人教版八年级数学上册同步讲义专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法（学生版）

这是一份人教版八年级数学上册同步讲义专题14.1 幂运算与整式的乘（除）法（学生版），共13页。试卷主要包含了掌握正整数幂的乘法运算性质；，掌握整式的加等内容，欢迎下载使用。

1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方）；
2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；
3、.会进行单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算；
4、掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算。
5、会进行单项式除以单项式的计算，会进行多项式除以单项式的计算。
知识精讲
知识点01 幂运算
知识点
1）同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）
拓展： = 1 \* GB3 ① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数； = 2 \* GB3 ②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
= 1 \* GB3 ①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
= 2 \* GB3 ②逆用法则： am+n =am×an
2）幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
3）积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
【知识拓展1】同底数幂的乘法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【即学即练】
1．（2022·浙江·宁波市七年级期中）已知，，则的值为 ___．
2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
【知识拓展2】幂的乘方及其逆运算
例2．（2022·湖南·七年级期中）下列选项中正确的有（ ）个．
①；②；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【即学即练】
3．（2022·湖南·株洲七年级期中）已知，，则等于（ ）
A．1B．72C．D．
4．（2022·山东·聊城市七年级阶段练习）计算
(1)已知：＝5，＝3，计算的值．(2)已知：3x+5y＝8，求的值．
【知识拓展3】积的乘方及其逆运算
例3．（2022·四川·眉山八年级阶段练习）
【即学即练】
5.（2022·山东淄博·期末）的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
6.（2022·山西临汾·八年级阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．C．1D．
知识点02 整式乘法
知识点
1）单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单项式乘单项式，结果仍为单项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2）单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3）多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
【知识拓展1】整式乘法基本运算
例1．（2022·安徽·八年级阶段练习）先化简，再求值；其中．
【即学即练1】
1．（2022·福建八年级阶段练习）计算：
(1)； (2)
2．（2022·广东·八年级专题练习）计算
(1) (2)
【知识拓展2】不含某项问题
例2．（2022·福建·晋江八年级阶段练习）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1B．0C．-1D．
【即学即练2】
3．（2022·福建八年级期中）如果的展开式中不含项，则a的值是（ ）
A．5B．C．0D．
4．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）若展开后不含 x 的一次项，则m的值是（ ）
A．B．1C．3D．0
【知识拓展3】整式乘法的运用
例3．（2022·上海·七年级专题练习）一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【即学即练3】
5．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）长为a，宽为的长方形，它的面积为____．（结果为最简）
知识点03 整式除法
知识点
1）同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
2）与的应用
零指数幂：=1()； 负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意： eq \\ac(○,1)； eq \\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==； eq \\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3）单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
4）多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
【知识拓展1】同底数幂的除法及其逆运算
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列4个算式中，计算错误的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【即学即练1】
1．（2022·四川·渠县七年级阶段练习）已知： ，，求的值．
2．（2022·江苏·七年级期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．
【知识拓展2】整式的除法
例2．（2022·陕西·七年级期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____．
【即学即练2】
3．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东淄博·期末）若a＝2，则______．
能力拓展
考法01 （）的应用
注：，可能有三种情况： eq \\ac(○,1)=1()； eq \\ac(○,2)=1； eq \\ac(○,3)=1（n为偶数）
【典例1】（2022·绵阳市·八年级期中）当x=____________时，代数式的值为1.
