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专题2.11 有理数的运算章末九大题型总结（培优篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）
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这是一份专题2.11 有理数的运算章末九大题型总结（培优篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题211有理数的运算章末九大题型总结培优篇浙教版原卷版docx、专题211有理数的运算章末九大题型总结培优篇浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30330" 【题型1 正负数表示的意义】 PAGEREF _Tc30330 \h 1
\l "_Tc20943" 【题型2 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc20943 \h 2
\l "_Tc27109" 【题型3 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc27109 \h 3
\l "_Tc3477" 【题型4 绝对值非负性的运用】 PAGEREF _Tc3477 \h 3
\l "_Tc24607" 【题型5 化简绝对值】 PAGEREF _Tc24607 \h 4
\l "_Tc27488" 【题型6 有理数的混合运算】 PAGEREF _Tc27488 \h 4
\l "_Tc19953" 【题型7 倒数的运用】 PAGEREF _Tc19953 \h 5
\l "_Tc12912" 【题型8 科学记数法表示较大的数】 PAGEREF _Tc12912 \h 6
\l "_Tc21709" 【题型9 计算“24”点】 PAGEREF _Tc21709 \h 7
【题型1 正负数表示的意义】
【例1】（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上．
【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如果向北走10米记作＋10米，则－8米表示( )
A．向北走8米B．向南走8米C．向西走8米D．向东走8米
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ44.9B．Φ45.02C．Φ44.98D．Φ45.01
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【题型2 有理数的相关概念】
【例2】（2023春·河南新乡·七年级统考期中）把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，−15，﹣0.58，0，−3.4，0.618，139，3.14．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}．
【变式2-1】（2023春·山东日照·七年级统考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式2-2】（2023春·上海奉贤·六年级校联考期末）在数轴上，位于﹣2和2之间的点表示的有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．无数个
【变式2-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）有六个数：5，0，312，−0.3，−14，−π，其中分数有a个，非负整数有b个，有理数有c个，则a+b−c= ．
【题型3 利用数轴比较有理数的大小】
【例3】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期中）在数轴上表示有理数a，b的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b>0B．−a>bC．a−b>0D．a⋅b>0
【变式3-1】（2023春·四川攀枝花·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数：−(−4),−|−3.5|,+(−13),0,+(+2.5),114．并用<号把这些数连接起来．
【变式3-2】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．n>3B．m<−1C．m>−nD．m>n
【变式3-3】（2023春·全国·七年级期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间数的个数是（ ）
①−a−1；②|a+1|；③2−|a|；④12|a|．
A．1B．2C．3D．4
【题型4 绝对值非负性的运用】
【例4】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a,b，满足a+2+b−52=0，点P在数轴上对应的数为x，当x= 时，PA+PB=10．
【变式4-1】（2023春·江西景德镇·七年级校考期中）如果a，b表示的是有理数，并且|a|＋|b|＝0，那么( )
A．a，b的值不存在B．a和b符号相反
C．a，b都不为0D．a＝b＝0
【变式4-2】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如果x为有理数，式子2020+6x+3的最小值等于 ．
【变式4-3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知a、b、c都为整数，且3(a−4)2+2|b+3|+c−1=3，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
【题型5 化简绝对值】
【例5】（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）规定：fx=x−2，gy=y+3．例如f−4=−4−2，g−4=−4+3．下列结论中，正确的个数是（ ）
①能使fx=4成立的x的值为6或−2；
②若x>2，则fx+gx=2x+1；
③式子fx−1+gx+1的最小值是2；
④式子fx−1−gx+1的最大值是7．
A．2B．3C．4D．1
【变式5-1】（2023春·河南南阳·七年级校考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且a=b，化简c+a−c−b+a+b= ．
