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专题3.7 实数章末八大题型总结（拔尖篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）
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这是一份专题3.7 实数章末八大题型总结（拔尖篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题37实数章末八大题型总结拔尖篇浙教版原卷版docx、专题37实数章末八大题型总结拔尖篇浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23323" 【题型1 算术平方根的双重非负性】 PAGEREF _Tc23323 \h 1
\l "_Tc2273" 【题型2 无理数的估算】 PAGEREF _Tc2273 \h 3
\l "_Tc20077" 【题型3 探究平方根和立方根的规律】 PAGEREF _Tc20077 \h 5
\l "_Tc6366" 【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 PAGEREF _Tc6366 \h 9
\l "_Tc4413" 【题型5 与实数运算有关的规律问题】 PAGEREF _Tc4413 \h 12
\l "_Tc26177" 【题型6 程序框图中的实数运算】 PAGEREF _Tc26177 \h 16
\l "_Tc7488" 【题型7 新定义中的实数运算】 PAGEREF _Tc7488 \h 19
\l "_Tc17615" 【题型8 实数运算的应用】 PAGEREF _Tc17615 \h 22
【题型1 算术平方根的双重非负性】
【例1】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b= ．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，
又∵|a−2022|≥0，b+2022≥0
①当|a−2022|=0，b+2022=2时，
∴a=2022，b=−2018
∴a+b=2022−2018=4
②当|a−2022|=1，b+2022=1时，
∴a=2023或a=2021，b=−2021
∴a+b=2023−2021=2或a+b=2021−2021=0
③当|a−2022|=2，b+2022=0时，
∴a=2024或a=2020，b=−2022
∴a+b=2024−2022=2或a+b=2020−2022=2
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
【变式1-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）已知实数a满足2000−a+a−2001=a，那么a−20002的值是( )
A．1999B．2000C．2001D．2002
【答案】C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：∵a−2001≥0，
∴a≥2001>2000，即2000−a<0，
∴2000−a+a−2001 =a−2000+a−2001 =a，
即a−2001=2000，
∴a−20012=20002，即a−2001=20002，
∴a−20002=2001，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
【变式1-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知a,b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0，求a2015−b2016的值.
【答案】-2
【分析】由已知条件得到1+a−(b−1)1−b=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据有理数的乘方运算计算即可得出结果．
【详解】解：∵1+a−(b−1)1−b=0，
∴1+a+(1−b)1−b=0，
∵1-b≥0，
∴1+a=0，1-b=0，
解得a=-1，b=1，
∴a2015-b2016
=（-1）2015-12016
=-1-1
=-2．
【点睛】本题考查了非负数的性质及求代数式的值、有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式1-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级校联考期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m =199−x−y⋅x−199+y，则m= ．
【答案】201
【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值．
【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，
∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．
∴3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，
∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，
联立①②③得，x+y=199①3x+5y−2−m=0②2x+3y−m=0③，
②×2-③×3得，y=4-m，
将y=4-m代入③，解得x=2m-6，
将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．
故答案为：201．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
【题型2 无理数的估算】
【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（ ）
A．30B．13C．10D．8
【答案】B
【分析】根据数轴上的点处于3.5和4之间，即12.25和16之间，逐一判定比较即可.
【详解】解：设点P表示的数为x，
得72∴494∴12.25∵30>4，
∴A选项不符合题意，
∵12.25<13<4，
∴选项B符合题意，
∵10<12.25，
∴C选项不符合题意，
∵8<12.25，
∴D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题主要考查数轴上点的判定，关键是转化为二次根式的形式，即可解题．
【变式2-1】（2023春·北京丰台·八年级校考阶段练习）已知a＝23﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜＜5
【答案】B
【分析】先估算出23的范围，即可求得答案．
【详解】∵4<23<5，
∴2<23−2<3，
∴23−2在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出23的范围是解题关键．
【变式2-2】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】C
【详解】解：∵ 2．62=6．76，
2．72=7．29，
2．82=7．84，
2．92=8．41，
∵7．84＜8＜8．41，
∴2．82＜8＜2．92，
∴2．8＜8＜2．9，
所以8应在③段上．
故选：C
【变式2-3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）若a，b均为正整数，且a>7，b<32，则a+b的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先估算7、32的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．
【详解】∵4<7<9，∴2<7<3．
∵a>7，a为正整数，
∴a的最小值为3．
∵31<32<38，∴1<32<2．
∵b＜32，b为正整数，
∴b的最小值为1，
∴a+b的最小值为3+1=4．
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．
【题型3 探究平方根和立方根的规律】
【例3】（2023春·北京·八年级校考期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表1．
(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．
表2．
(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．
【答案】(1)1；10；100
(2)1.732；17.32；54.77
(3)被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．
【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案
（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案
（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可
【详解】（1）解：根据题意，得1=1,100=10,10000=100．
故答案为：1；10；100．
（2）解：已知0.03=0.1732，
∴3=1.732，300=17.32．
∵已知30=5.477，
∴3000=54.77．
故答案为：1.732；17.32；54.77．
（3）解：通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是从表格中发现数字的规律．
【变式3-1】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10，…，则按此规律可推得这一列数中的第2023个数是 ．
【答案】−2023
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．
【详解】解：∵一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10，…
∴这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
