专题5.3 一元一次方程的应用【十五大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19416" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Tc19416 \h 1
\l "_Tc2994" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Tc2994 \h 5
\l "_Tc917" 【题型3 配套问题】 PAGEREF _Tc917 \h 7
\l "_Tc19082" 【题型4 销售盈亏问题】 PAGEREF _Tc19082 \h 11
\l "_Tc11007" 【题型5 比赛积分问题】 PAGEREF _Tc11007 \h 15
\l "_Tc26131" 【题型6 方案选择问题】 PAGEREF _Tc26131 \h 20
\l "_Tc27181" 【题型7 数字问题】 PAGEREF _Tc27181 \h 24
\l "_Tc7627" 【题型8 几何问题】 PAGEREF _Tc7627 \h 28
\l "_Tc25442" 【题型9 和差倍分问题】 PAGEREF _Tc25442 \h 33
\l "_Tc20664" 【题型10 比例分配问题】 PAGEREF _Tc20664 \h 36
\l "_Tc28689" 【题型11 古代问题】 PAGEREF _Tc28689 \h 38
\l "_Tc14056" 【题型12 日历问题】 PAGEREF _Tc14056 \h 40
\l "_Tc8940" 【题型13 年龄问题】 PAGEREF _Tc8940 \h 45
\l "_Tc20404" 【题型14 电费和水费问题】 PAGEREF _Tc20404 \h 47
\l "_Tc8084" 【题型15 其他问题】 PAGEREF _Tc8084 \h 51
【题型1 行程问题】
【例1】（2023秋·陕西渭南·七年级校考期中）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（向东记为正）记录如下：（6(1)写出这辆出租车每次行驶的方向：第一次向______；第二次向______；第三次向______；第四次向______；
(2)若x=10，求经过连续4次行驶后，这辆出租车在A地的什么方向，距离A地有多远？
(3)求这辆出租车4次行驶的总路程（结果用含x的式子表示）；若这辆出租车4次行驶的总路程是47km，求这辆出租车第四次行驶了多少千米？
【答案】(1)东；西；东；西
(2)出租车在A地的东边3km处
(3)92x−16km，出租车第四次行驶的路程是16km
【分析】（1）根据x的取值范围判断四个代数式的正负，根据向东为正，向西为负，即可求解；
（2）将四个代数式相加，将x=10代入求值，根据向东为正，向西为负，即可求解；
（3）将四个代数的绝对值相加即可表示出总路程，根据总路程为47km列方程求出x，即可求解．
【详解】（1）解：因为6所以x>0，−12x<0，x−4>0，26−x<0，
所以第一次向东；第二次向西；第三次向东；第四次向西；
故答案为：东；西；东；西．
（2）解：x−12x+x−4+26−x=−12x+8km．
因为x=10，
所以−12x+8=−12×10+8=3km，
所以若x=10，则经过连续4次行驶后，这辆出租车在A地的东边3km处．
（3）解：根据题意可得这辆出租车行驶的路程为：
x+−12x+x−4+26−x=x+12x+x−4−26−x=92x−16km，
因为这辆出租车行驶的总路程是47km，
所以92x−16=47，
解得x=14，
所以26−x=2×6−14=−16=16，
所以这辆出租车4次行驶的总路程是92x−16km，若这辆出租车4次行驶的总路程是47km，则出租车第四次行驶的路程是16km．
【点睛】本题考查正负数的应用，整式的加减运算，化简绝对值，一元一次方程的应用等，解题的关键是理解正负号的意义，正确化简绝对值．
【变式1-1】（2023春·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期中）列方程解应用题．
甲、乙分别从A、B两地同时出发相向而行，在C处相遇后，甲没有休息，到B地后立刻折返；乙则在C处休息了15分钟才继续走，到A地后立刻折返；两人折返后仍在C处相遇，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．那么A、B两地相距多少米？
【答案】A、B两地相距1800米；
【分析】由甲、乙的速度比60:80=3:4可设全程为7x米，则C处到A地的距离为3x米，则C处到B地的距离为4x米，根据题意列方程即可．
【详解】解：∵60:80=3:4，
设全程为7x米，则C处到A地的距离为3x米，则C处到B地的距离为4x米，
由题意得：7x+3x80+15=7x+4x60，解得：x=18007,7x=1800，
答：A、B两地相距1800米；
【点睛】本题考查相遇问题，根据速度比60:80=3:4设出全程为7x米是关键．
【变式1-2】（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时；
(1)求无风时飞机的飞行速度；
(2)求两城之间的距离．
【答案】(1)840千米每小时
(2)2448千米
【分析】（1）先设出飞机在无风时的速度为x，则顺风飞行时的速度v1=x+24，逆风飞行的速度v2=x−24，再根据路程相等，列出等式，求解即可；
（2）利用（1）的结论求解即可．
【详解】（1）解：设无风时飞机的速度为xkm/h，
则顺风飞行时的速度v1=x+24，逆风飞行的速度v2=x−24，
依题意得：x+24×25060=x−24×3，
解得x=840，
答：无风时飞机的飞行速度为840kmh；
（2）解：两城之间的距离840−24×3=2448km．
答：两城之间的距离为2448km．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握无风速度，顺风速度，逆风速度，风速之间的关系是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023秋·广东佛山·七年级统考开学考试）A、B两地相距25千米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲骑车速度为15千米/小时，乙步行速度为5千米/小时．
(1)请问何时两人相距5千米？
(2)假设甲到达B地后立即沿原路按原速度返回，到达A地就停下来，这时乙 也停下来了，请直接写出甲从A出发至停下来时，两人何时相距5千米．
【答案】(1)出发后1小时或32小时两人相距5千米
(2)出发后1小时或32小时或2小时或3小时，两人相距5千米
【分析】（1）设出发后x小时两人相距5千米，若两个相遇前相距5千米，则15x+5x+5=25；若两人相遇后相距5千米，则15x+5x-5=25，解方程求出x的值即可；
（2）设出发后y小时两人相距5千米，由（1）得，甲从A地到B地，出发后1小时或32小时两人相距5千米，若甲从B地到A地且在追上乙之前两人相距5千米，则15y−25+5=5y；若甲从B地到A地且在追上乙之后两人相距5千米，则15y−25−5=5y，解方程即可．
【详解】（1）设出发后x小时两人相距5千米，
，若两个相遇前相距5千米，则15x+5x+5=25
解得x=1；
若两人相遇后相距5千米，则15x+5x−5=25
解得x=32；
答：出发后1小时或32小时两人相距5千米．
（2）设出发后y小时两人相距5千米，
由（1）得，甲从A地到B地，出发后1小时或32小时两人相距5千米，
若甲从B地到A地且在追上乙之前两人相距5千米，则，15y−25+5=5y
解得y=2；
若甲从B地到A地且在追上乙之后两人相距5千米，则15y−25−5=5y，
解得y=3；
答：出发后1小时或32小时或2小时或3小时，两人相距5千米．
【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示甲骑行的距离和乙步行的距离是解题的关键．
【题型2 工程问题】
【例2】（2023春·广东深圳·七年级统考开学考试）红星纺织厂为了应对疫情需求，安排甲、乙两个车间生产防疫口罩．第一周甲、乙两个车间各生产5天后，乙车间周六加班多生产1天，结果两个车间生产的口罩数量一样多：第二周甲、乙两个车间各生产4天后乙车间又多生产口罩3000个，结果甲车间比乙车间仍多生产口罩1000个．
(1)甲、乙两车间每天生产口罩各多少个?
(2)第三周，纺织厂又接到生产40000个口罩的订单，且要求必须4天完成任务，同时甲车间要抽调一半的工人去生产防护服，因此，甲车间生产口罩的效率只有原来的一半，厂部要求乙车间必须提高口罩生产效率，保证按时完成任务，乙车间生产效率提高的百分比是多少?
