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人教版八年级数学上册同步讲义专题14.3 因式分解（教师版）
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这是一份人教版八年级数学上册同步讲义专题14.3 因式分解（教师版），共42页。试卷主要包含了能运用平方差公式，熟练掌握好简单的分组分解法等内容，欢迎下载使用。
1、了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系；
2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；
3、能运用平方差公式、完全平方公式把简单的多项式进行因式分解；
4、会综合运用提公因式法和公式法（平方差、完全平方）把多项式分解因式；
5、熟练掌握首项系数为1的形如x2 + (p+ q)x + pq型的二次三项式的因式分解；
6、熟练掌握好简单的分组分解法。
知识精讲
知识点01 因式分解
知识点
1. 因式分解的概念
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）；3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
3. 因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式
③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【知识拓展1】因式分解的概念及意义
例1．（2022·深圳市龙岗区八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可．
【解析】解：A. ,是乘法运算，不是因式分解，不合题意；
B. ，变形错误，不是因式分解，不合题意；
C. ，是因式分解符合题意；
D. ，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．
【即学即练】
1．（2022·山东·初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【答案】A
【分析】根据题意列出等式，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，然后代入求值即可．
【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故选：A．
【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，掌握因式分解与整式乘法是互逆的变形过程是解题的关键．
2．（2022·沙坪坝·重庆南开中学）在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，， ，解得，，．故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
【知识拓展2】提公因式法
例2．（2022·陕西榆林·八年级期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，这个因式就叫做这个多项式的公因式，进行求解即可．
【详解】观察可知，这个多项式的每一项都含有，∴提取的公因式为，故选D．
【点睛】本题主要考查了公因式，解题 的关键在于能够熟记公因式的定义．
【即学即练】
3．（2022·江苏常州·期中）把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是______ ．
【答案】2x-5y ；
【解析】解：﹣16x3+40x2y=﹣8x2•2x+（﹣8x2）•（﹣5y）=﹣8x2（2x﹣5y），
所以另一个因式为2x﹣5y．故答案为2x﹣5y
点睛：本题考查提公因式法分解因式，把多项式的各项写成公因式与另一个因式相乘的形式是解题的关键．
4.（2022·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
【答案】（x+2）（x﹣1）
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．
【解析】（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案为（x+2）（x﹣1）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
【知识拓展3】公式法
例3．（2022·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式直接分解即可；（2）先提公因式ab，再利用完全平方公式分解．
【解析】解：（1）=；
（2）==
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法，属于基础知识．
【即学即练3】
5．（2022·浙江上虞·）下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤B．②③④C．②④⑤D．②③④⑤
【答案】C
【分析】根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
6．（2022·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解析】A. 只有两项，不符合完全平方公式；
B. 其中 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. ，其中与 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D. 符合完全平方公式定义，故选：D.
【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.
【知识拓展4】十字相乘法
例4．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)结合本题知识，因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：
．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
【即学即练4】
7．（2022·江西抚州·八年级期中）分解因式：___________．
【答案】##2x（x+1）（2x-1）
【分析】先提公因式法再用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：；
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
8．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【答案】(1)
(2)±2，±7
(3)
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项−18＝−9×2，一次项系数7＝−2＋9，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项，一次项系数，然后进行分解计算即可．
（1）
解：＋7x−18
＝＋（−2＋9）x＋（−2）×9
＝（x−2）（x＋9）
故答案为：（x−2）（x＋9）．
（2）
解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）
解：−6x+8＝0，
（x−2）（x-4）＝0，
（x−2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【点睛】本题考查因式分解−十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
【知识拓展5】分组分解法
例5．（2022·绵阳市八年级课时练习）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；
（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；
（3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．
【答案】 3 ②，③，④
【分析】（1）先将式子中的项进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可；
（2）先将式子中的项进行分组，再提取公因式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）对每个式子进行因式分解，判定即可．
【详解】解：（1）
故答案为：、3、、、
（2）
故答案为：、、、、、、
（3）①，不能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，不符合题意；
②，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
③，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
④，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
故答案为：②，③，④
【点睛】此题考查了因式分解的方法，涉及了分组分解法、公式法、提取公因式法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
【即学即练5】
9．（2022·湖南岳阳·七年级期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；
(3)若三边、、满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；
（2）把-6x拆成-7x+x，再用分组分解法进行解答；
（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a、b、c之间的关系便可．
（1）
=a2-4a+4-b2
=（a-2）2-b2
=（a+b-2）（a-b-2）；
（2）
=x2-7x+x-7
=x（x-7）+（x-7）
=（x-7）（x+1）
（3）
∵a2-ab-ac+bc=0，
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a-b=0或a-c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．
10．（2022·广东揭阳·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：①；②；
(2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】(1)①；②
(2)等腰三角形
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
(1)
（1）①x2-xy+5x-5y
=（x2-xy）+（5x-5y）
=x（x-y）+5（x-y）
=（x-y）（x+5）；
②m2-n2-6m+9
=（m2-6m+9）-n2
=（m-3）2-n2
=（m-3+n）（m-3-n）；
(2)
∵a2-b2-ac+bc=0，
∴（a2-b2）-（ac-bc）=0，
∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b-c＞0，
∴a-b=0，
∴a=b，
即△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题关键．
【知识拓展6】因式分解的应用
例6.（2022·沙坪坝·课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