∵2023÷3=674…1
∴这一列数中的第2023个数应是−2023，
故答案为：−2023．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
【变式3-2】（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知313≈2.35，则30.013≈___，313000≈___．
(3)类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则366≈___，36600≈___．
【答案】(1)右；一；
(2)0.235；23.5；
(3)19.13；191.3
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
（2）∵313≈2.35，
∴30.013≈0.235，313000≈23.5，
故答案为：0.235，23.5；
（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵3.66≈1.913，
∴366≈19.13，36600≈191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．
【变式3-3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）若记x表示任意实数的整数部分例如：3.5=3，5=2， ⋯，则1−2+3−4+⋯+2019−2020（其中“+”“−”依次相间）的值为
【答案】−22
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：∵1≤n＜2即1≤n＜4时，n=1，此时n=1，2，3，
∴1−2+3=1−1+1=1；
∵2≤n＜3即4≤n＜9时，n=2，此时n=4，5，6，7，8，
∴−4+5−6+7−8=−2+2−2+2−2=−2；
∵3≤n＜4即9≤n＜16时，n=3，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴9−10+11−12+13−14+15=3−3+3−3+3−3+3=3；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵442=1936，452=2025，
∴44≤n＜45即1936≤n＜2025时，n=44，
∴−1936+1937−1938+1939−⋯+2019−2020=-44，
∴1−2+3−4+⋯+2019−2020
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=−1×22
=-22，
故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】
【例4】（2023春·湖北随州·八年级统考期中）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−1，请回答以下问题：
(1)10的小数部分是________，5−13的小数部分是________．
(2)若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3+1的平方根．
(3)若7+5=x+y，其中x是整数，且0【答案】(1)10−3，4−13；
(2)±3；
(3)11．
【分析】（1）确定10的整数部分，即可确定它的小数部分；确定13的整数部分，即可确定5−13的整数部分，从而确定5−13的小数部分；
（2）确定90的整数部分，即知a的值，同理可确定3的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式a+b−3+1的值，从而求得其平方根；
（3）由2<5<3得即9<7+5<10，从而得x=9，y=5−2，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵3<10<4，
∴10的整数部分为3，
∴10的小数部分为10−3，
∵3<13<4，
∴−3＞−13＞−4，
∴5−3＞5−13＞5−4即1＜5−13＜2，
∴5−13的整数部分为1，
∴5−13的小数部分为4−13，
故答案为：10−3，4−13；
（2）解：∵9<90<10，a是90的整数部分，
∴a=9，
∵1<3<2，
∴3的整数部分为1，
∵b是3的小数部分，
∴b=3−1，
∴a+b−3+1=9+3−1−3+1=9
∵9的平方根等于±3，
∴a+b−3+1的平方根等于±3；
（3）解：∵2<5<3，
∴7+2<7+5<7+3即9<7+5<10，
∵7+5=x+y，其中x是整数，且0∴x=9，y=7+5−9=5−2，
∴x−y+5=9−5−2+5=11．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
【变式4-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）已知13的整数部分是m，10−13的小数部分是n，则m+n= ．
【答案】7−13/−13+7
【分析】先估算出13的取值范围，再求出m，n的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∵13的整数部分是m，
∴m=3；
∵3<13<4，
∴−4<−13<−3，
∴6<10−13<7，
∵10−13的小数部分是n，
∴n=10−13−6=4−13，
∴m+n=3+4−13=7−13．
故答案为：7−13．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）阅读下列材料：
∵1<3<4，
∴1<3<2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
请根据材料提示，解答下列问题．
(1)14的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m−n−26的立方根；
(3)若a的整数部分为5，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)3，14−3
(2)−2
(3)25≤a<36
【分析】（1）由9<14<16可得3<14<4，从而即可得出答案；
（2）估算6和21的大小，确定m、n的值，代入进行计算即可得到答案；
（3）由a的整数部分是5，25=5，36=6即可得到答案．
【详解】（1）解：∵9<14<16，
∴3<14<4，
∴ 14的整数部分是3，
∴ 14的小数部分是14−3，
故答案为：3，14−3；
（2）解：∵4<6<9，16<21<25，
∴2<6<3，4<21<5，
∵ 6的小数部分为m，21的整数部分为n，
∴m=6−2，n=4，
∴2m−n−26=2×6−2−4−26=26−4−4−26=−8，
∴ 2m−n−26的立方根为：3−8=−2；
（3）解：∵a的整数部分是5，25=5，36=6，
∴25≤a<36．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，求一个数的立方根，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的，类比来看，2是无理数，而1<2<2，所以2的整数部分是1，于是可用2−1来表示2的小数部分．
料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a=10，b=−12．
根据以上材料，完成下列问题：
(1)17的整数部分是______，小数部分是 _____；
(2)3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3【答案】(1)4，17−4
(2)3
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数17的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+3的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵4<17<5，
∴ 17的整数部分为4，小数部分为17−4，
故答案为：4，17−4；
（2）∵1<3<2，
∴4<3+3<5，
∵3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3∴a=4，b=5，
∴a+b=9，
∴a+b的算术平方根为9=3；
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是正确解答的前提．
【题型5 与实数运算有关的规律问题】
【例5】（2023春·山东聊城·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
1−34=14=122=12；
1−59=49=232=23；
1−716=916=342=34；
……
(1)计算：1−1349=________；
(2)按照你所发现的规律，猜想：1−2n+1n+12=_______；（n为正整数）
(3)计算：1−34×1−59×1−716×．．．×1−19910000．
【答案】(1)67
(2)nn+1
(3)1100
【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用式子的规律解答即可；
（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
【详解】（1）解： 1−1349
=3649
=67；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
1−2n+1(n+1)2＝nn+1；
（3）解：原式=12×23×34×...×99100
=1100．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）观察下列各式：32+27=2327,33+326=33326,34+463=43463,···用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为 ．
【答案】3n+nn3−1=n3nn3−1
【分析】观察规律可直接得到规律．
【详解】解：∵32+27=2+223−1=2327，
33+326=33+333−1=33326，
34+463=34+443−1=33463，…，
∴3n+nn3−1=n3nn3−1．