【答案】(1)甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩5000个
(2)40%
【分析】（1）设甲车间每天生产口罩x个，可得4x=56x×4+3000+1000，即可解得甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩5000个；
（2）设乙车间生产效率提高的百分比是m%，可得4×60002+4×5000(1+m%)=40000，可解得乙车间生产效率提高的百分比是40%．
【详解】（1）解：设甲车间每天生产口罩x个，
∵第一周甲、乙两个车间各生产5天后，乙车间周六加班多生产1天，结果两个车间生产的口罩数量一样多；
∴乙车间每天生产口罩5x5+1=56x（个），
∵第二周甲、乙两个车间各生产4天后乙车间又多生产口罩3000个，结果甲车间比乙车间仍多生产口罩1000个，
∴4x=56x×4+3000+1000，
解得x=6000，
∴ 56x=56×6000=5000，
∴甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩5000个；
（2）设乙车间生产效率提高的百分比是m%，
根据题意得：4×60002+4×5000(1+m%)=40000，
解得m%=40%，
答：乙车间生产效率提高的百分比是40%．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
【变式2-1】（2023春·河南新乡·七年级统考期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
【答案】甲工程队整治15天，则乙工程队整治5天
【分析】设甲工程队整治x天，则乙工程队整治20−x天，根据河道总长=甲工程队整治的长度+乙工程队整治的长度，列出方程求解即可．
【详解】解：设甲工程队整治x天，则乙工程队整治20−x天，
16x+2420−x=360，
解得：x=15，
∴20−x=20−15=5，
答：甲工程队整治15天，则乙工程队整治5天．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程求解．
【变式2-2】（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考开学考试）为提升乡村休闲旅游产业，推动乡村全面振兴．某地政府计划对辖区内一条长15千米的公路进行维护升级，计划由甲、乙两个工程队联合完成．若甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程．已知甲工程队每天比乙工程队每天少施工0.3千米．
(1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为8000元，乙工程队每天的施工费用为10000元，若先由甲工程队单独施工若干天，再由甲、乙两个工程队联合施工，则恰好14天完成施工任务，则共需施工费用多少元？
【答案】(1)甲工程队每天施工0.5千米，乙工程队每天施工0.8千米；
(2)212000元．
【分析】（1）设乙工程队每天施工x千米，根据甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程，列一元一次方程，求解即可；
（2）设甲工程队单独施工m天，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由甲、乙两个工程队联合施工，则恰好14天完成施工任务列一元一次方程，求出m的值，进一步求施工费用即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天施工x千米，
根据题意，得6(x−0.3)+15x=15，
解得x=0.8，
0.8−0.3=0.5（千米），
答：甲工程队每天施工0.5千米，乙工程队每天施工0.8千米；
（2）解：设甲工程队单独施工m天，
根据题意，得0.5×14+0.8(14−m)=15，
解得m=4，
∴14×8000+10000×(14−4)=212000（元），
答：共需施工费用212000元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立等量关系．
【变式2-3】（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）某中学在寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲队每天能粉刷2间教室，乙队每天能粉刷3间教室，若单独粉刷所有教室，甲队比乙队要多用10天，在粉刷过程中，该校每天需要支付甲队1600元，每天支付乙队2500元．
(1)该校一共有多少间教室需要粉刷?
(2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲队停工了，乙队单独完成剩余部分，且乙队的全部工作时间是甲队的工作时间的2倍还多4天，求乙队共粉刷了多少天?
(3)经学校研究，制定了如下三种方案：
方案一：由甲队单独完成；
方案二：由乙队单独完成；
方案三：按（2）的方式完成．
请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案．
【答案】(1)该校共有60间教室需要粉刷
(2)乙队共粉刷了了16天
(3)选择方案一最省钱，见解析
【分析】（1）设乙工程队要刷x天，根据题意房间数量列出方程求解即可；
（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间2y+4天，根据两队共粉刷60间教室列出方程求解即可；
（3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设该校共有x间教室需要粉刷，则x2=x3+10，解得：x=60．
答：该校共有60间教室需要粉刷．
（2）解：设甲队的工作时间是y天，则乙队的工作时间为2y+4天，由题意可得：
∴2y+32y+4=60，解得：y=6，
∴2y+4=16．
答：乙队共粉刷了16天．
（3）解：方案一：甲单独完成花费为：602×1600=48000（元）；
方案二：乙单独完成花费为：603×2500=50000（元）；
方案三：总花费为：6×1600+16×2500=49600（元）．
∴选择方案一最省钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程是解答本题的关键．
【题型3 配套问题】
【例3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配套.
(1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？
(2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符合要求？
【答案】(1)不符合要求
(2)分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母
【分析】（1）计算出每天生产的螺钉数、螺母数，判断是否配套即可；
（2）设分配x名工人生产螺钉，根据一个螺钉要配两个螺母建立方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：每天生产的螺钉数为8×12=96（个），
每天生产的螺母数为22−8×20=280（个），
∵ 96×2≠280，
∴这样的安排不符合要求；
（2）解：设分配x名工人生产螺钉，则22−x名工人生产螺母，
根据题意得：2×12x=22−x×20，
解得x=10，
故22−10=12（人）．
答：分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母才能符合要求．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
【变式3-1】（2023春·上海普陀·六年级校考期中）一个方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料可以做桌面50张或桌腿300根，现有5立方米木料，可恰好做成方桌多少个？
【答案】150个
【分析】利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面×4=桌腿数量，进而得出等式即可．
【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则可做50x个桌面，
剩下的5−x立方米木料做桌腿，可做3005−x条桌腿．
因为桌腿的数量是桌面数量的4倍，
所以可列方程4×50x=3005−x．
解得x=3.
∴可恰好做成方桌50×3=150个．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
【变式3-2】（2023秋·陕西榆林·七年级校考阶段练习）用硬纸板做长方体盒子（如图1）．如图2，在长方体盒子表面展开图中，4个侧面组成的长方形叫做盒身，用灰色部分表示，2个底面分别用斜线部分表示，硬纸板有如图3所示的A，B两种剪裁方法（空白部分的边角料不再利用）．A方法：剪2个盒身．B方法：剪1个盒身和5个底面．现有28张硬纸板．若其中的x张用A方法裁剪，其余的用B方法裁剪．
(1)填空：裁剪出的盒身的个数是______，裁剪出的盒底的个数是______．（用含x的代数式表示，代数式不是最简要化为最简形式）
(2)若裁剪出来的盒身和盒底正好配套，求x的值．
【答案】(1)x+28，−5x+140
(2)12
【分析】（1）根据题意，列出代数式，即可求解；
（2）由侧面个数和底面个数比为2：1建立方程求出x的值．
【详解】（1）∵A方法：剪2个盒身．B方法：剪1个盒身和5个底面，
∴裁剪出的盒身的个数是2x+28−x=x+28，
裁剪出的盒底的个数是528−x=−5x+140；
（2）由题意得，2(x+28)=−5x+140
∴解得x=12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际运用，根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是解题的关键．
【变式3-3】（2023秋·广东中山·七年级统考期末）美术老师组织初一（5）班的学生用硬纸板制作下图所示的正三棱柱盒子．初一（5）班共有学生45人，每名学生每小时可以裁剪侧面60个或底面50个．已知一个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成，为了使每小时裁剪出的侧面与底面刚好配套，应如何分配全班学生？
【答案】应该分配裁剪侧面的学生为25人，裁剪底面的学生为20人
【分析】设分配裁剪侧面的学生为x人，则裁剪底面的学生为45−x人，再根据“一个三棱柱盒子由3个侧面和2个底面组成”列方程即可求解．
【详解】解：设分配裁剪侧面的学生为x人，则裁剪底面的学生为45−x人，
根据题意得，60x×2=5045−x×3，
∴270x=6750，
解得x=25，
∴裁剪底面的学生为：45−25=20（人），
答：应该分配裁剪侧面的学生为25人，裁剪底面的学生为20人．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
【题型4 销售盈亏问题】
【例4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）东辉超市两次购进甲、乙两种商品进行销售，其中第一次购进乙种商品的件数比甲种商品件数的2倍多15件．
(1)若第一次购进甲种商品的件数为a件，则购进乙种商品的件数为___________件．
(2)已知甲种商品的进价49元，标价69元，乙种商品的进价35元，标价45元．该超市第一次用7665元购进甲、乙两种商品，且均按标价出售，问本次全部售出后共获利多少元？
(3)在（2）问的条件下，该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数是第一次的2倍，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品售价不变，乙商品打折销售，第二次全部售出后获得的总利润比第一次获得的总利润多10%，求第二次乙种商品按原价打几折出售？
【答案】(1)2a+15
(2)2550元
(3)八折
【分析】（1）根据题意，用运算表示数量间关系，列代数式；
（2）明确等量关系：甲商品总进价+乙商品总进价=7665元，列一元一次方程求解，进而求出利润；
（3）明确等量关系：第二次总利润−第一次总利润=2550×(1+10%)，列一元一次方程求解；
【详解】（1）2a+15
（2）解：根据题意得49a+352a+15=7665，解得a=60，
2a+15=135（件），
60×69−49+135×45−35=2550（元），
答：本次售出后获利2550元．
（3）解：甲：60×2=120（件）乙：135×3=405（件）
设第二次乙种商品打x折出售．
根据题意得40545×x10−35+120×(69−49)=2550×(1+10%)，解得x=8．
答：第二次乙种商品打八折出售．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用；审题明确题意中的等量关系是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）2023年4月16日至18日“金沙贡茶文化节”在岩孔贡茶古镇举行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约．其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品．已知甲种茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元．若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件，共需要700元．
(1)求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元?
