x−y=3①x+2y=4②，
由②可得：x=4−2y③，
将③代入①：2(4−2y)−y=3，
解得：y=1，
把代入③：x=2，
∴原方程组的解是x=2y=1.
【解析】(1)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程即可求解；
(2)根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解．
本题考查了解一元一次方，二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．
17.【答案】证明：方法一：∵DE//BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180∘，
∴∠B+∠BAC+∠C=180∘；
方法二：延长BC，如图，
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180∘，
∴∠A+∠ACB+∠B=180∘.
【解析】方法一：由平行线的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180∘，从而可求解；
方法二：延长BC，由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，再由平角的定义可得∠ACB+∠ACD+∠DCE=180∘，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
18.【答案】x=4y=1或x=2y=2 B
【解析】解：(1)∵x+2y−6=0，
∴x=6−2y.
又∵x，y均为正整数，
∴x=4y=1或x=2y=2.
故答案为：x=4y=1或x=2y=2(任意一组)；
(2)∵6x−3为自然数，
∴x−3可以为1，2，3，6，
∴x可以为4，5，6，9，
∴满足条件的正整数x的值有4个．
故答案为：B；
(3)根据题意得：{x+2y−6=0①x+y=0②，
①-②得：y−6=0，
解得：y=6，
将y=6代入②得：x+6=0，
解得：x=−6，
∴方程组的解为x=−6y=6.
将x=−6y=6代入x−2y+ax+5=0得：−6−2×6−6a+5=0，
解得：a=−136.
答：a的值为−136.
(1)由x+2y−6=0，可得出x=6−2y，再结合x，y均为正整数，即可得出方程x+2y−6=0的各组正整数解；
(2)由6x−3为自然数，可得出x−3可以为1，2，3，6，解之可得出x的值，进而可得出满足条件的正整数x的值有4个(由6=1×6=2×3，亦可得出满足条件的正整数x的值有4个)；
(3)由方程组的解满足x+y=0，可得出方程组{x+2y−6=0①x+y=0②，解之可得出x，y的值，再将其代入x−2y+ax+5=0中，即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程(或二元一次方程组)的方法及步骤是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，点P为所作；
(3)11.
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)△A1BC的面积为=6×4−12×6×2−12×2×5−12×1×4=11.
故答案为：11.
(1)利用网格特点画出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
(2)利用CA1交直线l于P，则PA=PA1，则根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1BC的面积．
本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了两点之间线段最短．
20.【答案】解：(1)设去该景区游玩的七年级(1)班有x名学生，则七年级(2)班有(102−x)名学生，
根据题意得：50x+60(102−x)=5500，
解得：x=62，
∴102−x=102−62=40(人).
答：去该景区游玩的七年级(1)班有62名学生，七年级(2)班有40名学生；
(2)方案1：两个班分别以班为单位单独购买门票，所需费用为50×(62−6)+60×40=5200(元)；
方案2：两个班联合起来购买102−6=96(张)门票，所需费用为50×96=4800(元)；
方案3：两个班联合起来购买101张门票，所需费用为40×101=4040(元).
∵5200>4800>4040，
∴有3种购票方案，两个班联合起来购买101张门票才能最省钱．
【解析】(1)设去该景区游玩的七年级(1)班有x名学生，则七年级(2)班有(102−x)名学生，利用总价=单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出去该景区游玩的七年级(1)班的人数，再将其代入(102−x)中，即可求出去该景区游玩的七年级(2)班的人数；
(2)分别求出两个班分别以班为单位单独购买门票、两个班联合起来购买96张门票及两个班联合起来购买101张门票所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用．
21.【答案】解：(1)方程组b−6=02a−b=10的解为a=8b=6…(2分)
不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的解为：−4≤x<11…(4分)
所以c=10.…(5分)
(2)如图，设CE=x，则BE=8−x.
∵AE平分△ABC的周长
∴6+x=10+(8−x)
∴x=6…(7分)
∴CE=6，BE=2，
又∵AC=6，∠C=90∘，
∴△ACE为等腰直角三角形
∴∠AEC=45∘…(8分)
∴∠BEA=135∘…．(9分)
【解析】(1)根据关于a、b的二元一次方程组求得a、b的值；由关于x的不等式组求得x的取值范围−4≤x<11，从而求得c=10；
(2)设CE=x，则BE=8−x.根据已知条件“AE平分△ABC的周长”列出关于x的一元一次方程，通过解方程求得x=6；然后推知△ACE为等腰直角三角形；最后由等腰直角三角形的性质、外角定理求得∠BEA的大小．
本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、解二元一次方程组、一元一次不等式组的整数解．解答(2)时，注意充分利用已知条件“AE平分△ABC的周长”．
22.【答案】解：(1)设这个超市购进甲种文具x个，乙种文具y个，
根据题意得：15x+18y=1500(20−15)x+(26−18)y=600，
解得：x=40y=50.
答：这个超市购进甲种文具40个，乙种文具50个；
(2)设甲种文具的售价为每个m元，
根据题意得：40(m−15)+(26−18)×50×2≥920，
解得：m≥18，
∴m的最小值为18.
答：甲种文具的最低售价每个应为18元．
【解析】(1)设这个超市购进甲种文具x个，乙种文具y个，利用进货总价=进货单价×进货数量及总利润=每个的销售利润×销售数量(进货数量)，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出这个超市购进甲、乙两种文具的数量；
(2)设甲种文具的售价为每个m元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(进货数量)，结合总利润不少于920元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】30∘不是
【解析】解：(1)∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90∘，
∴∠ABO=90∘−∠MON=30∘，
∴∠OAB=3∠ABO，
∴△AOB不是“和谐三角形”；
故答案为：30∘，不是；
(2)∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB=∠O+∠OAC，
又∠O=60∘，∠ACB=84∘
∴∠OAC=24∘，
∠ACO=180∘−84∘=96∘，
∴∠ACO=4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
(3)∵∠EFC+∠BDC=180∘，∠ADC+∠BDC=180∘，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF=∠ADE，
而∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠B=∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC=4∠B或者∠B=4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180∘
∴∠B=30∘或者∠B=80∘.
(1)根据AB⊥OM，得到∠OAB=90∘，求得∠ABO=90∘−∠MON=30∘，得到∠OAB=3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；
(2)因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB=∠O+∠OAC，求出∠OAC=24∘，∠ACO=96∘，所以∠ACO=4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；
(3)由∠EFC+∠BDC=180∘，∠ADC+∠BDC=180∘，得到∠EFC=∠ADC，可以证明AD//EF，得到∠DEF=∠ADE，而∠DEF=∠B，得到∠B=∠ADE，由DE//BC，得到∠CDE=∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，以及平行线的性质，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180∘.
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180∘.
方法一
证明：如图，过点A作DE//BC.
方法二
证明：如图，过点C作CD//AB.
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