故答案为：3n+nn3−1=n3nn3−1
【点睛】此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）观察下列等式：
①x1=1+112+122=32=1+11×2；
②x2=1+122+132=76=1+12×3；
③x3=1+132+142=1312=1+13×4；
…
(1)写出④x4=______；
(2)猜想：xn=______；
(3)由以上规律，计算x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022−2023的值．
【答案】(1)1+142+152=2120=1+14×5
(2)1+1n(n+1)
(3)−12023
【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；
（2）根据规律直接得出结果即可；
（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：x4=1+142+152=2120=1+14×5，
故答案为：1+142+152=2120=1+14×5．
（2）解：根据规律可知，xn= 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)，
故答案为： 1+1n(n+1)；
（3）x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022−2023
=112+116+1112+⋅⋅⋅+112022×2023−2023
=2022+1−12+12−13+⋅⋅⋅+12022−12023−2023
=2022+1−12023−2023
=−12023．
【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．
【变式5-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市洪山高级中学校考期中）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题.
4×16______4×16,
49×9______49×9
925×25_____925×25,
169×425______169×425……
（1）用a,b,ab表示上述规律为：____________；
（2）利用（1）中的结论，求8×12的值
（3）设x=3，y=6试用含x,y的式子表示54
【答案】（1）a×b=ab；（2））2；（2）54=3×3×6=x2y.
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；
（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；
（3）先分解质因数，再根据规律得出3×3×6，即可得出答案.
【详解】（1）∵ 4×16=2×4=8，4×16=64=8，
∴ 4×16=4×16，
49×9=49×9，
925×25=925×25，
169×425=169×425，
a×b=ab，
故答案为=，=，=，=，a×b=ab（a≥0，b≥0）；
（2）8×12=8×12=4=2；
（3）∵ x=3，y=6，
∴ 54=3×3×6=3×3×6=x⋅x⋅y=x2y.
【点睛】本题考查了实数的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.
【题型6 程序框图中的实数运算】
【例6】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值x为16时，输出y值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值y为3时，输入值x为9
D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
【变式6-1】（2023春·浙江温州·八年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ．
【答案】32
【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：输入的x值为64，取立方根为4，4是有理数，
则取4的算术平方根为2，2是有理数，
则取2的立方根为32，32是无理数，
所以输出的y的结果为32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，正确把握定义是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图是一个数值转换器的工作原理．
(1)当输入的x值为−19时，求输出的y值；
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值的情况，若存在，请写出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由；
(3)若输出的y值是3，请写出四个满足要求的x值．
【答案】(1)2
(2)x=−2或−3或−4
(3)x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，答案不唯一．
【分析】（1）根据运算规则计算即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；
（3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【详解】（1）解：|−19+3|=16，16的算术平方根是4，
4不是无理数，4的算术平方根是2，
2不是无理数，2的算术平方根是2，2是无理数，
故输出的y值是2．
故答案是：2．
（2）解：存在输入x值后，始终输不出y值的情况．
∵0和1的算术平方根是0和1，
∴当|x+3|=0或|x+3|=1时，始终输不出y值，
∴x=−2或−3或−4．
（3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，
∴当|x+3|=3或|x+3|=9，
即x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．
【变式6-3】（2023春·北京·八年级校考期中）给出下列程序：若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3；则当输入的x值为8时，输出值为 ．
【答案】3
【分析】设输出的值为y，根据程序可得计算法则：y=k3x+b，根据待定系数法确定k，b的值，再将8代入即可．
【详解】解：设输出的值为y，根据图示可得计算法则为y=k3x+b，
∵若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3，
∴ k+b=1−k+b=−3，解得k=2b=−1，
∴y=23x−1，
当x=8时，y=2×2−1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题以程序为背景考查了求代数式的值，关键是弄清楚图示给出的计算程序．
【题型7 新定义中的实数运算】
【例7】（2023春·重庆彭水·八年级校联考期末）对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m,n)=mn+an−3（其中a为非零常数）；例如：f(1,2)=1×2+a×2−3；已知f(2,3)=9，给出下列结论：①a=2；②若f(1,n)>0，则n>1；③若f(m,m)=2m，则m=3；④f(n,n)−2n有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．
【详解】解：∵f(2,3)=9，
∴2×3+3a−3=9，
解得：a=2，故①正确；
若f(1,n)>0，f(1,n)=1×n+2n−3>0，
则n>1，故②正确；
f(m,m)=m2+2m−3=2m，
解得：m=±3，故③错误；
f(n,n)−2n=n2+2n−3−2n=n2−3，
当n=0时，有最小值−3，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．
【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：m※n=3m−n．
例如：−1※2=3×−1−2=−3−2=−5．
(1)若x−2※5x=6，求x的值；
(2)判断这种新运算“※”是否满足分配律a※b+c=a※b+a※c，并说明理由．
【答案】(1)−6
(2)这种新运算“※”不满足分配律a※b+c=a※b+a※c
【分析】（1）根据新定义运算得出方程3x−2−5x=6，解方程即可得到答案；
（2）先根据新定义运算分别表示出等式左边和右边，再观察左右两边是否相等，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵x−2※5x=6，
∴3x−2−5x=6，
解得：x=−6，
∴ x的值为−6；
（2）解：根据题意得：
左边a※b+c=3a−b+c=3a−b−c，
右边a※b+a※c=3a−b+3a−c=6a−b−c，
∴左边≠右边，
∴这种新运算“※”不满足分配律a※b+c=a※b+a※c．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数的运算，解一元一次方程，理解新定义的运算法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4,3=1，现对72进行如下操作：72→第1次72=8→第2次8=2→第3次2=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行 次操作后变为1．
【答案】4
【分析】确定2023的范围，即可求得2023，再依次下去，通过4次操作后可变为1．
【详解】解：∵1936=442<2023<452=2025，
∴2023=44；
∵36<44<49，
∴44=6；
∵4<6<9，
∴6=2，
∴2=1；
经过4次操作可以变为1；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为2+4−3=3，所以234是“尚美数”；
材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c．已知t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数”，且Ft1+2Ft2+4n能被13整除，则y= ．t2= ．