(2)该采购商购进了甲种茶叶商品300件，乙种茶叶商品200件．在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为30％，求每件乙种茶叶商品的售价是多少元?
【答案】(1)甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80，100元
(2)每件乙种茶叶商品的售价是121元
【分析】（1）设甲种茶叶商品每件的进价为x元，则乙种茶叶商品每件的进价为x+20元，由题意知，5x+3x+20=700，计算求解，然后作答即可；
（2）设每件乙种茶叶商品的售价是a元，由题意知，110−80×300+a−100×20080×300+100×200×100％=30％，计算求解即可．
【详解】（1）解：设甲种茶叶商品每件的进价为x元，则乙种茶叶商品每件的进价为x+20元，
由题意知，5x+3x+20=700，
解得x=80，
∴x+20=100（元），
∴甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是80，100元；
（2）解：设每件乙种茶叶商品的售价是a元，
由题意知，110−80×300+a−100×20080×300+100×200×100％=30％，
解得，a=121，
∴每件乙种茶叶商品的售价是121元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式4-2】（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率60%；乙种商品每件进价40元，售价60元．
(1)每件甲种商品的进价为 元；每件乙商品的利润率为 ．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？
(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？
【答案】(1)50；50%
(2)购进甲种商品100件
(3)购进乙种商品13件
【分析】（1）设每件甲种商品的进价为x元，根据利润=售价−进价列出方程解方程即可，根据利润率=利润进价×100%求出乙商品的利润率即可；
（2）设购进甲种商品y件，则购进乙种商品500−y件，根据甲、乙两种商品的总进价为21000元，列出方程，解方程即可；
（3）设小华购买乙种商品总价为m元，根据小华购买乙种商品实际付款564元列出方程，解方程得出实际付款数，然后再求出件数即可．
【详解】（1）解：设每件甲种商品的进价为x元，根据题意得：
80−x=60%x，
解得：x=50，
每件乙商品的利润率为：60−4040×100%=50%；
故答案为：50；50%．
（2）解：设购进甲种商品y件，则购进乙种商品500−y件，根据题意得：
50y+40500−y=21000，
解得：y=100，
500−100=400（件），
答：购进甲种商品100件．
（3）解：600×0.9=540（元），
600×0.85=510（元），
∵564>540>510，
∴小华购买乙种商品总价超过600元，
设小华购买乙种商品总价为m元，根据题意得：
600×0.85+m−600×0.3=564，
解得：m=780，
780÷60=13（件），
答：购进乙种商品13件．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程，熟练掌握利润=售价−进价，利润率=利润进价×100%．
【变式4-3】（2023秋·陕西延安·七年级校考阶段练习）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润=销售额−成本）
(1)求两次分别购进礼品盲盒多少盒？
(2)文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？
(3)在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完．老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？
【答案】(1)第一次购买了40盒，第二次购买了30盒
(2)按此计划该老板总共可以获得320元的利润
(3)按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒
【分析】（1）设第一次购买了x盒，则第二次购买了70−x盒，根据总共花费960元，列出方程进行求解即可；
（2）分别求出两批的利润，相加即可；
（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，分别求出按不同方案销售的销售额，再根据该老板共获利润710元，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购买了x盒，则第二次购买了70−x盒，
由题意，得15x+1270−x=960，
解得x=40，
所以70−x=30．
答：第一次购买了40盒，第二次购买了30盒．
（2）第一批的利润为20−15×40=200（元），
第二批的利润为20×0.8−12×30=120（元），
200+120=320（元）．
（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，则按标价售出m盒的销售额为20m，
按七五折售出部分的销售额为40×0.75×70−m2=1050−15m，
按五折售出部分的销售额为40×0.5×70−m2=700−10m，
根据题意可得20m+1050−15m+700−10m−960=710，
解得m=16．
答：按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．
【题型5 比赛积分问题】
【例5】（2023秋·江西赣州·七年级校联考阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况．
(1)由表中的数据可知：答对1题得 分，答错1题得 分；
(2)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？
(3)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)5,−1
(2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分＝总分÷全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分；
（2）设参赛者小婷答对了x道题，答错了20−x道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方程求出其解即可；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了20−y道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝80分建立方程求出其解即可判断．
【详解】（1）由题意，得，答对1题的得分是：100÷20=5分，
答错1题的得分为：94−19×5=−1分，
故答案为：5，−1；
（2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了20−x道题，由题意，得，
5x−(20−x)=76，
解得：x=16．
答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题；
（3）不可能．理由如下：
假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了20−y道题，由题意，得，
5y−(20−y)=80，
解得：y=503，
∵y为整数，
∴参赛者小明说他得80分，是不可能的．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际运用，正确理解题意、找准相等关系列出方程是关键．
【变式5-1】（2023秋·四川成都·七年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯已于12月19日完美落下帷幕，在欧洲区预选赛中某小组某队以不败的战绩踢完12场积了18分．
(1)已知足球积分为胜一场积3分，平一场积1分，则该队现在胜、平各几场？
(2)为了鼓励该队获得好成绩，该队的赞助商制定了一个奖励机制，每位球员胜一场获得15000欧元奖励，平一场获得7000欧元奖励，则该队一位球员能获得多少报酬？
【答案】(1)胜3场，平9场；
(2)108000欧元
【分析】（1）设该队胜x场，则平12−x场，根据题意列方程，求解即可得到答案；
（2）根据题意列式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设该队胜x场，则平12−x场，
根据题意得：3x+12−x=18，
解得：x=3，
答：该队胜3场，平9场；
（2）解：根据题意得：15000×3+7000×9=108000（欧元），
答：该队一位球员能获得108000欧元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，找出题目中的数量关系正确列方程是解题关键．
【变式5-2】（2023秋·河北保定·七年级统考期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3−0或者3−1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3−2取胜的球队积2分，负队积1分．前四名队伍积分榜部分信息如下表所示：
(1)中国队11场胜场中只有一场以3−2取胜，请将中国队的总积分填在表格中．
(2)巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表，求巴西队胜场的场数．
【答案】(1)32
(2)7场
【分析】（1）依据中国队11场胜场中只有一场以3−2取胜，即可得到中国队的总积分．
（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，依据巴西队总积分为21分，即可得到方程，进而得出x的值．
【详解】（1）中国队的总积分=3×10+2=32；
故答案为：32；
（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为(x−5)场，
依题意可列方程3x+2(x−5)+1=21，
3x+2x−10+1=21，
5x=30，
x=6，
则积2分取胜的场数为x−5=1，
所以取胜的场数为6+1=7，
答：巴西队取胜的场数为7场．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
【变式5-3】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）下表是某市大学生中国象棋锦标赛第一阶段比赛的部分参赛队的不完整积分表．
观察表格，请解决下列问题：
(1)本次比赛胜一局得_________分，和一局得_________分，负一局得__________分．
(2)根据积分规则，请求出C队在已经进行的9局比赛中胜、和各多少局?
(3)此次比赛每个队共对弈21局，若D队最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为D队的最终得分可以等于39分吗?
【答案】(1)3；1；0
(2)C队在已经进行的9局比赛中胜3局、和5局
(3)D队的最终得分不可能等于39分
【分析】（1）根据E队负了9局，得了0分可知，负一场得0分，设本次比赛胜一局得x分，根据A参赛队可知，和一场得21−6x3分，根据B参赛队，胜5场，和3场，负1场得18分，列出方程，解方程即可；
（2）设C队在已经进行的9局比赛中胜y局、和9−1−y局，根据得分为14分，列出方程，解方程即可；
（3）设D队最终胜的局数为m局，则负的局数为m2局，根据得分为39分，列出方程，解方程，得出m=787，根据m必须取整数，得出D队的最终得分不可能等于39分．
【详解】（1）解：∵E参赛队负了9局，得了0分，
∴负一场得0分，
设本次比赛胜一局得x分，根据A参赛队可知，和一场得21−6x3分，根据B参赛队，胜5场，和3场，负1场得18分，可列方程，
5x+3×21−6x3=18，
解得：x=3，
则21−6×33=1，
故答案为：3；1；0．
（2）解：设C队在已经进行的9局比赛中胜y局、和9−1−y局，根据题意得：
3y+9−1−y=14，
解得：y=3，
9−1−3=5（局），
答：C队在已经进行的9局比赛中胜3局、和5局．
（3）解：设D队最终胜的局数为m局，则负的局数为m2局，根据题意可得：
3m+m2=39，
解得：m=787，
∵m必须取整数，
∴D队的最终得分不可能等于39分．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据表格信息，找出等量关系，列出方程，准确解方程．
【题型6 方案选择问题】
【例6】（2023秋·广东韶关·七年级校考期末）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m3的污水排出，所以为净化环境工厂计划了两种处理污水的方案．
方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1m3污水所用费用为2元，并且每月排污设备损耗为30000元．
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1m3污水需付14元的排污费．
问：
(1)工厂每月生产多少件产品时，依方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所获利润少6000元?