变式1.（2022.成都市锦江区初一期中）已知,则x=
变式2．（2022·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
考法02 运用幂运算比较大小
【典例2】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较与的大小；(3)比较与的大小．
变式1．（2021·浙江·嵊州市七年级期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·湖南·郴州七年级阶段练习）在比较和的大小时，我们可以这样来处理：
∵==，==，16＜27，
∴＜，即＜．
请比较以下两组数的大小：
(1)与； (2)与．
分层提分
题组A 基础过关练
1.（2022·江苏·苏州七年级期末）的结果是（ ）
A．aB．a5C．a6D．a9
2．（2021·甘肃·兰州七年级阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
3．（2022·辽宁·朝阳七年级期中）光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球上大约需要．地球距离太阳大约有多远？（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江苏·七年级期中）要使成立，则，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2022·陕西·西安交大附中浐灞右岸学校七年级阶段练习）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·浙江绍兴·一模）计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·广东惠州·八年级期末）计算：______．
8．（2022·福建·福州市双安中学八年级阶段练习）若，求_____．
9．（2022·内蒙古七年级阶段练习）若 的展开式中不含和项，则的值为______．
10．（2022·四川·仁寿县书院初级中学校八年级阶段练习）若，则________．
11．（2022·吉林·测试·编辑教研五八年级阶段练习）已知，那么的值是_______．
12．（2022·江苏·开明中学七年级期中）计算：＝________．
13．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中．
14．（2022·江苏·南通市海门区实验初级中学八年级阶段练习）（1）已知，求x的值.
（2）已知 ＝2， ＝3求 的值.
题组B 能力提升练
1．（2021·山东淄博·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·河南·八年级阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏相城区）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（ ）个B．
A．B．C．D．
5．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）在等式中，括号内的代数式应是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·浙江杭州·七年级期中）若，则的值是（ ）
A．B．16C．20D．24
7．（2022·安徽·定远七年级阶段练习）已知，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8.（2022.成外初一月考）若，则x的值为
9．（2022·湖南邵阳·七年级期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 _____．
10．（2022·浙江七年级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），请根据这种新运算填空：
（1）若f（1）＝，则f（2）＝_____；
（2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）•f（2022）＝_____（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）
11．（2022·河南金水·）如果那么我们规定．例如；因为所以．
（1）根据上述规定填空：__ ，__ ，__ ；
（2）若．判断之间的数量关系，并说明理由．
12．（2022·广东·七年级期中）已知，则m=________．
13．（2022·天津市八年级阶段练习）已知，，则的值等于______.
14．（2022·江西·永丰县恩江中学七年级期中）欢欢与乐乐两人共同计算（2x＋a）（3x＋b），欢欢抄成2x（3x＋b），得到的结果为6x2＋4x；乐乐抄成（2x－a）（3x＋b），得到的结果为6x2－5x－6．
(1)求出式子中的a、b的值？(2)请计算出原题的正确答案．
15．（2022·重庆）求下列各式中x的值．
（1）；（2）．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·浙江·温州七年级阶段练习）从前，一位地主把一块长为a米，宽为b米(a＞b＞100) 的长方形土地租给租户张老汉， 第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 10 米，宽减少 10 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积将 （ ）
A．变小了B．变大了C．没有变化D．可能变大也可能变小
2．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为( )
A．B．C．D．
3．（2022·浙江八年级期末）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论
解决下列问题：设．现给出三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①
4．（2022·浙江嘉兴·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是_____．
6．（2022·浙江湖州·七年级期末）小王和小明分别计算同一道整式乘法题：，小王由于抄错了一个多项式中的符号，得到的结果为，小红由于抄错了第二个多项式中的的系数，得到的结果为，则这道题的正确结果是_________．
7．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）若x，y均为实数，，则：（1）＝______x+y；（2）_______．
8．（2022·南靖县城关中学）已知，则m的值是_________________．
9．（2022·湖北·九年级阶段练习）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数i，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数n，我们可以得到，同理可得，，，那么的值为______．
10．（2022·湖南·长沙市华益中学八年级阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．(1)________；若，则________；
(2)已知，，，若，求y的值；
(3)若，，令． ①求的值； ②求t的值．
11．（2022·河南·商水八年级阶段练习）阅读下列材料：若，，且，比较m，n的大小．
解：因为，，27>16，所以，所以．
依照上述方法解答下列问题：
(1)若，，则x______y（填写“>”，“<”或“=”）
(2)若，，且满足，，试比较a与b的大小．
12．（2022·河南南阳·八年级期末）我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是：
（1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（2）用竖式进行运算．
（3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求的商式和余式．
解：
答：商式是，余式是（ ）
我挑战：已知能被整除，请直接写出a、b的值．