【答案】 5 652
【分析】根据t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据Ft1+2Ft2+4n列代数式，最后根据Ft1+2Ft2+4n能被13整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数，
∴2+6−y=3m+n−y=3
得y=5，即m+n=8，
∴n=8−m，
∵t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c，
∴ Ft1+2Ft2+4n
=2×2−6+22×m−n+4n
=4m+2n−2
=4m+28−m−2=2m+14．
∵1≤m≤9，
∴16≤2m+14≤32．
∵2m+14能被13整除，
∴2m+14=26
解得m=6,n=8−m=2，
故t2=myn=652，
故答案为：5,652．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算，不等式等知识，消元求解是解题的关键．
【题型8 实数运算的应用】
【例8】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)2到底有多大？
下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2=1.4+x，画出如下示意图．
由面积公式，可得x2+______=2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2≈_____．
(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2，解得x=2．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得x2+2.8x+1.96=2
∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001），即2≈1.4+x≈1.414．
故答案为：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求S阴=_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为13的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，据此作图即可．
【详解】解：（1）S阴=4×4−12×1×3×4=10，
故答案为：10；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，
则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．
（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为2cm.
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据面积相等得到方程，即可求解．
【详解】（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据题意得x2=1×2=2，
∴x=2（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为2cm．
【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
【变式8-3】（2023春·浙江·八年级期末）阅读材料，回答问题：
（1）对于任意实数x，符号x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，x就是x，当x不是整数时，x是点x左侧的第一个整数点，如3=3，−2=−2，2.5=2，−1.5=−2，则3.4=________，−5.7=________．
（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：
①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；
②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？
【答案】（1）3；−6；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．
【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；
（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；
②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．
【详解】（1）∵3<3.4<4
∴3.4=3
∵−6<−5.7<−5
∴−5.7=−6
故答案为：3；−6．
（2）①∵3.07<4
∴3.07公里需要2元
∵4<7.93<12
∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元
∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）
∵12<19.17<24
∴19.17公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；
∴19.17公里所需费用为：2+2+2=6（元）
故答案为：2；3；6．
②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；
∴乘坐24公里所需费用为：2+2+2=6（元）
∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里
∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）
∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里
答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．
【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
第7组
……
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
……
……
0.1
0.316
______
3.16
______
31.6
______
……
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
……
0.03
0.3
3
30
300
3000
……
……
0.1732
0.5477
______
5.477
______
______
……
b
0.004096
4.096
4096
4096000
4096000000
3b
0.16
1.6
16
160
1600
里程范围
4公里以内（含4公里）
4-12公里以内（含12公里）
12-24公里以内（含24公里）
24公里以上
收费标准
2元
4公里/元
6公里/元
8公里/元
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23323" 【题型1 算术平方根的双重非负性】 PAGEREF _Tc23323 \h 1
\l "_Tc2273" 【题型2 无理数的估算】 PAGEREF _Tc2273 \h 3
\l "_Tc20077" 【题型3 探究平方根和立方根的规律】 PAGEREF _Tc20077 \h 5
\l "_Tc6366" 【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】 PAGEREF _Tc6366 \h 9
\l "_Tc4413" 【题型5 与实数运算有关的规律问题】 PAGEREF _Tc4413 \h 12
\l "_Tc26177" 【题型6 程序框图中的实数运算】 PAGEREF _Tc26177 \h 16
\l "_Tc7488" 【题型7 新定义中的实数运算】 PAGEREF _Tc7488 \h 19
\l "_Tc17615" 【题型8 实数运算的应用】 PAGEREF _Tc17615 \h 22
【题型1 算术平方根的双重非负性】
【例1】（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b= ．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，
又∵|a−2022|≥0，b+2022≥0
①当|a−2022|=0，b+2022=2时，
∴a=2022，b=−2018
∴a+b=2022−2018=4
②当|a−2022|=1，b+2022=1时，
∴a=2023或a=2021，b=−2021
∴a+b=2023−2021=2或a+b=2021−2021=0
③当|a−2022|=2，b+2022=0时，
∴a=2024或a=2020，b=−2022
∴a+b=2024−2022=2或a+b=2020−2022=2
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
【变式1-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）已知实数a满足2000−a+a−2001=a，那么a−20002的值是( )
A．1999B．2000C．2001D．2002
【答案】C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：∵a−2001≥0，
∴a≥2001>2000，即2000−a<0，
∴2000−a+a−2001 =a−2000+a−2001 =a，
即a−2001=2000，
∴a−20012=20002，即a−2001=20002，
∴a−20002=2001，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
【变式1-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）已知a,b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0，求a2015−b2016的值.