(2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下，会选用哪种处理污水的方案?请通过计算加以说明．
【答案】(1)每月生产4000件产品时，依方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所获利润少6000元
(2)采用第一种方案，理由见解析
【分析】（1）设每月生产x件产品，则方案一的利润为(50−25)x−2×12x−30000=24x−30000，方案二的利润为(50−25)x−14×12x=18x，然后根据方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所获利润少6000元列出一元一次方程，求解即可；
（2）分别求出工厂每月生产量为6000件产品时，方案一和方案二的利润，进行判断即可．
【详解】（1）解：设每月生产x件产品，则方案一的利润为(50−25)x−2×12x−30000=24x−30000，
方案二的利润为(50−25)x−14×12x=18x，
根据题意可得：18x−(24x−30000)=6000，
解得：x=4000，
答：每月生产4000件产品时，依方案1处理污水每月所获利润比方案2处理污水每月所获利润少6000元；
（2）当每月生产量为6000件产品时，
方案一的利润为：24x−30000=24×6000−30000=114000，
方案二的利润为：18x=108000，
∵114000>108000，
∴工厂采用第一种方案时利润更多．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，理清数量关系，列出方程是解本题的关键．
【变式6-1】（2023秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下表中有两种移动电话计费方式：
设一个月内用移动电话主叫为tmin (t为正整数），由上表解决下列问题：
(1)当t=500时，方式一的费用为 元，方式二的费用为 元；
(2)当方式一、方式二计费结果相等时，求t的值；
(3)请直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式： ．
【答案】(1)135，130
(2)360或600
(3)当t<360或t>600时，选择方式一省钱；当t=360或600时，两种方式收费一样多；当360【分析】（1）根据两种方式的收费标准即可求解；
（2）先判断出两种方式相等时t的大致范围，继而建立方程即可得出答案．
（3）由（2）计算过程即可得出答案．
【详解】（1）解：当t=500时，
方式一收费：
60+0.25×(500−200)
=60+0.25×300
=60+75
=135（元)；
方式二收费：
100+0.3×(500−400)
=100+0.3×100
=100+30
=130（元)．
（2）解：当2000.25(t−200)+60=100，
解得t=360；
当t>400时，依题意有
0.25(t−200)+60=0.3(t−400)+100，
解得t=600．
故t的值为360或600；
（3）解：当t<360或t>600时，选择方式一省钱；
当t=360或600时，两种方式收费一样多；
当360故答案为：当t<360或t>600时，选择方式一省钱；
当t=360或600时，两种方式收费一样多；
当360【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．
【变式6-2】（2023秋·河北·七年级校联考阶段练习）新疆棉花品质优、产量大，甲、乙两个新疆棉花供货商提供的棉花品质一样，报价均为2万元/吨，某纺织厂计划购进x吨（x>10）新疆棉花，两个供货商分别给出如下优惠方案．
甲供货商：一次性购进10吨以上时，每吨的售价优惠5%；
乙供货商：一次性购进10吨以上时，10吨及10吨以内的部分按报价付费，超过10吨的部分，每吨的售价优惠10%．
(1)该纺织厂在甲供货商处购买新疆棉花时所花的费用为______万元；该纺织厂在乙供货商处购买新疆棉花时所花的费用为______万元；（用含x的式子表示）
(2)若同样的供货量，在乙供货商处的花费比在甲供货商处的花费多5000元，求x的值；
(3)当x=30时，请直接写出该纺织厂选择在哪个供货商处购买新疆棉花更实惠？
【答案】(1)1.9x，1.8x+2；
(2)15；
(3)乙供货商．
【分析】（1）根据题意分别求出用x表示两家供货商的费用；
（2）根据题意列出方程，解方程求解即可；
（3）代入求值，比较大小即可．
【详解】（1）纺织厂在甲供货商处购买新疆棉花时所花的费用：2×1−5%x=2×95%x=1.9x，
纺织厂在乙供货商处购买新疆棉花时所花的费用：2×10+2x−101−10%=20+1.8x−18=1.8x+2，
故答案为：1.9x，1.8x+2，
（2）根据题意可列方程为：
1.8x+2−0.5=1.9x，
解得：x=15，即x的值为15；
（3）当x=30时，
在甲供货商处购买新疆棉花时所花的费用：1.9×30=57元，
在乙供货商处购买新疆棉花时所花的费用：1.8×30+2=56元，
∵57>56，
∴该纺织厂选择在乙供货商处购买新疆棉花更实惠．
【点睛】此题主要考查了列代数式和一元一次方程的应用，明确题意，准确找到数量关系是解题的关键．
【变式6-3】（2023春·河南·七年级统考阶段练习）《义务教育体育与健康课程标准（2023年版）》发布后引起热议，新课标明确了体育依旧为第三主科．学校可根据实际情况设计课程内容．某中学依据本地特色开设滑冰课程，需要购买12套队服和x套护具x>12，现从甲、乙两商场了解到同一品牌的队服报价每套均为200元，护具报价每套均为50元．甲、乙两商场的优惠方案如下表：
(1)用含x的式子表示分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需要的费用；
(2)当购买多少套护具时，分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同？
(3)如要购买30套护具，请设计出最省钱的购买方案．
【答案】(1)在甲商场购买队服和护具所需要的费用为：50x+1800元．在乙商场购买队服和护具所需要的费用为42.5x+2040元．
(2)当购买32套护具时，分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同
(3)最省钱的购买方案为在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买
【分析】（1）根据优惠方案，即可列式表示甲、乙两商场购买队服和护具所需要的费用；
（2）结合（1）列方程可解得答案；
（3）分三种情况讨论，可得到答案．
【详解】（1）解：在甲商场购买队服和护具所需要的费用为：200×12+(x−12)×50=(50x+1800)元，
在乙商场购买队服和护具所需要的费用为(200×12+50x)×0.85=(42.5x+2040)元；
（2）根据题意得：42.5x+2040=50x+1800，
解得x=32，
答：当购买32套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同；
（3）当12套队服和30套护具都在甲商场购买时，所需费用为50×30+1800=3300（元）；
当12套队服和30套护具都在乙商场购买时，所需费用为42.5×30+2040=3315（元）；
一部分在甲商场购买，一部分在乙商场购买时，若在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买最省钱，所需费用为12×200+18×50×0.85=3165（元），
∵3165<3300<3315，
∴最省钱的购买方案为在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含x的代数式表示出两个商场购买所需费用．
【题型7 数字问题】
【例7】（2023秋·福建漳州·七年级漳州三中校联考期中）【阅读材料】“九宫图”源于《易经》，中国古代称为“河图”、“洛书”，图①记载于《易经》中的《洛书》，用现代数学符号表示如图②，是一个三阶幻方．

(1)观察图②，根据“九宫图”中各数字之间的关系，请总结出“幻方”需要满足的条件是__________；
(2)若图③是一个幻方，求图中a，b，c的值．
【答案】(1)每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同；
(2)a=−4，b=5，c=4．
【分析】（1）计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；
（2）根据题意确定出“幻方”需要的条件，确定出a、b、c的值即可．
【详解】（1）解：通过观察和口算可知，每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同．
故答案为：每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同；
（2）解：由幻方的条件可知12−2+c=6+11−3，
解得：c=4；
12+a+6=6+11−3，
解得a=−4；
−2+b+11=6+11−3，
解得：b=5，
∴a=−4，b=5，c=4．
【点睛】此题考查了有理数的加法，弄清题意是解本题的关键．
【变式7-1】（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，……，排成如下的数表：
……
十字框可框住五个数．
(1)设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和；
(2)将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？如果有，请说出这种规律；
(3)十字框中的五个数的和能等于2023吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．
【答案】(1)5a
(2)有这种规律，5个数的和是中间数的5倍
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：若中间数为a，则其余四个数分别为：a−16、a+16、a−2、a+2，再相加，则可得出结论；
（3）同理第（2）问的解题思路可求得该规律存在；
（4）设中间的数为x，其他4个数分别为x−16、x+16、x−2、x+2，令其相加等于2023，算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论；
【详解】（1）解：根据题意得：若中间数为a，则其余四个数分别为：a−16、a+16、a−2、a+2，则十字框中五个数之和为a−16+a+16+a−2+a+2+a=5a；
（2）解：有这种规律，
若将十字框中上下左右移动，同理第（2）问，仍然可设中间数为a，
则其余四个数分别为：a−16、a+16、a−2、a+2，
则十字框中五个数之和为a−16+a+16+a−2+a+2+a=5a；
∴5个数的和还有这种规律，5个数的和是中间数的5倍；
（3）解：不能，理由如下：
设中间的数为x，其他4个数分别为x−16、x+16、x−2、x+2，
则5个数之和为x−16+x+16+x−2+x+2+x=5x，
令5x=2023，
解得x=404.6，不是整数，
故不存在这样的五个数，其和能等于2023．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键．