【变式5-2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b=c
(1)若b+c+a=3，求a的值．
(2)用“<”把a，−a，b，c连按越来．
【变式5-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）a，b，c的大小关系如图所示，则a−b|a−b|−b−c|b−c|−c−a|c−a|的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【题型6 有理数的混合运算】
【例6】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）（1）−16++4−−5−+15
（2）−3÷−34×−43
（3）127×−13−14÷56
（4）−13−211×3−−23
（5）−32+−42×2−−5÷−15−−12023
（6）−42÷−223−56−113×−115
【变式6-1】（2023春·河南许昌·七年级统考期末）在计算10−18−32+716×−42时，小明同学的解题过程如下：
10−18−32+716×−42
解：原式=10−18−32+716×16①
=10−18×16−32×16+716×16②
=10−2−24+7③
=−9④
(1)上述书写过程中，小明同学第________步出现了错误，错误的原因是________．
(2)请你帮小明同学写出正确的解答过程．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【变式6-2】（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）计算：
(1)−6−3+−7+5
(2)−18÷32×−23
(3)56−23+712×36
(4)−−2−13×−14+2−−32÷4
【变式6-3】（2023春·河北承德·七年级统考期末）已知2、3、4三个数
(1)计算：2−3÷4
(2)写出一个算式（要求每个数字都出现且只出现一次，运算符号不限），使其结果为−6
_______________________________=−6
(3)从三个任取两个数，组成算式，使其运算结果最大（提示：目前运算有加、减、乘、除、乘方）．则最大结果为：_________________
【题型7 倒数的运用】
【例7】（2023春·重庆·七年级统考期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为 ．
【变式7-1】（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）在数轴上，点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，则点A表示的数的倒数是（ ）
A．1B．-1C．5D．15
【变式7-2】（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a−cd+6m+b的值．
【变式7-3】（2023春·云南红河·七年级统考期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求−78÷134−78−712的值．
解∵134−78−712÷−78．
=134−78−712×−87．
=74×−87−78×−87−712×−87．
＝﹣2+1+23．
=−13．
∴−78÷134−78−712=−3．
请用上述方法计算：−112÷16−14+23−512．
【题型8 科学记数法表示较大的数】
【例8】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）从疫情形势和病毒变异情况来看，奥密克戎变异株已经成为全球流行优势毒株，虽然感染人数多，但是重症率和死亡率低．从人群免疫水平来看，我国新冠疫苗接种得到普及全国截至2022年12月27日累计接种新冠病毒疫苗超过34亿剂次，疫苗接种覆盖人数和全程接种人数分别占全国总人口的92%和90%以上．人民群众健康意识、健康素养进一步提升，个人防护能力逐渐提高．其中，34亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A．34×108B．3.4×109C．3.4×1010D．0.34×1011
【变式8-1】（2023春·安徽淮南·七年级统考期末）中央网信办等五部门印发《2023年数字乡村发展工作要点》，提出到2023年底，农村宽带接入用户数超过190000000，190000000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．1.9×107B．19×107C．1.9×108D．0.19×109
【变式8-2】（2023春·河南商丘·七年级统考期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是5.76×106人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据5.76×106原来的数是（ ）
A．576000B．576万C．57600000D．57.6万
【变式8-3】（2023春·河北邢台·七年级统考期末）若数据14320000⋯⋯0n个=1.432×1015，则n的值是（ ）
A．15B．14C．12D．11
【题型9 计算“24”点】
【例9】（2023春·辽宁鞍山·七年级统考期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【变式9-1】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：1+2+3×4=24
(1)现有4个有理数：−6，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：_________
(2)现有4个有理数：1，2，4，−8，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24：________________
【变式9-2】（2023春·浙江·七年级期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1−(−2)]=8×3=24），请另写出一种符合要求的运算式子 ．
【变式9-3】（2023春·浙江杭州·七年级期末）给出四个数：−3,−4,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．
【可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如4×(1+2+3)=24与(2+1+3)×4=24只是顺序不同，属同一个算式．】