【答案】-2
【分析】由已知条件得到1+a−(b−1)1−b=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据有理数的乘方运算计算即可得出结果．
【详解】解：∵1+a−(b−1)1−b=0，
∴1+a+(1−b)1−b=0，
∵1-b≥0，
∴1+a=0，1-b=0，
解得a=-1，b=1，
∴a2015-b2016
=（-1）2015-12016
=-1-1
=-2．
【点睛】本题考查了非负数的性质及求代数式的值、有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式1-3】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级校联考期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m =199−x−y⋅x−199+y，则m= ．
【答案】201
【分析】根据能开平方的数一定是非负数，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，从而有3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，再根据算术平方根的非负性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值．
【详解】解：由题意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，
∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．
∴3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，
∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，
联立①②③得，x+y=199①3x+5y−2−m=0②2x+3y−m=0③，
②×2-③×3得，y=4-m，
将y=4-m代入③，解得x=2m-6，
将x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．
故答案为：201．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及方程组的解法，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
【题型2 无理数的估算】
【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（ ）
A．30B．13C．10D．8
【答案】B
【分析】根据数轴上的点处于3.5和4之间，即12.25和16之间，逐一判定比较即可.
【详解】解：设点P表示的数为x，
得72
∴A选项不符合题意，
∵12.25<13<4，
∴选项B符合题意，
∵10<12.25，
∴C选项不符合题意，
∵8<12.25，
∴D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】此题主要考查数轴上点的判定，关键是转化为二次根式的形式，即可解题．
【变式2-1】（2023春·北京丰台·八年级校考阶段练习）已知a＝23﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．3＜a＜4D．4＜a＜＜5
【答案】B
【分析】先估算出23的范围，即可求得答案．
【详解】∵4<23<5，
∴2<23−2<3，
∴23−2在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出23的范围是解题关键．
【变式2-2】（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】C
【详解】解：∵ 2．62=6．76，
2．72=7．29，
2．82=7．84，
2．92=8．41，
∵7．84＜8＜8．41，
∴2．82＜8＜2．92，
∴2．8＜8＜2．9，
所以8应在③段上．
故选：C
【变式2-3】（2023春·浙江杭州·八年级期中）若a，b均为正整数，且a>7，b<32，则a+b的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先估算7、32的范围，然后确定a、b的最小值，即可计算a+b的最小值．
【详解】∵4<7<9，∴2<7<3．
∵a>7，a为正整数，
∴a的最小值为3．
∵31<32<38，∴1<32<2．
∵b＜32，b为正整数，
∴b的最小值为1，
∴a+b的最小值为3+1=4．
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的最小值．
【题型3 探究平方根和立方根的规律】
【例3】（2023春·北京·八年级校考期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中．
(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；
表1．
(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整．
表2．
(3)通过表1和表2，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现．
（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果）．
【答案】(1)1；10；100
(2)1.732；17.32；54.77
(3)被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．
【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案
（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案
（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可
【详解】（1）解：根据题意，得1=1,100=10,10000=100．
故答案为：1；10；100．
（2）解：已知0.03=0.1732，
∴3=1.732，300=17.32．
∵已知30=5.477，
∴3000=54.77．
故答案为：1.732；17.32；54.77．
（3）解：通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动n位．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是从表格中发现数字的规律．
【变式3-1】（2023春·四川广元·八年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10，…，则按此规律可推得这一列数中的第2023个数是 ．
【答案】−2023
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．
【详解】解：∵一列实数：−1，2，33，−2，5，36，−7，8，39，−10，…
∴这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，
∵2023÷3=674…1
∴这一列数中的第2023个数应是−2023，
故答案为：−2023．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
【变式3-2】（2023春·甘肃庆阳·八年级统考期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知313≈2.35，则30.013≈___，313000≈___．
(3)类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则366≈___，36600≈___．
【答案】(1)右；一；
(2)0.235；23.5；
(3)19.13；191.3
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
（2）∵313≈2.35，
∴30.013≈0.235，313000≈23.5，
故答案为：0.235，23.5；
（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵3.66≈1.913，
∴366≈19.13，36600≈191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．
【变式3-3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）若记x表示任意实数的整数部分例如：3.5=3，5=2， ⋯，则1−2+3−4+⋯+2019−2020（其中“+”“−”依次相间）的值为
【答案】−22
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：∵1≤n＜2即1≤n＜4时，n=1，此时n=1，2，3，
∴1−2+3=1−1+1=1；
∵2≤n＜3即4≤n＜9时，n=2，此时n=4，5，6，7，8，
∴−4+5−6+7−8=−2+2−2+2−2=−2；
∵3≤n＜4即9≤n＜16时，n=3，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴9−10+11−12+13−14+15=3−3+3−3+3−3+3=3；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵442=1936，452=2025，
∴44≤n＜45即1936≤n＜2025时，n=44，
∴−1936+1937−1938+1939−⋯+2019−2020=-44，