【变式7-2】（2023秋·江西抚州·七年级校考期末）若从一个数的末位开始，两位一段，若这些数段的和为88，我们称这个数为“幸运数”．例如432718，因为18+27+43=88，所以432718为“幸运数”；又例如25135，因为35+51+2=88，所以25135也是“幸运数”．
（1）若3a5这个三位数是“幸运数”，求a的值；
（2）在（1）中的三位数的百位前个位与十位之间分别加上一个数字，且这两个数字之和为9，让其成为一个五位数，该五位数仍是“幸运数”，求这个五位数．
【答案】（1）8；（2）53845
【分析】（1）根据“幸运数”的定义可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；
（2）设百位数前加的数字是x，则个位与十位之间加的数字是（9-x），根据“幸运数”的定义可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出．
【详解】解：（1）由题意得，3+(10a+5)=88
去括号得，3+10a+5=88
移项，合并得，10a=80
解得，a=8
所以a的值是8；
（2）设百位数前加的数字是x，则个位与十位之间加的数字是（9-x），
由题意得，x+38+10(9−x)+5=88
去括号得，x+38+90−10x+5=88
移项，合并得，−9x=−45
解得，x=5
∴9−x=4
因此，这个五位数是53845
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据“幸运数”的定义找出相应的一元一次方程．
【变式7-3】（2023秋·江苏扬州·七年级校联考期中）将奇数1至2021按照顺序排成下表：
记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．
（1）P43＝______；
（2）若Pmn＝2021，推理m＝______；n＝______；
（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）41；（2）m=169，n=3；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）观察表格得出第4行第1个数为：37，从而可得答案；
（2）先利用代数式表示数阵中的奇数，这些奇数可表示为：2n−1（n为正整数），再确定2021是第几个奇数，再根据每行6个奇数，从而可得答案；
（3）设阴影中最下面的一个奇数为：2n−1，则上面一个为2n−13, 左上一个为2n−15, 右上一个为：2n−11, 再利用4个数之和为100，列方程解方程，并检验即可得到答案.
【详解】解：（1）由表格信息可得：第4行第1个数为：37，
∴ P43＝41，
故答案为：41
（2）由表格中的数阵为奇数阵，其中的奇数可表示为：2n−1（n为正整数），
当2n−1=2021时，则n=1011,
则2021是第1011个奇数，
而表格中每行6个奇数，1011÷6=168···3,
所以m=169, n=3,
故答案为：169,3
（3）设阴影中最下面的一个奇数为：2n−1，则上面一个为2n−13, 左上一个为2n−15, 右上一个为：2n−11,
则2n−1+2n−13+2n−15+2n−11=100,
所以8n=140,
∴n=17.5,
又因为n位正整数，故不符合题意，
所以将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和不能等于100．
【点睛】本题考查的是数字的规律探究，一元一次方程的应用，掌握“从具体到一般的探究方法，再利用探究的规律解决问题”是解题的关键.
【题型8 几何问题】
【例8】（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，一个长方形ABCD内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片P，Q，M，N铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形ABCD的周长为72，那么正方形纸片M的面积为（ ）

A．16B．36C．64D．121
【答案】C
【分析】设正方形纸片P的边长为a，根据题意可得：正方形纸片Q的边长为3a，正方形的M的边长为4a，正方形的N的边长为7a，则长方形ABCD的长为11a，宽为7a，再根据：长方形ABCD的周长为72，可建立关于a的一元一次方程，求解后再根据正方形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设正方形纸片P的边长为a，
∵一个长方形ABCD内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片P，Q，M，N铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），长方形ABCD的周长为72，
∴正方形纸片Q的边长为3a，正方形的M的边长为：a+3a=4a，
正方形的N的边长为：4a+3a=7a，
∴长方形ABCD的长为：4a+7a=11a，宽为：7a，
∴211a+7a=72，
解得：a=2，
∴正方形的M的面积为：4a2=4×22=64，
即正方形的M的面积为64．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意列出方程是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·吉林长春·七年级统考期中）如图①，将一张长为60cm，宽为40cm的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子．

(1)若x=5cm，则将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为 cm3．
(2)若将剩下部分折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积．
【答案】(1)7500
(2)该无盖盒子的体积为8000cm3
【分析】（1）根据长×宽×高可计算无盖长方体盒子的体积，并将x=5cm代入可解答；
（2）无盖长方体盒子的长为60−2xcm，宽为40−2xcm，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的2倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可．
【详解】（1）解：（1）由题意得：将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为：x60−2x40−2x，
当x=5cm时，无盖长方体盒子的体积=5×60−10×40−10=7500cm3；
故答案为：7500；
（2）（2）由题意知，无盖长方体盒子的长为60-2xcm，宽为40−2xcm，
60−2x=240−2x，
解得x=10，
所以60−2x=40，40−2x=20，
所以该无盖盒子的体积为：40×20×10=8000cm3．
答：该无盖盒子的体积为8000cm3．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，展开图折叠成几何体，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
【变式8-2】（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E是AB上的一点，且AE=2BE，点P从点C出发，以2cm/s的速度沿C−D−A匀速运动，最终到达点A．设点P运动时间为ts，若△PCE的面积为20cm2，则t的值为 ．

【答案】52或5
【分析】分两种情况：当点P在CD上，即0【详解】解：如图1，当点P在CD上，即0
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，
∴S△PCE=12×2t×8=20，
∴t=52．
如图2，当点P在AD上，即3
∵AE=2BE，
∴AE=23AB=4．
∵DP=2t−6，AP=8−2t−6=14−2t，
∴S△PCE=4+6×8×12−122t−6×6−1214−2t×4=20，
解得t=5．
综上所述，当t=52或5时，△PCE的面积为20cm2．
故答案为：52或5．
【点睛】此题考查了动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）综合与实践
问题情境：我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”．图1和图2的大长方形ABCD，A1B1C1D1都是“优美长方形”．

解决问题：
(1)如图1，“优美长方形”ABCD是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”ABCD的周长为104cm，求正方形d的边长．
(2)如图2，“优美长方形”A1B1C1D1是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即AB=A1B1，求图2中每块小长方形的面积．
(3)如图3，“优美长方形”A2B2C2D2是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形EFGH铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形A2PEN和正方形PHMD2的周长相等，正方形的边长为30cm，EF=310EN，求“优美长方形”A2B2C2D2的长A2D2．
【答案】(1)正方形d的边长为20cm
(2)图2中每块小长方形的面积为75cm2
(3)5107cm
【分析】（1）观察图1可知正方形a、b、c、d边长之间的数量关系，根据正方形b的边长最小，可设正方形b的边长为xcm，再分别表示出其他正方形的边长即可求解；
（2）由（1）知AB=A1B1=20，观察图2可知小长方形的长是宽的3倍， 设未知数即可求解；
（3）先求出正方形PHMD2的周长为120cm，则长方形A2PEN的周长为120cm，设PE为mcm，再用m分别表示出EF、EN，根据EF=310EN列方程求解即可．
【详解】（1）解：设正方形b的边长为xcm，则正方形a的边长为2xcm，正方形c的边长为3xcm，正方形d的边长为5xcm．
依题意得2(3x+5x+5x)=104，
解得x=4，
∴5x=5×4=20．
答：正方形d的边长为20cm．
（2）由（1）可知，“优美长方形”ABCD的宽为20cm，
∴图2“优美长方形”A1B1C1D1的宽为20cm，
设每块小长方形的宽为ycm，则长为3ycm．
根据题意得y+3y=20，
解得y=5，∴3y=15，
5×15=75，
∴图2中每块小长方形的面积为75cm2．
（3）设长方形A2PEN的宽PE为mcm，
∵正方形PHMD2的边长为30cm，
∴周长为30×4=120cm，
∵长方形A2PEN和正方形PHMD2的周长相等，
∴长方形A2PEN的周长为120cm，
∴长方形A2PEN的长为(60−m)cm，正方形EFGH的边长为(30−m)cm．
∵EF=310EN，
根据题意得30−m=310(60−m)，
解得m=1207，
