人教版八年级数学上册同步讲义专题14.2 乘法公式（教师版）

这是一份人教版八年级数学上册同步讲义专题14.2 乘法公式（教师版），共46页。试卷主要包含了掌握平方差公式，学会运用平方差公式等内容，欢迎下载使用。
1、掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2、学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3、能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
知识精讲
知识点01 平方差公式
知识点
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式：两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
【知识拓展1】平方差公式的几何背景
例1．（2022·山东·昌乐七年级期末）下列选项中，能利用图形的面积关系不能解释平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据两个图象中的阴影部分的面积相等进行验证．
【详解】解：A、阴影部分的面积 =（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的面积2a•2b=4ab=，不是平方差公式，故本选项符合题意；
C、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；
D、阴影部分的面积=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法公式，用整式表示图形的面积是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形（如图所示），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】B
【分析】根据两种方式求得阴影部分面积即可求解．
【详解】解：阴影部分面积面积可以表示大正方形的面积减去小正方形的面积即：，
也可以表示为边长为与的长方形的面积，即,
∴，故选B．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，数形结合是解题的关键．
2．（2022·安徽宣城·七年级期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 ， ；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：
(3)试利用这个公式计算：
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
（1）
解：s1= ，
s2=，
故答案为：，；
（2）
解：由题意，得，
故答案为：；
（3）
解：原式=
=
=
=
=
=
=264-1+1
=264．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
【知识拓展2】平方差公式的基本运用
例2．（2022·安徽·合肥七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
【即学即练】
3．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）利用乘法公式计算：____________．
【答案】1
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=1
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）的结果是______．
【答案】
【分析】将原式变形为，再利用平方差公式逐步计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是发现算式的规律，灵活构造平方差公式的形式．
知识点02 完全平方公式
知识点
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
【知识拓展1】完全平方公式的几何背景
例1．（2022·福建·三明一中七年级阶段练习）如图所示，请完成下列问题：
(1)填空：最大正方形的面积可用两种形式分别表示为______或______．
(2)通过观察，可以发现一个重要的整式乘法公式，你能写出吗？若可以，请写出来．
【答案】(1)（a+b）2、a2+2ab+b2 (2)（a+b）2=a2+2ab+b2
【分析】（1）分别用大正方形的面积公式和四部分求可确定正方形的面积即可；
（2）根据（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等解答即可．
(1)解：由正方形的面积公式可得：大正方形的面积为：（a+b）2；
由大正方形的面积由四部分组成，则大正方形的面积为：a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2、a2+2ab+b2．
(2)解：由（1）的两个代数式表示同一块正方形的面积相等可得：（a+b）2=a2+2ab+b2
则这个重要的整式乘法公式为（a+b）2=a2+2ab+b2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的推导，用两种方法表示出大正方形的两个面积表达式成为解答本题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·苏州市平江中学校七年级期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论．
【详解】解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
所以，故选：C．
【点睛】此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键．
2．（2022·吉林市第五中学八年级期末）如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．
(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式 ；
(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．
【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2
(2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
【分析】（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）由计算（2a+b）2的结果可得此题结果．
（1）
解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a+b）2和a2+2ab+b2，
∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）
解：由计算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得，
需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形．
【知识拓展2】完全平方公式的基本运用
例2．（2022·陕西八年级开学考试）若，则的值为（ ）
A．2B．5C．8D．10
【答案】C
【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【详解】解：（x-y）2+4xy-1=x2-2xy+y2+4xy-1=x2+2xy+y2-1=（x+y）2-1，
当x+y=3时，原式=32-1=8．故选：C．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
【即学即练2】
3．（2022·福建月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式即可计算判断.
【解析】A. ，故错误； B. ，故错误；
C. 故错误； D. ，正确，故选D.
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用.