【答案】（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），根据P是任意两个连续偶数的平方差得出p的值，利用因式分解变形即可得出答案；（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n为整数），用含n的式子表示出y-x，再根据x，y的范围及“四季数”的定义可得答案．
【解析】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，∴2n+1必为正整数，∴4(2n+1)一定是4的倍数，∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，∴9(y-x)=4n，y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，∴，，，，；
当n=18时，y-x=8，∴．∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
【点睛】本题考查了因式分解在新定义习题中的证明及其计算，读懂定义，是解题的关键．
【即学即练5】
11．（2022·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
【答案】3
【分析】根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题．
【解析】解：如图所示：
共有3种不同的正方形．故答案为3．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
12.（2022•乳山市期中）【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【分析】（1）将x﹣y看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得；
（2）将a+b看做整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看做整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数．
∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力．
能力拓展
考法01 利用因式分解求值
【典例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A．2020B．2024C．2021D．2034
【答案】D
【分析】先根据题意可得，再由可得，把代入即可求得其值．
【详解】解：，，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握和运用代数式求值问题的方法是解决本题的关键．
变式1．（2022·甘肃·临泽二中八年级期末）已知a−b=3，ab=2，则的值为____________．
【答案】6
【分析】将提取公因式ab，再将，代入进行计算求解．
【详解】解：∵，，
∴ ．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，理解提取公因式法是解答关键．
变式2．（2022•淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由题意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz变形为（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入计算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的运用；熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
考法02 利用因式分解判断三角形的形状
【典例2】（2022·湖南天元·初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
变式1．（2022·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
【答案】（1）；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【分析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；
（2）先从中提取公因式，从中提取公因式，再提取它们的公因式，最后根据，判断出△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）；
（2）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴的形状是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.
变式2．（2022·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·隆昌市知行中学月考）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的意义和多项式的乘法法则可以求解 ．
【解析】解：由因式分解的意义可以判断A、B都是错误的；∵,所以C选项错误；
∵，∴D正确故选D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的意义和多项式的乘法法则是解题关键．
2．（2022·四川武侯·）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】因公因式为多项式中各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，得n≥4，故A正确．
【详解】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，∴n≥4．
又∵5＞4，∴A符合题意，B、C、D不合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查提公因式法中公因式的找法，熟练掌握多项式公因式的找法是解题关键．
3．（2022·浙江杭州·七年级期中）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解；
B、-1+y2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、2x2+2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、x3-y3是两个立方项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
4.（2022·全国七年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公式法因式分解，逐项分析即可．
【详解】A. ，能因式分解，不符合题意；
B. ，能因式分解，不符合题意；
C. 不能因式分解，符题意；
D. ，能因式分解，不符合题意．故选C
【点睛】本题考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．
5．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级期末）若，，则___．
【答案】6
【分析】利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平方差公式在因式分解里的运用，熟练运用平方差公式是解题关键．
6．（2022·贵阳初二期末）已知，，则代数式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【解析】∵，，∴a-c=-1，
∴=== =-3，故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
8．（2021·常德市淮阳中学初一期中）若多项式可以因式分解成，那么a=_____．
【答案】1
【分析】把展开后合并，根据对应系数相等即可得出关于的方程，求出即可．
【解析】解：，
即，，解得：．故答案为：1．
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．
6．（2021·湖南荷塘·七年级期末）分解因式：_________．
【答案】
【分析】根据提公因式因式分解求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解本题的关键．
7．（2022·重庆北碚·八年级开学考试）因式分解：
（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．
【答案】（1）（x-1）（x+6）；（2）x（x-2y）（x+2y）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；（2）先提公因式x，再利用平方差公式即可分解；
【详解】解：（1）原式=（x-1）（x+6）；
（2）原式=x（x2-4y2）=x（x-2y）（x+2y）．
【点睛】此题考查了十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解时要分解到每一个因式再也不能分解为止．
8．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2)、
(3)
【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；
（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；
（3）根据分组分解法因式分解即可求解．
（1）
分组后能出现公因式，分组后能应用公式
（2）
，
，
故答案为：，．
（3）
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
9．（2022·重庆·八年级阶段练习）因式分解：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．
（2）运用公式法进行因式分解．
（3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解．
（4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解．
（5）先分组，再提公因式进行因式分解．
（1）
解：（1）
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝
＝
＝
（4）
＝
＝
＝
＝
＝．
（5）
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法是解决本题的关键．
10．（2022·江西抚州·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三边满足，试判断的形状．
【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①；
②；
（2），，
，，
，，是的三边，，，
，，即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】
把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值．
【详解】又
，，均为整数故选C．
【点睛】本题考查多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出的值是解题的关键．
1．（2022·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D.
