新高考数学一轮复习导学案第38讲 复数（2份打包，原卷版+解析版）

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1、复数的有关概念
(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系
(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝eq \r(a2＋b2)．
(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2．
(4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z与z－互为共轭复数．
2、 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)
＝eq \f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．
3、复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
4、 复数的几何表示
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
1、【2022年全国甲卷】若．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以．
故选：D.
2、【2022年全国甲卷】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
3、【2022年全国乙卷】设，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
4、【2022年全国乙卷】已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由,得,即
故选:
5、【2022年新高考1卷】若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】由题设有，故，故，
故选：D
6、【2022年新高考2卷】（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
故选：D.
7、（2021·全国高三专题练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，且 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 对应点的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 对应点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内， SKIPIF 1 < 0 对应的点位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则所求复数对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，位于第一象限.
故选：A.
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数 SKIPIF 1 < 0 （其中i为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为复数在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
故选：A
2、（2022·河北张家口·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．ID． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则复数z在复平面内所对应的点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，在第一象限.
故选：A
5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
考向一 复数的有关概念
例1、已知复数z＝eq \f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：
(1) 实数；
(2) 虚数；
(3) 纯虚数．
【解析】：(1) 当z为实数时，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－5m－6＝0，,m2－1≠0.)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1或m＝6，,m≠±1，))
所以m＝6，即m＝6时，z为实数．
(2) 当z为虚数时，则有m2－5m－6≠0且eq \f(m2－7m＋6,m2－1)有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1．
∴ m≠±1且m≠6．所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3) 当z为纯虚数时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－5m－6≠0，,\f(m2－7m＋6,m2－1)＝0，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠－1且m≠6，,m＝6且m≠±1.))故不存在实数m使z为纯虚数．
变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部为（ ）
A．0B．－1C．－iD．1
【答案】B
【解析】
SKIPIF 1 < 0 .则z的虚部为－1.
故选：B.
（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数， SKIPIF 1 < 0 是实数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．－2 SKIPIF 1 < 0 D．2 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由题意设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
（3）（2022·江苏常州·高三期末） SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足等式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的模 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
解：对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故错误.
故选：AC
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.
考向二 复数的运算
例2、（1）已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若复数 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
（2） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
（3）已知i是虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题可知： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：D
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2iB．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．
考向三 复数的几何意义
例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值为____
【答案】eq \r(3)
【解析】∵|z－2|＝
eq \r(（x－2）2＋y2)＝eq \r(3)，
∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\d7(max)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3).
变式1、设复数z＝lg2(m2－3m－3)＋ilg2(m－2)，m∈R对应的向量为 eq \(OZ,\s\up6(→)).
(1) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在虚轴上，求实数m及| eq \(OZ,\s\up6(→))|的值；
(2) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．
【解析】 (1) 由题意，得lg2(m2－3m－3)＝0，
所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.
因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m－3>0，,m－2>0，))
所以m＝4，此时z＝i， eq \(OZ,\s\up6(→))＝(0，1)，| eq \(OZ,\s\up6(→))|＝1.
(2) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2(m2－3m－3)<0，,lg2(m－2)>0，,m2－3m－3>0，,m－2>0，))
解得 eq \f(3＋\r(21),2)所以实数m的取值范围是（ eq \f(3＋\r(21),2)，4）.
变式2、（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】A：因为复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项结论正确；
B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此本选项结论正确；
C，D：设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，因此点 SKIPIF 1 < 0 是在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆， SKIPIF 1 < 0 表示圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到 SKIPIF 1 < 0 点距离，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，
故选：D
方法总结：准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→)).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
1、（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A．－ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 iB． SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 i
C． SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 iD．－ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 i
【答案】A
【解析】∵(1－i)z＝2＋3i,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2、（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则z＝（ ）
A．4＋3iB．4－3iC．3＋4iD．3－4i
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3、（2022·江苏苏州·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若复数 SKIPIF 1 < 0 是纯虚数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选:A．
4、（2022·江苏无锡·高三期末）已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）为纯虚数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
5、（2022·广东东莞·高三期末）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】对于A：
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A正确；
对于B：
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以B正确；
对于C：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以D错误.
故选：ABC
6、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为复数，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 为向量，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为复数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，A对；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定成立，B错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C错．
将 SKIPIF 1 < 0 两边平方并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：AD
7、（2021·福建·莆田二中高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 为不大于 SKIPIF 1 < 0 的最大整数， SKIPIF 1 < 0 为不小于 SKIPIF 1 < 0 的最小整数．设集合 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点的图形面积是______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
解：依题意由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于 SKIPIF 1 < 0 且小于等于 SKIPIF 1 < 0 的圆环部分，
所以圆环的面积 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0