4．（2022·沭阳县修远中学）先化简，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1
【答案】，
【分析】根据完全平方和平方差公式进行计算，再进行整式的加减运算，最后将字母的值代入求解即可
【详解】（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y）
当x＝2，y＝1时原式
【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的运算是解题的关键．
【知识拓展3】完全平方公式的含参问题
例3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A．8B．C．24D．
【答案】D
【分析】根据完全平方式得出mx＝±2•2x•6，再求出m即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴mx＝±2•2x•6，解得：m＝±24，故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．
【即学即练3】
3．（2022·山东·宁阳八年级阶段练习）当__________时，是完全平方公式．
【答案】4
【分析】根据乘积二倍项确定这两个数，再根据完全平方公式的特征即可求解．
【详解】解：∵是完全平方公式，
∴，
∴，
解得
故答案为：4
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
【知识拓展4】完全平方公式的知二求二
例4．（2022·湖南双峰·七年级期中）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求和的值．
【答案】（1）45；（2）47
【分析】（1）利用完全平方公式的变形，即可求解；
（2）由得，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：（1）因为，所以
又因为，，
（2）由得，即，所以，
由得，即，所以．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握，及其变形是解题的关键．
【即学即练4】
4．（2022·重庆七年级期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，则xy＝________．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入，即可求出xy的值．
【详解】解：∵（x+y）2=5，（x-y）2=1，∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即5-1=4xy，则xy=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．（2022·辽宁·丹东七年级期末）若，则的值为 _______．
【答案】11040
【分析】利用完全平方公式列出关系式，把各自的值代入计算即可求出所求．
【详解】解：∵，，
∴
，
知识点03 乘法公式拓展
知识点
==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc
同样，a、b、c可以通过换元。如令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc
立方和与立方差公式：；
完全立方和与完全立方差：=
【知识拓展1】三个数的完全平方公式
例1．（2022·山东威海·八年级期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个正方形的面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______（只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足，，求的值；
②若三个实数x，y，z满足，，求的值．
【答案】（1）；（2）①45；②-12
【分析】（1）根据大正方形的面积等于所有小正方形与矩形的面积和即可得解；
（2）①利用（1）中等式可将直接平方然后变形，代入已知式子的值求解即可；
②利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到，然后将平方，由（1）公式整理即可得解．
【详解】解（1），
故答案为：；
（2）①，
且，
；
②，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查整式混合运算，幂的混合运算，根据题意得到新等式，再利用新等式进行整理计算是解题的关键．
【即学即练1】
1．（2022·福建）我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：
就可以用如图所示的面积关系来说明．
(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：
(2)若求的值；
(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?
【答案】（1）； （2） （3）1260元
【分析】(1)根据正方形的面积等于正方形里各个图形的面积之和即可解答；找到与求出的代数恒等式的对应字母：a=2x ，b= -y，c= -3，代入求出的代数恒等式即可.(2)根据（1）中求出的代数恒等式，先求出，再把整体代入即可求值.(3)先确定立方体的一个面需要A型、B型、C型卡片各几张，需多少费用，再求1个，100个的费用.
【解析】 (1)

(2)
∵∴
(3)故立方体一面需A型卡片1张、B型卡片2张、C型卡片1张，需：
0.7+0.5×2+0.4=2.1元 100个小立方体需：2.1×6×100=1260元.
【点睛】本题考查的是多项式乘法的几何意义，将多项式的乘法用几何图形的面积进行说明，能用不同方法表示图形的面积是关键.
【知识拓展2】立方公式
例2．（2022·广东·佛山市七年级阶段练习）（1）用两种不同方法计算同图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式 ．
（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ．
（3）利用上面所得的结论解答：①已知x+y＝6，xy＝5，求﹣y的值．
②已知|a+b﹣5|+（ab﹣6）2＝0，求a3+b3的值．
【答案】；=；或；
【分析】（1）利用面积相等推导公式；；
（2）利用体积相等推导；
（3）①应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；②先计算出，，再由知识迁移的等式可得结果．
【详解】（1）∵大正方形的边长为
∴大正方形的面积为，
∵小正方形的边长为
∴小正方形的面积为，
∵四个长方形的面积为：，且小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，
∴；
（2）∵大正方体的棱长为 ，
∴大正方体的体积为 ，
∵大正方体的体积可以看成长方体和小正方体的体积和，
∴大正方体的体积为 ，
∴=，
故答案为：=；
（3）①∵，，，
∴，
∴或，
当，得，
∴，
当，得
∴，
∴或；
②∵，
∴，，
∴，，
∵=，
∴=
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义，能够由面积相等过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·四川·金堂七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到、、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．
利用上面所得的结论解答：
（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；
（2）已知，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．
【答案】（1）2；（2）40
【分析】根据正方形的面积两种计算方法，一种是边长的平方，一种是大正方形减去四个长方形的面积，即可得到等式；
根据正方体的体积的两种算法得到等式，一种是棱长的立方，一种是小正方体和长方体的和计算；
（1）将条件代入等式计算即可；
（2）中先从条件中得到a+b＝4，ab＝2，然后将其代入等式计算即可．
