新高考数学一轮复习导学案第67讲直线与圆锥曲线的位置关系（2份打包，原卷版+解析版）

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1、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2、弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|
＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
3、中点弦所在直线的斜率
圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
1、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2、设 SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
3、已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为．
4、记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，写出满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 无公共点”的 SKIPIF 1 < 0 的一个值．
5、（多选题）设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，且与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的准线，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 相切D． SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
6、（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7、（多选题）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8、已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与过 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交于点 SKIPIF 1 < 0 ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
9、（2023•甲卷（文））已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
1、直线y＝kx－k＋1与椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
2、过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
3、已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F( eq \r(2)，0)是椭圆C的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________________．
4、经过椭圆 eq \f(x2,2)＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))的值为________．
考向一直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个不重合的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
变式1、若直线l：y＝kx＋2与曲线C：y2＝x恰好有一个公共点，求实数k的取值集合．
变式2、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是__________．
方法总结：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
考向二圆锥曲线的弦长问题
例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为 eq \f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，AB＝4.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若AB＋CD＝ eq \f(48,7)，求直线AB的方程．
变式1、已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 eq \f(3,2)的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1) 若AF＋BF＝4，求直线l的方程；
(2) 若 eq \(AP,\s\up6(→))＝3 eq \(PB,\s\up6(→))，求AB的长．
方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．
(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算．
(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
考向三求圆锥曲线的中点弦
例3、(1) 已知P(1，1)为椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平分，则此弦所在直线的方程为________；
(2) 已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为________．
变式1、以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为________.
方法总结：(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数
考向四圆锥曲线中的综合性问题
例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在 x轴上的椭圆C： eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,b2)＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(2，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在 x轴的下方).
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.
变式1、如图，已知椭圆C： eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1.过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x轴的下方).若 eq \(AT,\s\up6(→))＝2 eq \(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.
1、已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行，则C的离心率为（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2、（多选题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，下列说法正确的是（）
A. SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0
B. 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长的最小值为11
3、（多选题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（）
A. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
B. 以F为焦点的抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
C. 满足 SKIPIF 1 < 0 的直线有3条
D. 若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率 SKIPIF 1 < 0
4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ \\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ \\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
圆锥曲线方程
直线斜率
椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
k＝－eq \f(b2x0,a2y0)
双曲线：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
k＝eq \f(b2x0,a2y0)
抛物线：y2＝2px(p＞0)
k＝eq \f(p,y0)