∴“优美长方形”A2B2C2D2的长A2D2=60−1207+30=5107(cm)．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键是要观察图形找出等量关系．
【题型9 和差倍分问题】
【例9】（2023春·上海闵行·六年级校联考期末）甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为2:1，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？
【答案】甲队抽调了200人，乙队抽调了100人
【分析】设甲队抽调了2x人，乙队抽调了x人，根据甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍列出方程，解之即可．
【详解】解: 设甲队抽调了2x人，乙队抽调了x人．
由题意得：400−2x=4150−x，
解得：x=100，
所以2x=200，
答：甲队抽调了200人，乙队抽调了100人．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据人数变化得出正确等量关系是解题关键．
【变式9-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）为了更好的落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组．学校用1000元从体育用品商店购入A、B两种款式的跳绳各40条，且购买的B种跳绳的单价比A种跳绳单价的2倍还少5元，求购买A、B两种款式跳绳的单价各是多少元？
【答案】购买A种跳绳的单价为10元，购买B种跳绳的单价15元
【分析】设购买A种跳绳的单价为x元，则购买B种跳绳的单价2x−5元，然后根据一共花费1000元，列出方程求解即可．
【详解】解：设购买A种跳绳的单价为x元，则购买B种跳绳的单价2x−5元，
依题意得：402x−5+40x=1000，
解得：x=10，
∴2x−5=15，
答：购买A种跳绳的单价为10元，购买B种跳绳的单价15元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【变式9-2】（2023秋·湖北咸宁·七年级统考期末）《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”；马主曰：“我马食半牛”．大意是：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗粟米．羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半”，马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半”．按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人几斗粟米？
【答案】57
【分析】设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，根据题意得：
x+2x+4x=5
解得x=57
答：羊的主人应当赔偿给禾苗的主人57斗粟米．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式9-3】（2023秋·广东广州·七年级统考期末）某校组织七年级师生到从化进行秋游活动，学校联系了快乐旅游公司提供车辆．该公司现有50座与35座两种车型．如果用35座的，会有5人没座位；如果全部换成50座，则可少用2辆车，而且多出15个座位．若35座客车日租金为每辆250元，50座客车日租金为每辆300元．
(1)该校七年级师生一共多少人参加了这次秋游活动？
(2)这次秋游活动一共有几种租车方案？哪一种方案最划算？
(3)从学校到目的地的路程为90千米，原计划3小时到达．在开了三分之一路程之后，堵车半小时．为了按时到达，请你帮司机算一下，车速应提高到每小时多少千米？
【答案】(1)该校七年级师生一共285人参加了这次秋游活动
(2)一共有3种租车方案，租35座客车1辆，50座客车5辆，租金为1750元的方案最划算
(3)车速应提高到每小时40千米
【分析】（1）设参加互动师生共x人，那么如果用35座的需x−535辆，全部换乘50座的需x+1550辆，已知：如果全部换乘50座的，则可比35座车少用2辆，以此为等量关系列出方程求解；
（2）按单租一种客车和混租两种客车分类，选取每一类中最划算的方案；
（3）设车速应提高到每小时y千米，根据路程=速度×时间，列方程为3×1−13−12y=90×1−13，求解即可．
【详解】（1）解：设参加互动师生共x人，
由题意得：x−535=x+1550+2，
解得：x=285，
所以，参与本次师生互动的人共有285人．
（2）解：按单租一种客车和混租两种客车分类，一共有3种租车方案，
单租50座客车，28550=5.7≈6(辆)，需要租金：6×300=1800(元)；
单租35座客车， 28535=9.5≈10(辆)，需要租金：10×250=2500(元)；
混租两种客车，租50座客车5辆和35座客车1辆， 需要租金：250×1+300×5=1750(元)．
∴租35座客车1辆，50座客车5辆，租金为1750元的方案最划算．
（3）解：设车速应提高到每小时y千米，依题意得：
3×1−13−12y=90×1−13．
解得： y = 40．
答：车速应提高到每小时40千米．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．
【题型10 比例分配问题】
【例10】（2023秋·江苏·七年级期末）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值．
【答案】72
【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，
根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x），
解得：a=72，
则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为72．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程．
【变式10-1】（2023秋·北京西城·七年级北京市第十三中学校考期末）某公司门口有一个长为900cm的长方形电子显示屏，如图所示，公司的有关活动都会在电子显示屏播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的员工对有关数据作出了如下规定:边空宽:字宽:字距=3:4:1，请用列方程的方法解决下列问题:某次活动的字数为17个，求字距是多少？
【答案】字数为17个，字距是10cm
【分析】根据总长度=16个字距宽+2个边距宽+17个字宽,由边空宽:字宽:字距=3:4:1，列方程求解.
【详解】解:设字距为xcm，则边空宽为3xcm，字宽为4xcm，
根据题意得(17−1)x+2×3x+17×4x=900，
解得x=10.
经检验，x=10符合题意.
答:这次活动的字数为17个，字距是10cm.
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，图形长度问题，找到长度和边空宽、字宽和字距之间的关系，即等量关系是列方程的关键.
【变式10-2】（2023秋·福建福州·七年级校考期中）甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是5:8:9，如果他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士各捐了多少册图书？
【答案】甲、乙、丙三位爱心人士各捐了170册，272册，306册图书
【分析】设甲爱心人士捐了5x册图书，根据题意，列出一元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：设甲爱心人士捐了5x册图书，
∵甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是5:8:9，
∴乙、丙两位爱心人士捐赠图书的册数为：8x,9x，
由题意，得：5x+8x+9x=748，
解得：x=34，
∴5x=170,8x=272,9x=306，
即：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了170册，272册，306册图书；
答：甲、乙、丙三位爱心人士各捐了170册，272册，306册图书．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
【变式10-3】（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路若步数达到10000步及以上，则可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，每步可捐0.0002元；若步数在10000步以下，则不能参与爱心公益捐款.
（1）某天小齐的步数为15000步，求他这天为爱心公益可捐款多少钱？
（2）已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐款8.4元，且甲的步数：乙的步数：丙的步数=1:2:3，求这天甲走了多少步？
【答案】（1）3元；（2）这天甲走了8400步．
【分析】（1）根据步数在10000步及以上，每步可捐0.0002元，可得步数为15000步时，可捐的钱数=0.0002×15000，计算即可；
（2）设这天甲走了x步，则乙的步数为2x步，丙的步数为3x步．分三种情况：①如果x＜5000；②如果5000≤x＜10000；③如果x≥10000．根据三人共捐了8.4元，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得，0.0002×15000=3（元），
答：小齐这天为爱心公益可捐款3元；
（2）设甲走了x步，则乙的步数为2x步，丙的步数为3x步．
分三种情况：①如果x＜5000，则2x＜10000，
根据题意，可得0.0002×3x=8.4，
解得x=14000，不合题意舍去；
②如果5000≤x＜10000，
根据题意，可得0.0002（2x+3x）=8.4，
解得x=8400，符合题意；
③如果x≥10000，
根据题意，可得0.0002（x+2x+3x）=8.4，
解得x=7000，不合题意舍去．
答：这天甲走了8400步．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到等量关系列出方程．
【题型11 古代问题】
【例11】（2023秋·广东深圳·七年级深圳中学校联考期末）列方程应用题.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何?”原文的意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.
(1)绳子、长木各长多少尺?
(2)皓元同学对（1）中所用的长木和绳子进行了一定条件下燃烧速度的实验.他分别截取了等长的木头和绳子各两根.先取出木头和绳子各一根，将其浸没在油中，一段时间后取出.从一端点燃后，他发现燃烧完一根木头需要40分钟，燃烧完一根绳子需要10分钟.随后，他同时点燃了剩下的等长的木头和绳子，一段时间后，同时都被风吹灭，这时他发现木头的长是绳子的长的4倍，问第二次木头燃烧的时间为多少分钟?