【详解】解：如图1，方法一：已知边长直接求面积为，
方法二：阴影部分面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积，
所以面积为，
∴等量关系式为：；
故答案为：．
如图2，方法一：已知棱长直接求体积为，
方法二：正方体的体积是长方体和小正方体的体积和，即，
∴等量关系式为：．
故答案为：．
（1）将x+y＝3，xy代入，
得，
∵x＞y，
∴x﹣y＝2．
（2）∵，
∴a+b＝4，ab＝2，
将其代入 ，
即 ，
∴64﹣6（a+b）＝64﹣24＝40．
【点睛】本题主要利用图象探究式的等量关系，要结合图象分析，后面是等量关系的应用，先分析适用于等量关系的条件然后代入计算即可．
3．（2022·无锡市天一实验学校七年级期中）（知识生成）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．
（1）如图1，根据图中阴影部分（4个完全相同的小长方形）的面积可以得到的等式是： ．
（知识迁移）类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为： ．
（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）18
【分析】（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积 即：（a+b）2-（a-b）2，又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab即可求得；（2）大正方体被切割成了8个小正方体或长方体故而求它们的体积和，再直接求大正方体的体积可解的恒等式；（3）由（2）的结论将已知代入即可求得值．
【详解】解：（1）∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积 即：（a+b）2-（a-b）2
又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab ∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（2）∵八个小正方体或长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3
∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3-3a2b-3ab2=（a+b）3-3ab（a+b）
将a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33-3×1×3=18故a3+b3的值为：18．
【点睛】本题主要考查了平方差，立方和公式的几何背景，用分割求解和整体计算可解得．
能力拓展
考法01 整式乘法的归纳猜想问题
【典例1】（2022·河南南阳·八年级阶段练习）我国宋朝数学家杨辉年的著作《详解九章算法》给出了在（为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“杨辉三角”找规律，可知展开后的系数为n，据此即可作答．
【详解】，项的系数为2；
，项的系数为3；
，项的系数为4；
以此类推，（其中）展开后的系数为n，
即展开后，的系数为2019，故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，运用“杨辉三角”得到（其中）展开后的系数为n，是解答本题的关键．
变式1．（2022·四川·宣汉县峰城中学七年级期中）探究应用：
(1)计算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式： ；（请用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式计算：＝ ；＝ ．
【答案】(1)，(2)(3)，
【分析】（1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的公式计算即可．
（1）解：==；
==
故答案为：，．
（2）由（1）得
故答案为：．
（3）==；
==．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式及探索规律题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
变式2．（2022·福建宁德·七年级期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：
①；
②；
③；…
你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
①；
②；
③；…
(1)由此我们可以得到：
①_______；
②_______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算：
．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】（1）①根据题干中发现规律可直接得出结果；②应用①中的结论求解即可；
（2）将原式变形，然后利用（1）中规律求解即可．
（1）
解：①由规律可得：
；
②
；
故答案为：①；②；
（2）
=（x+1）2011-1．
【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及规律问题，理解题意，找出相应的规律是解题关键．
考法02 配方的运用
【典例2】（2022·河南·镇平九年级阶段练习）阅读材料
例：求代数式的最小值．
解：，可知x=-1时，有最小值，最小值是-8，
根据上面的方法解决下列问题：
(1)当x为何值时，取得最大值？最大值是多少？
(2)直接写出多项式最小值是 ．
【答案】(1)当x＝1时，﹣3x2+6x﹣2有最大值，最大值是1 (2)5
【分析】（1）将多项式化成，利用配方法后可得结论；
（2）将多项式重新分组，改写成，配方后可得结论；
（1）解：
∴当x=1时，有最大值，最大值是1；
（2），
当a=2,b=-3时，多项式有最小值，最小值是5，
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键．
变式1．（2022·贵州遵义八年级阶段练习）阅读材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值；
(3)已知，，则 ．
【答案】(1)(2)的最大边的值为4或5或6(3)3
【分析】（1）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出x、y的值，进而得到2x+y的值；（2）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系，即可求出△ABC的最大边c的值；
（3）先将已知条件变形得到a=b+4，将其代入，再类比材料中的解法，结合完全平方公式整理得到；接下来利用非负数的性质，即可求出b和c的值，将b的值代入a=b+4，即可求出a的值，最后将a、b、c的值代入a+b+c中，计算可得答案．
（1），
，且，解得：，，则；
（2），
且，解得：，，
的三边长、、都是正整数，
，的最大边的值为4或5或6；
（3），即，代入得：，
整理得：，
，且，即，，，
则．故答案为：3
【点睛】本题考查了知识拓展类题目，用到了完全平方公式的变形求值，及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）由得，；如果两个正数a，b，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子x + 的最小值为 ；(2)当，代数式最大值为多少？并求出此时x的值；
(3)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
【答案】(1)4
(2)当x＜0时，代数式最大值为-24，此时x的值为-3；
(3)长为8米，宽为4米时，所用篱笆最短，最短篱笆为16米．
【分析】（1）根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2，当且仅当a＝b时取到等号，即可得出答案；
（2）根据题意a＞0，b＞0，则有不等式a＋b≥2，当且仅当a＝b时取到等号，即可得出答案；
（3）若x＋2y最小，则x＋2y≥＝16，当且仅当x＝2y时取得等号，再根据xy＝32，分别解得x和y的值，即可得出结论．