∴1−2+3−4+⋯+2019−2020
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=−1×22
=-22，
故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
【题型4 利用“夹逼法”求整数部分和小数部分】
【例4】（2023春·湖北随州·八年级统考期中）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−1，请回答以下问题：
(1)10的小数部分是________，5−13的小数部分是________．
(2)若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3+1的平方根．
(3)若7+5=x+y，其中x是整数，且0
(2)±3；
(3)11．
【分析】（1）确定10的整数部分，即可确定它的小数部分；确定13的整数部分，即可确定5−13的整数部分，从而确定5−13的小数部分；
（2）确定90的整数部分，即知a的值，同理可确定3的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式a+b−3+1的值，从而求得其平方根；
（3）由2<5<3得即9<7+5<10，从而得x=9，y=5−2，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵3<10<4，
∴10的整数部分为3，
∴10的小数部分为10−3，
∵3<13<4，
∴−3＞−13＞−4，
∴5−3＞5−13＞5−4即1＜5−13＜2，
∴5−13的整数部分为1，
∴5−13的小数部分为4−13，
故答案为：10−3，4−13；
（2）解：∵9<90<10，a是90的整数部分，
∴a=9，
∵1<3<2，
∴3的整数部分为1，
∵b是3的小数部分，
∴b=3−1，
∴a+b−3+1=9+3−1−3+1=9
∵9的平方根等于±3，
∴a+b−3+1的平方根等于±3；
（3）解：∵2<5<3，
∴7+2<7+5<7+3即9<7+5<10，
∵7+5=x+y，其中x是整数，且0
∴x−y+5=9−5−2+5=11．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
【变式4-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期末）已知13的整数部分是m，10−13的小数部分是n，则m+n= ．
【答案】7−13/−13+7
【分析】先估算出13的取值范围，再求出m，n的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∵13的整数部分是m，
∴m=3；
∵3<13<4，
∴−4<−13<−3，
∴6<10−13<7，
∵10−13的小数部分是n，
∴n=10−13−6=4−13，
∴m+n=3+4−13=7−13．
故答案为：7−13．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北邢台·八年级校考期中）阅读下列材料：
∵1<3<4，
∴1<3<2，
∴3的整数部分为1，小数部分为3−1．
请根据材料提示，解答下列问题．
(1)14的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果6的小数部分为m，21的整数部分为n，求2m−n−26的立方根；
(3)若a的整数部分为5，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)3，14−3
(2)−2
(3)25≤a<36
【分析】（1）由9<14<16可得3<14<4，从而即可得出答案；
（2）估算6和21的大小，确定m、n的值，代入进行计算即可得到答案；
（3）由a的整数部分是5，25=5，36=6即可得到答案．
【详解】（1）解：∵9<14<16，
∴3<14<4，
∴ 14的整数部分是3，
∴ 14的小数部分是14−3，
故答案为：3，14−3；
（2）解：∵4<6<9，16<21<25，
∴2<6<3，4<21<5，
∵ 6的小数部分为m，21的整数部分为n，
∴m=6−2，n=4，
∴2m−n−26=2×6−2−4−26=26−4−4−26=−8，
∴ 2m−n−26的立方根为：3−8=−2；
（3）解：∵a的整数部分是5，25=5，36=6，
∴25≤a<36．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，求一个数的立方根，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的，类比来看，2是无理数，而1<2<2，所以2的整数部分是1，于是可用2−1来表示2的小数部分．
料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a=10，b=−12．
根据以上材料，完成下列问题：
(1)17的整数部分是______，小数部分是 _____；
(2)3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3
(2)3
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数17的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数3+3的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵4<17<5，
∴ 17的整数部分为4，小数部分为17−4，
故答案为：4，17−4；
（2）∵1<3<2，
∴4<3+3<5，
∵3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<3+3
∴a+b=9，
∴a+b的算术平方根为9=3；
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是正确解答的前提．
【题型5 与实数运算有关的规律问题】
【例5】（2023春·山东聊城·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
1−34=14=122=12；
1−59=49=232=23；
1−716=916=342=34；
……
(1)计算：1−1349=________；
(2)按照你所发现的规律，猜想：1−2n+1n+12=_______；（n为正整数）
(3)计算：1−34×1−59×1−716×．．．×1−19910000．
【答案】(1)67
(2)nn+1
(3)1100
【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用式子的规律解答即可；
（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
【详解】（1）解： 1−1349
=3649
=67；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
1−2n+1(n+1)2＝nn+1；
（3）解：原式=12×23×34×...×99100
=1100．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）观察下列各式：32+27=2327,33+326=33326,34+463=43463,···用含n（n≥2且n为整数）的等式表示上述规律为 ．
【答案】3n+nn3−1=n3nn3−1
【分析】观察规律可直接得到规律．
【详解】解：∵32+27=2+223−1=2327，
33+326=33+333−1=33326，
34+463=34+443−1=33463，…，
∴3n+nn3−1=n3nn3−1．
故答案为：3n+nn3−1=n3nn3−1
【点睛】此题考查了数字规律的运算，会求一个数的立方根，正确分析已知中的等式由此得到变化规律是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）观察下列等式：
①x1=1+112+122=32=1+11×2；
②x2=1+122+132=76=1+12×3；
③x3=1+132+142=1312=1+13×4；
…
(1)写出④x4=______；
(2)猜想：xn=______；
(3)由以上规律，计算x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022−2023的值．
【答案】(1)1+142+152=2120=1+14×5
(2)1+1n(n+1)
(3)−12023
【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；
（2）根据规律直接得出结果即可；
（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：x4=1+142+152=2120=1+14×5，
故答案为：1+142+152=2120=1+14×5．
（2）解：根据规律可知，xn= 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)，
故答案为： 1+1n(n+1)；
（3）x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x2022−2023
=112+116+1112+⋅⋅⋅+112022×2023−2023
=2022+1−12+12−13+⋅⋅⋅+12022−12023−2023
=2022+1−12023−2023
=−12023．
【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．
【变式5-3】（2023春·湖北武汉·八年级武汉市洪山高级中学校考期中）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题.