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________城市
时差/h
纽约
﹣13
悉尼
+2
伦敦
﹣8
罗马
﹣7
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30330" 【题型1 正负数表示的意义】 PAGEREF _Tc30330 \h 1
\l "_Tc20943" 【题型2 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc20943 \h 2
\l "_Tc27109" 【题型3 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc27109 \h 3
\l "_Tc3477" 【题型4 绝对值非负性的运用】 PAGEREF _Tc3477 \h 3
\l "_Tc24607" 【题型5 化简绝对值】 PAGEREF _Tc24607 \h 4
\l "_Tc27488" 【题型6 有理数的混合运算】 PAGEREF _Tc27488 \h 4
\l "_Tc19953" 【题型7 倒数的运用】 PAGEREF _Tc19953 \h 5
\l "_Tc12912" 【题型8 科学记数法表示较大的数】 PAGEREF _Tc12912 \h 6
\l "_Tc21709" 【题型9 计算“24”点】 PAGEREF _Tc21709 \h 7
【题型1 正负数表示的意义】
【例1】（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上．
【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如果向北走10米记作＋10米，则－8米表示( )
A．向北走8米B．向南走8米C．向西走8米D．向东走8米
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ ）
A．Φ44.9B．Φ45.02C．Φ44.98D．Φ45.01
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【题型2 有理数的相关概念】
【例2】（2023春·河南新乡·七年级统考期中）把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，−15，﹣0.58，0，−3.4，0.618，139，3.14．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}；
非正整数集合：{ …}．
【变式2-1】（2023春·山东日照·七年级统考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式2-2】（2023春·上海奉贤·六年级校联考期末）在数轴上，位于﹣2和2之间的点表示的有理数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．无数个
【变式2-3】（2023春·四川成都·七年级校考期中）有六个数：5，0，312，−0.3，−14，−π，其中分数有a个，非负整数有b个，有理数有c个，则a+b−c= ．
【题型3 利用数轴比较有理数的大小】
【例3】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期中）在数轴上表示有理数a，b的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b>0B．−a>bC．a−b>0D．a⋅b>0
【变式3-1】（2023春·四川攀枝花·七年级统考期中）在数轴上表示下列各数：−(−4),−|−3.5|,+(−13),0,+(+2.5),114．并用<号把这些数连接起来．
【变式3-2】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．n>3B．m<−1C．m>−nD．m>n
【变式3-3】（2023春·全国·七年级期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间数的个数是（ ）
①−a−1；②|a+1|；③2−|a|；④12|a|．
A．1B．2C．3D．4
【题型4 绝对值非负性的运用】
【例4】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a,b，满足a+2+b−52=0，点P在数轴上对应的数为x，当x= 时，PA+PB=10．
【变式4-1】（2023春·江西景德镇·七年级校考期中）如果a，b表示的是有理数，并且|a|＋|b|＝0，那么( )
A．a，b的值不存在B．a和b符号相反
C．a，b都不为0D．a＝b＝0
【变式4-2】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如果x为有理数，式子2020+6x+3的最小值等于 ．
【变式4-3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知a、b、c都为整数，且3(a−4)2+2|b+3|+c−1=3，则a+b+c的最小值是 ，最大值是 ．
【题型5 化简绝对值】
【例5】（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）规定：fx=x−2，gy=y+3．例如f−4=−4−2，g−4=−4+3．下列结论中，正确的个数是（ ）
①能使fx=4成立的x的值为6或−2；
②若x>2，则fx+gx=2x+1；
③式子fx−1+gx+1的最小值是2；
④式子fx−1−gx+1的最大值是7．
A．2B．3C．4D．1
【变式5-1】（2023春·河南南阳·七年级校考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且a=b，化简c+a−c−b+a+b= ．
【变式5-2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b=c
(1)若b+c+a=3，求a的值．
(2)用“<”把a，−a，b，c连按越来．
【变式5-3】（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）a，b，c的大小关系如图所示，则a−b|a−b|−b−c|b−c|−c−a|c−a|的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【题型6 有理数的混合运算】
【例6】（2023春·山西临汾·七年级统考期中）（1）−16++4−−5−+15