（1）解：当x＞0时，x＋≥2＝4，x＋的最小值为4；（当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab,当且仅当a＝b时取到等号）故答案为：4
（2）解：当x＜0时，＝−[（−4x）＋（−）]≤−2＝−2×12＝−24，
当且仅当−4x＝−，即x＝−3时取到等号，
∴当x＜0时，代数式最大值为-24，此时x的值为-3；
（3）解：设长为x，宽为y.则xy＝32，欲使x＋2y最小，
∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2＝2＝2＝2×8＝16，
当且仅当x＝2y时取得等号，
由，解得，x＝8，y＝4，
即长为8，宽为4时，所用篱笆最短，最短篱琶为16米．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是运用题中a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a＋b≥2，当且仅当a＝b时取到等号．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·汕头市八年级期末）若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据平方差公式计算即可得到答案
【详解】解：∵，∴，∴．故选B．
【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
2．（2022·隆昌市知行中学月考）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（ ）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．
【解析】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的结构，解题的关键是注意两个二项式中两项完全相．
3．（2022·绵阳市初二课时练习）如果，那么a、b的值分别为（ ）
A．2；4B．5；-25C．-2；25D．-5；25
【答案】D
【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故选D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2022·杭州市七年级期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．则a2﹣4b2＝_____．
【答案】10
【分析】从结论入手，用平方差公式进行因式分解，再对第一个条件进行变形即可求出答案．
【详解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案为：10．
【点睛】此题考查了平法差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
5．（2022·四川甘孜·初二期末）已知，则__________．
【答案】2
【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。
【解析】解：
当时，原式．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键．
6．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）计算：_______________________
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．（2022·山东·滨州市八年级期末）若代数式是一个完全平方式，则__．
【答案】±10
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴k=±10．
故答案为：±10．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
8．（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）如图，有两个边长分别为a，b的正方形A，B（a＞b＞0），现将B放在A内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）若a＝5，b＝3则图甲阴影部分面积为______；
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为m和n，则正方形A，B的面积之和为______（用含m，n的代数式表示）．
【答案】 4 m＋n##n+m
【分析】（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，根据面积公式可得答案；
（2）先求出图乙中阴影部分的面积，可得，2ab=n，利用=求解即可．
【详解】解：（1）图甲中阴影部分是边长为a-b的正方形，因此面积为，
当a＝5，b＝3时，=．
故答案为：4；
（2）∵图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为（a+b）的正方形面积中减去两个边长分别为a、b的正方形面积，即，
∴2ab=n，
由（1）知，=m，
∴=
= m＋n，
即正方形A，B的面积之和为m＋n，
故答案为：m＋n．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，由面积之间的关系得出关系式是正确解答的关键．
9．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知，．求：
(1)的值； (2)的值．
【答案】(1)14
(2)12
【分析】（1）根据求解即可；
（2）根据求解即可
（1）
解：∵，
∴
=．
（2）
解：∵，
∴
=．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
10．（2022·杭州市七年级期中）先化简，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）
（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
【答案】﹣26m2+16n2，－12
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
【详解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）
＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，
∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
11．（2022·福建·漳州市七年级阶段练习）运用整式乘法公式简便计算：．
【答案】1
【分析】把原式第二部分变形为平方差公式计算即可得到解答．
【详解】原式=


．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的各种变式是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】图甲中根据阴影部分面积等于大正方形减去小正方的面积，图乙中直接求长方形的面积即可，根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解．
【详解】解：图甲阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积等于
两个图形中阴影部分的面积相等，
故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，正确的求出阴影部分面积是解题的关键．
2．（2022·山东菏泽·七年级期末）如图所示，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【详解】解：左边图形的阴影部分的面积=a2-b2
右边的图形的面积 =（a+b）（a-b）．
∴， 故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．掌握利用图形面积证明代数恒等式是解本题的关键．
3．（2022·湖南岳阳·初一期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用如图1可以得到，那么利用如图2所得到的数学等式是（ ）.