4×16______4×16,
49×9______49×9
925×25_____925×25,
169×425______169×425……
（1）用a,b,ab表示上述规律为：____________；
（2）利用（1）中的结论，求8×12的值
（3）设x=3，y=6试用含x,y的式子表示54
【答案】（1）a×b=ab；（2））2；（2）54=3×3×6=x2y.
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；
（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；
（3）先分解质因数，再根据规律得出3×3×6，即可得出答案.
【详解】（1）∵ 4×16=2×4=8，4×16=64=8，
∴ 4×16=4×16，
49×9=49×9，
925×25=925×25，
169×425=169×425，
a×b=ab，
故答案为=，=，=，=，a×b=ab（a≥0，b≥0）；
（2）8×12=8×12=4=2；
（3）∵ x=3，y=6，
∴ 54=3×3×6=3×3×6=x⋅x⋅y=x2y.
【点睛】本题考查了实数的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.
【题型6 程序框图中的实数运算】
【例6】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值x为16时，输出y值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值y为3时，输入值x为9
D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
【变式6-1】（2023春·浙江温州·八年级统考期中）如图，是一个计算程序．若输入x的值为64，则输出y的结果为 ．
【答案】32
【分析】根据题意利用立方根和算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：输入的x值为64，取立方根为4，4是有理数，
则取4的算术平方根为2，2是有理数，
则取2的立方根为32，32是无理数，
所以输出的y的结果为32，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，正确把握定义是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图是一个数值转换器的工作原理．
(1)当输入的x值为−19时，求输出的y值；
(2)是否存在输入x值后，始终输不出y值的情况，若存在，请写出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由；
(3)若输出的y值是3，请写出四个满足要求的x值．
【答案】(1)2
(2)x=−2或−3或−4
(3)x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，答案不唯一．
【分析】（1）根据运算规则计算即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断；
（3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【详解】（1）解：|−19+3|=16，16的算术平方根是4，
4不是无理数，4的算术平方根是2，
2不是无理数，2的算术平方根是2，2是无理数，
故输出的y值是2．
故答案是：2．
（2）解：存在输入x值后，始终输不出y值的情况．
∵0和1的算术平方根是0和1，
∴当|x+3|=0或|x+3|=1时，始终输不出y值，
∴x=−2或−3或−4．
（3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是3，
∴当|x+3|=3或|x+3|=9，
即x=0或x=−6或x=−12或x=6时，输出的y值是3，(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键．
【变式6-3】（2023春·北京·八年级校考期中）给出下列程序：若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3；则当输入的x值为8时，输出值为 ．
【答案】3
【分析】设输出的值为y，根据程序可得计算法则：y=k3x+b，根据待定系数法确定k，b的值，再将8代入即可．
【详解】解：设输出的值为y，根据图示可得计算法则为y=k3x+b，
∵若输入的x值为1时，输出值为1；若输入的x值为−1时，输出值为−3，
∴ k+b=1−k+b=−3，解得k=2b=−1，
∴y=23x−1，
当x=8时，y=2×2−1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题以程序为背景考查了求代数式的值，关键是弄清楚图示给出的计算程序．
【题型7 新定义中的实数运算】
【例7】（2023春·重庆彭水·八年级校联考期末）对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m,n)=mn+an−3（其中a为非零常数）；例如：f(1,2)=1×2+a×2−3；已知f(2,3)=9，给出下列结论：①a=2；②若f(1,n)>0，则n>1；③若f(m,m)=2m，则m=3；④f(n,n)−2n有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．
【详解】解：∵f(2,3)=9，
∴2×3+3a−3=9，
解得：a=2，故①正确；
若f(1,n)>0，f(1,n)=1×n+2n−3>0，
则n>1，故②正确；
f(m,m)=m2+2m−3=2m，
解得：m=±3，故③错误；
f(n,n)−2n=n2+2n−3−2n=n2−3，
当n=0时，有最小值−3，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．
【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）对于任意不为0的有理数m，n，定义一种新运算“※”，规则如下：m※n=3m−n．
例如：−1※2=3×−1−2=−3−2=−5．
(1)若x−2※5x=6，求x的值；
(2)判断这种新运算“※”是否满足分配律a※b+c=a※b+a※c，并说明理由．
【答案】(1)−6
(2)这种新运算“※”不满足分配律a※b+c=a※b+a※c
【分析】（1）根据新定义运算得出方程3x−2−5x=6，解方程即可得到答案；
（2）先根据新定义运算分别表示出等式左边和右边，再观察左右两边是否相等，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵x−2※5x=6，
∴3x−2−5x=6，
解得：x=−6，
∴ x的值为−6；
（2）解：根据题意得：
左边a※b+c=3a−b+c=3a−b−c，
右边a※b+a※c=3a−b+3a−c=6a−b−c，
∴左边≠右边，
∴这种新运算“※”不满足分配律a※b+c=a※b+a※c．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数的运算，解一元一次方程，理解新定义的运算法则，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4,3=1，现对72进行如下操作：72→第1次72=8→第2次8=2→第3次2=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行 次操作后变为1．
【答案】4
【分析】确定2023的范围，即可求得2023，再依次下去，通过4次操作后可变为1．
【详解】解：∵1936=442<2023<452=2025，
∴2023=44；
∵36<44<49，
∴44=6；
∵4<6<9，
∴6=2，
∴2=1；
经过4次操作可以变为1；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·重庆梁平·八年级统考期末）材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为2+4−3=3，所以234是“尚美数”；
