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专题5.8 一元一次方程章末八大题型总结（培优篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）
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这是一份专题5.8 一元一次方程章末八大题型总结（培优篇）-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版），文件包含专题58一元一次方程章末八大题型总结培优篇浙教版原卷版docx、专题58一元一次方程章末八大题型总结培优篇浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32503" 【题型1 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc32503 \h 1
\l "_Tc6042" 【题型2 一元一次方程的错解问题】 PAGEREF _Tc6042 \h 1
\l "_Tc7415" 【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】 PAGEREF _Tc7415 \h 2
\l "_Tc61" 【题型4 判断方程解的情况】 PAGEREF _Tc61 \h 2
\l "_Tc6344" 【题型5 等式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc6344 \h 3
\l "_Tc29381" 【题型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc29381 \h 3
\l "_Tc31201" 【题型7 一元一次方程与图表问题】 PAGEREF _Tc31201 \h 3
\l "_Tc25989" 【题型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc25989 \h 5
【题型1 一元一次方程的遮挡问题】
【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：
2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣12D．12
【变式1-1】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ．
【变式1-2】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：−6×23−●+−23．发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12+−23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【变式1-3】小磊在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
【题型2 一元一次方程的错解问题】
【例2】小乐在解方程5a−x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【变式2-1】马小虎同学在解关于x的方程1−x=−2x−2a时，误将等号右边的“−2a”看作“+2a”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=−5，则原方程正确的解为（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【变式2-2】小明在解方程x−13−x+16=3x−12−1时的步骤如下：
解：2x−1−x+1=33x−1−6……第①步；
2x−2−x+1=9x−3−6……第②步；
2x−x−9x=−3−6+2−1……第③步；
−8x=−8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；
(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；
(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．
【变式2-3】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣2）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．
【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】
【例3】已知关于x的方程3x−1−m=m+32①的解比方程2x−3−1=3−x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【变式3-1】已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【变式3-2】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y−13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值相同”．
(1)求当x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值；
(2)求原方程中■的值．
【变式3-3】已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x−2的解互为倒数，则m的值 ．
【题型4 判断方程解的情况】
【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．−1B．1
C．2D．以上答案都不对
【变式4-1】若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为
【变式4-2】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【变式4-3】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解B．有无限多个解
C．只有一个解D．无解
【题型5 等式的基本性质的运用】
【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= .
【变式5-2】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
【变式5-3】已知实数a、b、c满足a−b=ab=c，下列结论正确的是（ ）
A．a可能为−1B．若a、b、c中有两个数相等，则abc=0
C．若c≠0，则1a−1b=1D．若c=1，则a2+b2=3
【题型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7−0.17−；
【变式6-1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【变式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【变式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【题型7 一元一次方程与图表问题】
【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）
A．1或−1B．−1或−4C．−3或−6D．1或−8
【变式7-1】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）
(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：
(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
【变式7-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．
图（1） 图（2）
【变式7-3】生活与数学
(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是 ；
(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是 ；
(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期 ；
(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．
【题型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10x−x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，将0.36写成分数的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【变式8-1】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ．
【变式8-2】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是 ．
【变式8-3】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6 ， 给这个两位数加上 18 后， 比十位数字大 56 ， 这个两位数是（ ）
A．42B．24C．33D．514
9
2
16
a
3
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\l "_Tc32503" 【题型1 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc32503 \h 1
\l "_Tc6042" 【题型2 一元一次方程的错解问题】 PAGEREF _Tc6042 \h 1
\l "_Tc7415" 【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】 PAGEREF _Tc7415 \h 2
\l "_Tc61" 【题型4 判断方程解的情况】 PAGEREF _Tc61 \h 2
\l "_Tc6344" 【题型5 等式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc6344 \h 3
\l "_Tc29381" 【题型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc29381 \h 3
\l "_Tc31201" 【题型7 一元一次方程与图表问题】 PAGEREF _Tc31201 \h 3
\l "_Tc25989" 【题型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc25989 \h 5
【题型1 一元一次方程的遮挡问题】
【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：
2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣12D．12
【变式1-1】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ．
【变式1-2】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：−6×23−●+−23．发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12+−23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【变式1-3】小磊在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
【题型2 一元一次方程的错解问题】
【例2】小乐在解方程5a−x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【变式2-1】马小虎同学在解关于x的方程1−x=−2x−2a时，误将等号右边的“−2a”看作“+2a”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=−5，则原方程正确的解为（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【变式2-2】小明在解方程x−13−x+16=3x−12−1时的步骤如下：
解：2x−1−x+1=33x−1−6……第①步；
2x−2−x+1=9x−3−6……第②步；
2x−x−9x=−3−6+2−1……第③步；
−8x=−8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；
(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；
(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．
【变式2-3】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣2）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣2）”看作“+3（x﹣2）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．
【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】
【例3】已知关于x的方程3x−1−m=m+32①的解比方程2x−3−1=3−x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【变式3-1】已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【变式3-2】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y−13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值相同”．
(1)求当x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值；
(2)求原方程中■的值．
【变式3-3】已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x−2的解互为倒数，则m的值 ．
【题型4 判断方程解的情况】
【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．−1B．1
C．2D．以上答案都不对
【变式4-1】若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为
【变式4-2】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【变式4-3】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解B．有无限多个解
C．只有一个解D．无解
【题型5 等式的基本性质的运用】
【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= .
【变式5-2】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
【变式5-3】已知实数a、b、c满足a−b=ab=c，下列结论正确的是（ ）
A．a可能为−1B．若a、b、c中有两个数相等，则abc=0
C．若c≠0，则1a−1b=1D．若c=1，则a2+b2=3
【题型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7−0.17−；
【变式6-1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【变式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【变式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【题型7 一元一次方程与图表问题】
【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）
A．1或−1B．−1或−4C．−3或−6D．1或−8
【变式7-1】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）
(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：
(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
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图（1） 图（2）
【变式7-3】生活与数学
(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是 ；
(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是 ；
(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期 ；
(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．
【题型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10x−x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，将0.36写成分数的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【变式8-1】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ．
【变式8-2】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是 ．
【变式8-3】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6 ， 给这个两位数加上 18 后， 比十位数字大 56 ， 这个两位数是（ ）
A．42B．24C．33D．514
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