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图2可知，正方形的面积有两种求法,分别求解，即可得到等式.
【解析】图2的正方形面积第一种求法为；第二种求法是把它分割成9个图形的面积之和，为 故选B.
【点睛】此题主要考查乘法公式的几何验证，解题的关键是根据图形的面积求解.
4．（2022·湖南双峰·七年级期中）无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数B．C．正数D．负数
【答案】C
【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
5．（2022·广西兴业·月考）代数式的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【解析】代数式
∵∴即代数式故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．
6．（2022·山东威海·七年级期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解．
【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，∴x为4，故选C
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
7．（2022·内蒙古七年级阶段练习）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案．
【详解】解：，
．故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．
8．（2021·江门市第二中学初二月考）若，则 ________________.
【答案】8
【分析】先把可化为 ，再将化为，然后代入即可解答。
【解析】解：∵可化为，化为
∴原式==32-1=8
【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。
9．（2022·湖南永州·七年级期末）根据，，，…的规律，则可以得出的末位数字是______．
【答案】7
【分析】先根据规律可得，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律即可得．
【详解】解：由题中的规律可知，，
将代入得：，
则，
因为，，，，，，
所以的末位数字是按为一个循环的，
因为，
所以的末位数字与的末位数字相同，即为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了与多项式乘法相关的规律、数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）探究应用：
(1)计算：
①；
②；
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：______（请用含a，b的式子表示）
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
(4)直接用公式写出计算结果：______．
【答案】(1)；
(2)
(3)C
(4)
【分析】（1）按多项式的乘法法则进行展开后，合并同类项即可得；
（2）根据（1）中的计算进行总结即可；
（3）根据（2）中总结的公式特点进行判断即可；
（4）利用（2）中的公式进行计算即可．
（1）
解：
；
．
（2）
解：如中，，，，
∴发现的公式为：．
故答案为：
（3）
解：A、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
B、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意；
C、，符合（2）中公式规律，故符合题意；
D、，不符合（2）中公式规律，故不符合题意．
故选：C
（4）
解：根据公式，原式．
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式乘多项式及探索规律题，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
11．（2022·四川射洪中学月考）已知，求代数式的值．
【答案】12
【分析】将原式乘2，即可分成3个完全平方式，代入已知数据可求解．
【解析】原式==
=
原式
【点睛】本题考查求代数式的值，利用整体代入思想，把某代数式看作一个“整体”，即当成一个新的字母，再求关于这个新字母的代数式的值，运用整体思想的关键是找准被看作整体的代数式．
12．（2022·扬州七年级期中）阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2）
【分析】（1）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解；
（2）先变形出完全平方公式，利用完全平方数的非负性即可得出解.
【详解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，
∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，
解得，x＝﹣4，y＝6，故答案为：x＝﹣4，y＝6；
（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，
则 ，解得x+y＝1﹣＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形以及完全平方数的非负性的应用，掌握完全平方数的非负性是解题的关键.