【答案】(1)绳子、长木分别是11米和6.5米；
(2)第二次木头燃烧的时间为8分钟．
【分析】（1）设木头长x尺，则绳子长x+4.5尺，根据题意列一元一次方程，求解即可得出答案；
（2）设第二次木头燃烧的时间为x分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”， 根据题意列一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设木头长x尺，则绳子长x+4.5尺，
根据题意得：x−12x+4.5=1，
解得：x=6.5，
∴绳子长为6.5+4.5=11，
答：绳子、长木分别是11米和6.5米；
（2）解：设第二次木头燃烧的时间为x分钟，截取的木头和绳子的长为单位“1”，
根据题意得：1−140x=41−110x，
解得：x=8
答：第二次木头燃烧的时间为8分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程正确求解是解题的关键．
【变式11-1】（2023秋·湖北十堰·七年级统考期中）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之为四两，九两分之为半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有（ ）两银子．
A．45B．46C．64D．26
【答案】B
【分析】根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可．
【详解】解：设总共有x个人，
根据题意得：7x+4=9x−8，
解得：x=6，
7×6+4=46（两），
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程．
【变式11-2】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【答案】39人
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设共有x人，依题意得，
x3+2=x−92
2x+12=3x−9
解得x=39
答：共有39人．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系是解本题的关键．
【变式11-3】（2023秋·湖南湘潭·七年级校联考期中）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”，则客人的个数为 ．
【答案】72
【分析】设有x个客人，根据题意列出方程，解出方程即可得到答案．
【详解】解：设有x个客人，
根据题意，得：x2+x3+x4=78，
解得：x=72，
即客人的个数为72，
故答案为：72．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
【题型12 日历问题】
【例12】（2023秋·湖南衡阳·七年级校考期末）正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（ ）

A．315B．416C．530D．644
【答案】C
【分析】设最左边数为x，则另外两个数分别为x−6、x+2，进而可得出三个数之和为3x−4，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第六列及第七列数，即可得到答案．
【详解】解：设最左边数为x，则另外两个数分别为x−6、x+2，
∴三个数之和为x+x−6+x+2=3x−4．
根据题意得：
A、3x−4=315，解得：x=10613，
B、3x−4=416，解得x=140，
C、3x−4=530，解得x=178，
D、3x−4=644，解得x=216，
∵x是最左边的数，
∴x为整数且不能在第六列，也不能在第七列，
∴x=10613，x=140，x=216，都不可能，
∴3x−4=3×178−4=530，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式12-1】（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）这是2022年某月月历，现用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：

(1)十字框中的五个数的和等于____________．
(2)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，请用代数式求出十字框中的五个数的和；
(3)在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于115，请你求出这五个数分别是多少？
(4)框住的五个数的和能等于118吗？为什么？
【答案】(1)40
(2)5x
(3)16，22，23，24，30
(4)框住的五个数的和不能等于118，理由见解析
【分析】（1）根据图形列式计算即可；
（2）根据日历中数字规律进行解答即可；
（3）根据5x=115，求出x=23，然后再求出另外4个数即可；
（4）令5x=118，求出x=1185，因为不是整数，作出判断即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
1+7+8+9+15=40，
故答案为：40；
（2）解：设中间的数为x，则另四个数分别为x−7，x−1，x+1，x+7，
∴五个数的和为：
x+x−7+x−1+x+1+x+7=5x；
（3）解：设中间的数为x，则另四个数分别为x−7，x−1，x+1，x+7，根据题意得：
x+x−7+x−1+x+1+x+7=115，
解得：x=23，
23−7=16，23−1=22，23+1=24，23+7=30，
这五个数分别是：16，22，23，24，30；
（4）解：框住的五个数的和不能等于118，理由如下：
由题意得：x+x−7+x−1+x+1+x+7=118，
解得：x=1185，
∵1185不是整数，
∴框住的五个数的和不能等于118．
【点睛】本题主要考查了列代数式，日历中的方程，解题的关键是熟练掌握日历中数字规律．
【变式12-2】（2023春·山东泰安·六年级统考期中）下表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A．63B．84C．96D．105
【答案】C
【分析】设“H”型框中的正中间的那个数为x，则其他6个数分别为x−8，x−6，x−1，x+1，x+6，x+8，然后表示出这7个数的和，分别建立方程，解方程逐项分析即可得．
【详解】解：设“H”型框中的正中间的那个数为x，则其他6个数分别为x−8，x−6，x−1，x+1，x+6，x+8，
所以这7个数的和为x+x−8+x−6+x−1+x+1+x+6+x+8=7x．
A、若7x=63，解得x=9，结合月历可知，成立，则此项不符合题意；
B、若7x=84，解得x=12，结合月历可知，成立，则此项不符合题意；
C、若7x=96，解得x=967，不是正整数，不成立，则此项符合题意；
D、若7x=105，解得x=15，结合月历可知，成立，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握“H”型框中的7个数的数字排列规律是解决问题的关键．
【变式12-3】（2023秋·河北廊坊·七年级校联考期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘．
在某月的日历上圈出2×2个数，

(1)用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为___________（用含字母m的式子表示）；
(2)用图2方框圈出四个数的和是32，那么第一个数是___________；
(3)用图3斜框圈出的四个数和是42，最大的数是___________；
(4)若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．
【答案】(1)m+7
(2)4
(3)14
(4)见解析
【分析】（1）根据日历表上下两个数相差7即可得到答案；
（2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32列方程，解方程即可得到答案；
（3）设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42列方程，解方程即可得到答案；
（4）设这四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到n+n+2+n+14+n+16=4n+32，根据n≥2且n为偶数分析即可得到结论．
【详解】（1）解：由日历可知，用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为m+7，
故答案为：m+7
（2）设第一个数是x，
则x+x+1+x+7+x+8=32，
解得x=4，
即第一个数是4，
故答案为：4
（3）解：设最大的数是x，则
x+x−1+x−7+x−6=42，
解得x=14，
即最大的数是14，
故答案为：14
（4）设这四个数中最小的数是n，
则n+n+2+n+14+n+16=4n+32=812n+4，
∵n≥2且n为偶数，
∴12n+4一定是正整数，
∴4n+32是8的整数倍．
即用图3斜框圈出4个数，则这四个数的和是8的整数倍．
【点睛】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键．
【题型13 年龄问题】
【例13】（2023春·上海松江·六年级校考期末）阅读下列材料并回答问题：
墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公慕，里面安葬着丢番图．他生命的16是童年；再活了寿命的112，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的17，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？
【答案】84岁
【分析】设丢番图寿命为x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数列方程为16x+112x+17x+5+12x+4=x，然后解方程即可．
【详解】解：设丢番图寿命为x岁，根据题意列式：
16x+112x+17x+5+12x+4=x
7584x+9=x
984x=9
x=84，
答：丢番图寿命是84岁．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．
【变式13-1】（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）已知小名比小丽大3岁，一天小名对小丽说“再过十五年，咱俩年龄和的2倍就是110岁了”那么现在小名年龄是 岁．
【答案】14
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，求出现在小名的年龄．
【详解】设现在小名年龄是x岁，
[（x+15）+（x-3+15）]×2=110，
解得，
x=14，
故答案是：14．
【点睛】考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
【变式13-2】（2023·天津武清·七年级统考期中）已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的12还多1岁．
（1）请用含m的式子表示这三人的年龄和；
（2）若这三人的年龄和为35岁，请你求出这三人的年龄．
【答案】（1）4m﹣5；（2）小明的年龄是10岁，小红的年龄是16岁，小华的年龄是9岁．
【分析】（1）根据题意分别列出小明、小红和小华的年龄，再相加，去括号，合并同类项，即可求出这三名同学的年龄的和；
（2）根据题意可得关于m的方程，解方程求出m的值，再分别求出各自的年龄即可.
【详解】解：（1）∵小明的年龄是m岁，
∴小红的年龄为（2m﹣4）岁，小华的年龄为[12（2m﹣4）+1]岁，
∴三人的年龄和为：m+（2m﹣4）+12（2m﹣4）+1=m+2m﹣4+m﹣2+1=4m﹣5；
（2）根据题意得：4m﹣5=35，
解得：m=10，
∴2m﹣4=16，12（2m﹣4）+1=9，
答：小明的年龄是10岁，小红的年龄是16岁，小华的年龄是9岁．
【点睛】本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用等，弄清题意是解题的关键.
【变式13-3】（2023秋·山东德州·七年级统考期末）派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，则派派今年的年龄为 岁.