材料二：若t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c．已知t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数”，且Ft1+2Ft2+4n能被13整除，则y= ．t2= ．
【答案】 5 652
【分析】根据t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据Ft1+2Ft2+4n列代数式，最后根据Ft1+2Ft2+4n能被13整除进行分类讨论，即可得答案．
【详解】解：∵t1=2y6,t2=myn是两个不同的“尚美数，
∴2+6−y=3m+n−y=3
得y=5，即m+n=8，
∴n=8−m，
∵t=abc（1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，且a,b,c均为整数），记F(t)=2a−c，
∴ Ft1+2Ft2+4n
=2×2−6+22×m−n+4n
=4m+2n−2
=4m+28−m−2=2m+14．
∵1≤m≤9，
∴16≤2m+14≤32．
∵2m+14能被13整除，
∴2m+14=26
解得m=6,n=8−m=2，
故t2=myn=652，
故答案为：5,652．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算，不等式等知识，消元求解是解题的关键．
【题型8 实数运算的应用】
【例8】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第一中学校考期中）“说不完的2”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)2到底有多大？
下面是小欣探索2的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是2，且2>1.4．设2=1.4+x，画出如下示意图．
由面积公式，可得x2+______=2．
因为x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即2≈_____．
(2)怎样画出2？请一起参与小敏探索画2过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为xx>0．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=2，解得x=2．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得x2+2.8x+1.96=2
∵x值很小，所以x2更小，略去x2，得方程2.8x+1.96=2，解得x≈0.014（保留到0.001），即2≈1.4+x≈1.414．
故答案为：2.8x+1.96，2.8x+1.96=2，0.014，1.414；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求S阴=_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为13的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，据此作图即可．
【详解】解：（1）S阴=4×4−12×1×3×4=10，
故答案为：10；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，
则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．
（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为2cm.
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据面积相等得到方程，即可求解．
【详解】（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据题意得x2=1×2=2，
∴x=2（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为2cm．
【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
【变式8-3】（2023春·浙江·八年级期末）阅读材料，回答问题：
（1）对于任意实数x，符号x表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，x就是x，当x不是整数时，x是点x左侧的第一个整数点，如3=3，−2=−2，2.5=2，−1.5=−2，则3.4=________，−5.7=________．
（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：
①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；
②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？
【答案】（1）3；−6；（2）①2；3；6．②这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．
【分析】（1）根据题意，确定实数左侧第一个整数点所对应的数即得；
（2）①根据表格确定乘坐里程的对应段，然后将乘坐里程分段计费并累加即得；
②根据表格将每段的费用从左至右依次累加直至费用为7元，进而确定7元乘坐的具体里程即得．
【详解】（1）∵3<3.4<4
∴3.4=3
∵−6<−5.7<−5
∴−5.7=−6
故答案为：3；−6．
（2）①∵3.07<4
∴3.07公里需要2元
∵4<7.93<12
∴7.93公里所需费用分为两段即：前4公里2元 ，后3.93公里1元
∴7.93公里所需费用为：2+1=3（元）
∵12<19.17<24
∴19.17公里所需费用分为三段计费即： 前4公里2元，4至12公里2元，12公里至19.17公里2元；
∴19.17公里所需费用为：2+2+2=6（元）
故答案为：2；3；6．
②由题意得：乘坐24公里所需费用分为三段：前4公里2元，4至12公里2元，12公里至24公里2元；
∴乘坐24公里所需费用为：2+2+2=6（元）
∵由表格可知：乘坐24公里以上的部分，每一元可以坐8公里
∴7元可以乘坐的地铁最大里程为：24+8=32（公里）
∴这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里
答：这个乘客花费7元乘坐的地铁行驶的路程范围为：大于24公里小于等于32公里．
【点睛】本题是阅读材料题，考查了实数的实际应用，根据材料中的新定义举一反三并挖掘材料中深层次含义是解题关键．第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
第7组
……
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
……
……
0.1
0.316
______
3.16
______
31.6
______
……
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
第6组
……
0.03
0.3
3
30
300
3000
……
……
0.1732
0.5477
______
5.477
______
______
……
b
0.004096
4.096
4096
4096000
4096000000
3b
0.16
1.6
16
160
1600
里程范围
4公里以内（含4公里）
4-12公里以内（含12公里）
12-24公里以内（含24公里）
24公里以上
收费标准
2元
4公里/元
6公里/元
8公里/元
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