13.（2022·陕西咸阳·七年级期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积；
方法1：______； 方法2：______；
(2)由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示之．
（2）(m+n)2，(m−n)2，mn分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系．
（3）由（2）得出的关系式变形即可得结果．
（1）
解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长方形面积来表示即为阴影部分面积，大正方形边长为，则大正方形面积为，所以阴影部分面积为；
方法2：阴影部分为正方形，边长为，故面积可表示为；
故答案为：；．
（2）
∵与都表示同一个图形面积，
∴－4．
故答案为：－4．
（3）
∵2a+b=6，ab=4，
∴
【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
14．（2022·江苏·七年级期中）【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_________．
(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)13
【分析】（1）根据大正方形面积=两个边长分别为a、b的小正方形面积+2个长方形面积进行求解即可；
（2）根据空白部分的面积=大正方形面积-4个长方形面积进行求解即可；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙的阴影部分面积求出，，据此求解即可．
（1）
解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）
解：∵，，
故答案为：；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
∴；
（4）
解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得：，，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·江苏·扬州市七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．2022B．C．D．4042
【答案】B
【分析】首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【详解】解：由题意：，…，
…，
可知，展开式中第二项为含项，
∴展开式中含项的系数是﹣4044．
故选B．
【点睛】本题考查杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．
2．（2022·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
3．（2022·郑州七年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（ ）
A．136B．86C．36D．50
【答案】B
【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案．
【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
4．（2022·湖南·岳阳八年级阶段练习）已知，则的值是___________．
【答案】62
【分析】将已知等式两边平方，化简可得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：62．
【点睛】本题考查了分式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
5．（2022·四川师范大学附属实验学校八年级期中）当k＝_____时，100－kxy+49是一个完全平方式．
【答案】±140
【分析】利用完全平方公式的结构特征求解即可．
【详解】解：∵100－kxy+49＝是一个完全平方式，
∴k＝±140，
故答案为：±140．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式中和的平方等于平方和加乘积的二倍，差的平方等于平方和减乘积的二倍．
6．（2022·湖北·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．
【答案】2 大 4
【分析】先把配成完全平方式与一个常数和的形式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解．
【详解】解：，
∵，∴，∴
∴当时，式子有最大值，这个值为4；故答案为2，大，4；
【点睛】本题考查了利用完全平方公式求代数式的最值，解题的关键是掌握利用平方法对代数式进行变形，
并掌握的性质求最值，
7．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
【答案】(1)B
(2)①7 ；②
【分析】(1)分别表示两个图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
(2)①利用平方差公式，整体代入即可得出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，再根据规律可得出答案．
（1）
解：图中两个阴影部分的面积分别为：a2−b2和(a+b)(a−b)，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：B；
（2）
解：①∵，，，
∴，
∴；
②
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变形，从而达到简便运算的目的是解决本题的关键．
8．（2022·广东汕头·八年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1：_________________；方法2：_________________.
(2)观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系_________;
(3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则________；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
【答案】(1)或
(2)=
(3)①±1；②3
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；
（2）利用（1）中图b中的阴影部分的正方形面积，得到=；
（3）①根据（2）的结论得到，然后把，，代入计算即可．②根据（2）的结论得到，代入即可求解．
（1）
解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个长为，宽为的面积，
即图b中阴影部分的面积为，
故答案为：或
（2）
解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得
=．
故答案为：=．
（3）
解：①由（2）得，
∵，，
∴，
∴，解得；
故答案为：
②∵，，
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值．
9．（2022·河南·南阳市实验学校八年级阶段练习）若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值为______；
(2)若满足，则______；
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)12
(2)1
(3)24
【分析】（1）根据题目提供的方法进行计算即可；
（2）设m=7-x，n=x-4，可得m+n=（7-x）+（x-4）=3，，由=mn=-代入计算即可；
（3）由题意得正方形GFDH的边长为x-3，正方形MFRN的边长为x-1，（x-3）（x-1）=35，设p=x-1，q=x-3，则p-q=x-1-x+3=2，pq=（x-1）（x-3）=35，根据求出p+q，再利用平方差公式求出的值即可．
（1）
解：设a=5-x，b=x-1，a+b=（5-x）+（x-1）=4，ab=，
所以．
故答案为12．
（2）
解：设m=7-x，n=x-4，则m+n=（7-x）+（x-4）=3，，
所以=mn
=-
=-（7-9）
=1．
故答案为1．
（3）
解：由题意得，正方形GFDH的边长为x-3，正方形MFRN的边长为x-1，由于长方形EMFD的面积是35，即（x-3）（x-1）=35，
设p=x-1，q=x-3，则p-q=x-1-x+3=2，pq=（x-1）（x-3）=35，
所以
=4+4×35
=144，
即p+q=12（负值舍去），
所以阴影部分的面积为
=（p+q）（p-q）
=12×2
=24，
即阴影部分的面积为24．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
10．（2022·重庆初一课时练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题：
（1）写出图中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；（3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？
【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可.
（2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可；
（3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根据题意得，
所以，，所以答：小明总共需要张纸。
【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键.
11．（2022·河南·郑州市七年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]（1）25；（2）90
【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]利用体积相等推导；
（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】[知识生成]
方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=，
∴（x-y）2=62-4×，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题关键．