【答案】4
【分析】设派派今年的年龄为x岁，则妈妈的年龄为(36-x)岁，根据再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，可得出关于x一元一次方程，解之即可．
【详解】解：设派派今年的年龄为x岁，则妈妈的年龄为(36-x)岁，根据题意可得出：
36-x+5=4(x+5)+1
解得：x=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，根据题目找出等量关系式是解此题的关键．
【题型14 电费和水费问题】
【例14】（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）按照《关于调整四川电网居民生活用电阶梯电价的通知》（川发改价格〔2012〕560号）文件规定，目前国网泸州供电公司供居民用电阶梯价格执行如下：
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)某户居民在一个月内用电150度、280度，那么他这个月应缴纳电费多少元？
(2)如果该居民在一个月内用电a度，那么这个月他应缴纳电费多少元？
(3)2022年7月，泸州出现了历史罕见的高温热浪天气．李平家7月缴纳电费213元．则他这个月用电多少度？
【答案】(1)68元
(2)当a≤180时，应缴纳电费0.52a元；当180280时，应缴纳电费0.82a−74元
(3)350度
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）分三种情况：当a≤180时，当180280时，列出代数式即可；
（3）设李平家七月用电x度，根据213>155.6，得出李平家七月用电超过了280度．列出方程0.82x−74=213，解方程即可．
【详解】（1）解：若某户用电量为150度，需缴电费为：150×0.52=68（元），
若某户用电量为280度，需缴电费为：
180×0.52+280−180×0.62=93.6+62=155.6（元）．
（2）解：当a≤180时，则需缴电费为0.52a元；
当180当a>280时，则需缴电费为155.6+a−280×0.82，化简得：0.82a−74元．
（3）解：设李平家七月用电x度，
因为213>155.6，所以李平家七月用电超过了280度．
根据题意列方程，得0.82x−74=213，
解方程，得x=350，
答：如果这个月缴纳电费为213元，那么这个月用电350度．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据用电量分类讨论．
【变式14-1】（2023秋·广东茂名·七年级统考期末）某市居民用水收费标准如下，每户每月用水不超过22立方米时，水费按a元/立方米收费，每户每月用水超过22立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按(a+1.1)元/立方米收费．
(1)若某用户4月份用水20立方米，交水费46元，求a的值；
(2)若该用户7月份交水费71元，请问其7月份用水多少立方米？
【答案】(1)2.3
(2)28立方米
【分析】（1）根据题意即可求出a的值；
（2）首先判定用水量的范围，然后根据不超过22立方米的水费+超过22立方米的水费=71列出x的一元一次方程，求出x的值．
【详解】（1）由题意得：20a=46，
解得：a=2.3.
（2）设用户的用水量为x立方米，
因为用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6<71，
所以用水量x>22，
所以22×2.3+x−222.3+1.1=71，
解得：x=28，
答：该用户7月份用水量为28立方米．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所需的等量关系．
【变式14-2】（2023秋·山东威海·六年级统考期末）为鼓励居民节约用电，电业部门决定实行分档收费，执行方案如下：
第一档：每户每月用电数小于或等于200度，执行0.55元/度的电价；
第二档：每户每月用电数大于200且小于400度，执行0.6元/度的电价；
第三档：每户每月用电数大于或等于400度，执行0.85元/度的电价．
例如，一户居民某月份用电300度，则需缴电费300×0.6=180（元）．
某户居民十一、十二月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户十二月份用电量大于十一月份，且两个月份的用电量均小于400度．求该户居民十一、十二月份各用电多少度？
【答案】十一月份用电190度，十二月份用电310度．
【分析】先用过分析，排除两个月份的用电量都在第二档的情况，则十一月份的用电量在第一档，十二月份的用电量在第二档，设十一月份用电x度，则十二月份用电500−x度，根据题意列方程求解即可得到答案．
【详解】解：因为十一、十二月份共用电500度，且两个月份的用电量均小于400度，
若两个月份的用电量都在第二档，则共缴电费0.6×500=300≠290.5，
所以，十一、十二月份的用电量不可能都在第二档，
因为该用户十二月份用电量大于十一月份，
所以十一月份的用电量在第一档，十二月份的用电量在第二档，
设十一月份用电x度，则十二月份用电500−x度，
由题意可知，0.55x+0.6500−x=290.5，
解得；x=190，
则500−x=310，
答：十一月份用电190度，十二月份用电310度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准题目中的数量关系是解题关键．
【变式14-3】（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水6m3，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水xm3x>12，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水26m3，且4月份用水量超过14m3，3月份用水量超过8m3，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
【答案】(1)18
(2)水费为6x−32元
(3)该户居民3月份的用水量为11m3，4月份的用水量为15m3
【分析】（1）利用表格中收费标准求解即可；
（2）分不超过8m3的部分、超过8m3不超过12m3的部分、超过12m3的部分三部分计算求和即可；
（3）设3月份的用水量为am3，则4月份的用水量为26−am3，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：6×3=18（元），
故答案为：18；
（2）解：由题意，当x>12时，水费为3×8+4×12−8+6x−12=6x−32元．
（3）解：设3月份的用水量为am3，则4月份的用水量为26−am3．
根据题意，8则3×8+4a−8+626−a−32=94，
解得a=11，
4月份的用水量为26−11=15m3．
答：该户居民3月份的用水量为11m3，4月份的用水量为15m3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，找到所需的等量关系，并正确列出代数式和方程是解答的关键．
【题型15 其他问题】
【例15】（2023春·上海普陀·七年级校考期中）学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?（列一元一次方程解决）
(2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低15%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有49名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理由．
【答案】(1)平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生
(2)建造的这4道门符合安全规定，理由见详解
【分析】（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，则平均每分钟一道侧门可以通过(8004−x)名学生，根据同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，列一元一次方程，求解即可；
（2）先计算出紧急情况下这4道门5分钟可以通过学生数，再计算出全大楼的学生数，进一步比较即可确定答案．
【详解】（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，则平均每分钟一道侧门可以通过(8004−x)名学生，
根据题意，得2x+2×2⋅(8004−x)=560，
解得x=120，
∴ 8004−x=200−120=80（名），
答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；
（2）建造的这4道门符合安全规定，理由如下：
紧急情况下这4道门5分钟可以通过学生为(2×120+2×80)×5×(1−15%)=1700（名），
49×8×4=1568（名），
∵1700>1568，
∴紧急情况下全大楼的学生在5分钟内通过这4道门可以安全撤离，
∴建造的这4道门符合安全规定．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
【变式15-1】（2023秋·四川成都·七年级统考期末）“绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片国槐树叶与三片银杏树叶一年的滞尘总量为164毫克．
(1)求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的滞尘量分别为多少毫克？
(2)某公园内有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的滞尘总量为多少千克？（注：1克=1000毫克）
【答案】(1)一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg
(2)这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克
【分析】（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则一片银杏树树叶一年的平均滞尘量为(2x−4)mg，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
【详解】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为2x−4mg，
由题意得： 2x+32x−4=164，
解得：x=22，
∴2x−4=2×22−4=40mg
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg；
（2）解：50000×40=2000000mg=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【变式15-2】（2023秋·浙江·七年级期中）某地出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米；3千米到5千米，每千米价1.8元；5千米后，每千米价格2.7元．
(1)若某人乘坐了5千米的路程，请写出他应支付的费用．
(2)若他支付了19元车费，你能算出他乘坐的路程吗？
【答案】(1)13.6元
(2)能，7千米
【分析】（1）他应支付的费用等于起步价+超出的2千米的费用，据此求解；
（2）先计算19>13.6，可判断他乘坐的路程超过了5千米；设他乘坐的路程是x千米，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）当某人乘坐了5千米的路程时，他应支付的费用=10+5−3×1.8=13.6（元）；
（2）因为19>13.6，
所以他乘坐的路程超过了5千米；
设他乘坐的路程是x千米，根据题意可得：10+2×1.8+2.7x−5=19，
解得：x=7；
答：他乘坐的路程是7千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
【变式15-3】（2023秋·吉林·七年级校考期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，求大象的重量．
【答案】5160斤
【分析】设每块条形石的重量是x斤，根据“抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置”列出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每块条形石的重量是x斤，
由题意得：
20x+3×120=20+1x+120．
解得：x=240，
∴20×240+360=5160，
答：大象的体重为5160斤．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的第一次
第二次
第三次
第四次
x
−12x
x−4
26−x
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于或等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按购物总金额打九折
超过600元
其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠
参赛者
答对题数
答错题数
总得分
甲
20
0
100
乙
19
1
94
丙
14
6
64
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0

2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
参赛队
局次
胜
和
负
积分
A
9
6
3
0
21
B
9
5
3
1
18
C
9
1
14
D
9
2
4
3
10
E
9
0
0
9
0
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/元/min
被叫
方式一
60
200
0.25
免费
方式二
100
400
0.3
免费
商场
甲
乙
优惠方案
购买一套队服赠送一套护具
队服和护具均按报价打八五折
阶梯一
阶梯二
阶梯三
月用电量在180度及以下部分，用电价格为0.52元/度；
月用电量在181度至280度部分，在第一档电价的基础上，每度电加价0.1元，用电价格为0.62元/度，其他按阶梯一计算
月用电量高于280度部分，在第一档电价的基础上，每度电加价0.3元，用电价格为0.82元/度，其他按阶梯一、二分别计算
每月用水量
单价
不超过8m3的部分
3元/m3
超过8m3不超过12m3的部分
4元/m3
超过12m3的部分
6元/m3
孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重．
访之群下，咸莫能出其理，
冲曰：“置象大船之上．而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”
——《三国志》