（2）−3÷−34×−43
（3）127×−13−14÷56
（4）−13−211×3−−23
（5）−32+−42×2−−5÷−15−−12023
（6）−42÷−223−56−113×−115
【变式6-1】（2023春·河南许昌·七年级统考期末）在计算10−18−32+716×−42时，小明同学的解题过程如下：
10−18−32+716×−42
解：原式=10−18−32+716×16①
=10−18×16−32×16+716×16②
=10−2−24+7③
=−9④
(1)上述书写过程中，小明同学第________步出现了错误，错误的原因是________．
(2)请你帮小明同学写出正确的解答过程．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【变式6-2】（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）计算：
(1)−6−3+−7+5
(2)−18÷32×−23
(3)56−23+712×36
(4)−−2−13×−14+2−−32÷4
【变式6-3】（2023春·河北承德·七年级统考期末）已知2、3、4三个数
(1)计算：2−3÷4
(2)写出一个算式（要求每个数字都出现且只出现一次，运算符号不限），使其结果为−6
_______________________________=−6
(3)从三个任取两个数，组成算式，使其运算结果最大（提示：目前运算有加、减、乘、除、乘方）．则最大结果为：_________________
【题型7 倒数的运用】
【例7】（2023春·重庆·七年级统考期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为 ．
【变式7-1】（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）在数轴上，点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，则点A表示的数的倒数是（ ）
A．1B．-1C．5D．15
【变式7-2】（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a−cd+6m+b的值．
【变式7-3】（2023春·云南红河·七年级统考期末）观察下面的解题过程，并解决问题．求−78÷134−78−712的值．
解∵134−78−712÷−78．
=134−78−712×−87．
=74×−87−78×−87−712×−87．
＝﹣2+1+23．
=−13．
∴−78÷134−78−712=−3．
请用上述方法计算：−112÷16−14+23−512．
【题型8 科学记数法表示较大的数】
【例8】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）从疫情形势和病毒变异情况来看，奥密克戎变异株已经成为全球流行优势毒株，虽然感染人数多，但是重症率和死亡率低．从人群免疫水平来看，我国新冠疫苗接种得到普及全国截至2022年12月27日累计接种新冠病毒疫苗超过34亿剂次，疫苗接种覆盖人数和全程接种人数分别占全国总人口的92%和90%以上．人民群众健康意识、健康素养进一步提升，个人防护能力逐渐提高．其中，34亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A．34×108B．3.4×109C．3.4×1010D．0.34×1011
【变式8-1】（2023春·安徽淮南·七年级统考期末）中央网信办等五部门印发《2023年数字乡村发展工作要点》，提出到2023年底，农村宽带接入用户数超过190000000，190000000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．1.9×107B．19×107C．1.9×108D．0.19×109
【变式8-2】（2023春·河南商丘·七年级统考期末）截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是5.76×106人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据5.76×106原来的数是（ ）
A．576000B．576万C．57600000D．57.6万
【变式8-3】（2023春·河北邢台·七年级统考期末）若数据14320000⋯⋯0n个=1.432×1015，则n的值是（ ）
A．15B．14C．12D．11
【题型9 计算“24”点】
【例9】（2023春·辽宁鞍山·七年级统考期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．
(1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；
(2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．
【变式9-1】（2023春·广东惠州·七年级统考期中）有一种“24点”的游戏，规则为：将4个给定的有理数进行加减乘除四则运算（每个数只能用一次），使其结果为24，例如1，2，3，4可做如下运算：1+2+3×4=24
(1)现有4个有理数：−6，3，4，10，运用上述规则，写出一个算式，使其结果为24：_________
(2)现有4个有理数：1，2，4，−8，在上述规则的基础上，再多给你一种乘方运算，请你写出一个含乘方的算式，使其结果为24：________________
【变式9-2】（2023春·浙江·七年级期中）小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是 ．
(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1−(−2)]=8×3=24），请另写出一种符合要求的运算式子 ．
【变式9-3】（2023春·浙江杭州·七年级期末）给出四个数：−3,−4,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．
【可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如4×(1+2+3)=24与(2+1+3)×4=24只是顺序不同，属同一个算式．】
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________城市
时差/h
纽约
﹣13
悉尼
+2
伦敦
﹣8
罗马
﹣7
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