新高考数学一轮复习导学案第55讲 空间角与距离的计算（2）（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习导学案第55讲 空间角与距离的计算（2）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习导学案第55讲空间角与距离的计算2原卷版doc、新高考一轮复习导学案第55讲空间角与距离的计算2解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。

空间角与距离的计算 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(探索性问题\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(探点得位置关系,探点得角)),最值问题))
1、已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点． SKIPIF 1 < 0
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小?
2、如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
1、如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，若二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，试确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置.
2、 如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2 eq \r(2)，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
(1) 设平面POH∩平面PBC＝l，求证：l∥BC；
(2) 设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长．
考向一 利用空间向量解决探索性问题
例1、四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，点P在底面 SKIPIF 1 < 0 的射影为点O，且 SKIPIF 1 < 0 ，点M是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在线段 SKIPIF 1 < 0 上，是否存在点N，使二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由．
变式1、如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，点 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 上的射影为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为1.
（1）若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的位置；若不存在，说明理由.
变式2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AC＝AB＝AA1＝2.
(1) 求证：A1B⊥B1C；
(2) M，N分别为棱CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成角的余弦值为 eq \f(4\r(21),21)，若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
方法总结：用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的方法：
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论．
(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
考向二 运用向量研究空间距离
例2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中， SKIPIF 1 < 0 PAB是边长为2的等边三角形．梯形ABCD满足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．
（1）求证：PD⊥AB；
（2）若PD＝2，求点D到平面PBC的距离．
变式1、如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq \r(3)，求点A到平面MBC的距离．
方法总结：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．
考向三 运用向量研究最值问题
例3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′-BCDE.
(1) 在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；
(2) 当四棱锥A′BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE所成角的余弦值．
变式1、如图，在正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值.
方法总结:建立关于角距离等所求的函数的关系式，然后运用基本不等式或者求导进行研究。
1、如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
2、如图所示，在梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，四边形ACFE为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
3、如图， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的点，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，记平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为直线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 分别与平面 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角互余？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
4、如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积；若不存在，请说明理由．
5、如图，在四棱锥E-ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．