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.
2．（2022·树德中学期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【分析】先对原式运用平方差公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可.
【解析】原式=
∵，∴原式=
【点睛】本题主要考查了应用平方差公式进行因式分解和整体代入法，能够正确的进行因式分解是解题的关键.
3．（2022·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a-b的值是__________．
【答案】-3
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a,b的值．
【解析】分解因式x²＋ax＋b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为(x＋2)(x＋4)＝x²＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看错了a， 分解结果为
(x＋1)(x＋9)＝x ² ＋10x＋9，∴b＝9，故答案为：－3.
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
4．（2022·江苏金坛·七年级期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．（2022·绵阳市·八年级专题练习）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）仿照题意进行分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
6．（2022·湖南岳阳·七年级期末）阅读理解题
由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
分解因式：．
多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
（1）尝试：分解因式：（______）（______）；
（2）应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．
【答案】（1）2，4；（2）（x-2）（x-3），（x+1）（x-6）
【分析】（1）根据“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”可得；
（2）利用“x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”进行因式分解即可．
【详解】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4；
（2）x2-5x+6=x2+[（-2）+（-3）]x+[（-2）×（-3）]=（x-2）（x-3），
x2-5x-6=x2+[1+（-6）]x+[1×（-6）]=（x+1）（x-6）．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是理解“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”．
7．（2022·重庆·八年级专题练习）观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题把分解因式．
解：．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】x+p；x+q；x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；（1）（x-3）（x-4）；（2）（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
【分析】由矩形的面积公式可以求得x2+px+qx+pq=（x+p）（x+q）；
利用分组的方法可以先分组然后提公因式法可以分解因式为：x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）；
（1）根据x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）的形式的分解即可；
（1）把y2+y看作一个整体，同理分解即可．
【详解】解：由矩形的面积公式得：（x+p）（x+q）；
故答案为：x+p；x+q；
根据分组分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
故答案为：x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；
（1）
=（x-3）（x-4）；
（2）
=（y2+y+9）（y2+y-2）
=（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
故答案为：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
【点睛】本题是一道因式分解的试题，考查了十字相乘法在实际问题中的运用，分组分解法的运用．在分解因式时，要分解到不能再分解为止．
8．（2022·广东河源·八年级期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)已知：，．求：的值．
(3)三边a，b，c满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)45
(3)的形状是等腰三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）将整理成即可求解；
（3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
∵，，
代入得：原式
．
(3)
解：
，
，
或，
的形状是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握分组分解法．
9．（2022·河北沧州·七年级期末）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)△ABC是等边三角形，理由见解析
【分析】(1)前三项符号符合完全平方式，再和最后一项应用平方差公式；
(2)前两项、后两项分别因式分解；
(3)将2b2分成两个b2，再进行分组分解，确定a，b，c的关系，即可得△ABC的形状．
(1)
解：
；
(2)
解：
；
(3)
解：△ABC是等边三角形，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴a－b＝0，且b－c＝0，
∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用及等边三角形的判定，利用分组分解法时，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
10．（2022·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形，理由见解析．
【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．
(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．
【解析】解：(1)原式，故答案为．
(2)∵∴，∴，
∴或，∴或，∴△ABC为等腰三角形．故答案为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
11．（2022·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【分析】（1）先利用分组法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分组法分解因式，求得ab的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可．
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2 ＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，故△ABC的周长为16或17．
【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键．
12．（2022·河南郑州初二期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可．（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【解析】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C
（2）原式==故答案为：
（3）设．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东东平县月考）对于任何整数m，多项式都能被（ ）整除．
A．8B．mC．D．
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【解析】因为=(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)
所以原式能被8整除．
【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键
2．（2022·沭阳县修远中学初一期末）已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A．B．或C．1D．1或11
【答案】D
【分析】此题先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．
【解析】解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a－c＝1或a－c＝11，故选D．
【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．
3．（2022·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，设．
比较系数得，．解得．所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】解：
设
比较系数得，，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2022·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
5．（2022·山东薛城·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）；
（2）．
问题二：探究
对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究，的数量关系．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可；（2）按完全平方公式分组然然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究:先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数、都成立，可得即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
问题二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，对任意有理数、都成立，∴，∴，的数量关系．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分
组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
6．（2022·贵州铜仁·七年级期中）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
②43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
（1）
首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）
①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）
①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
7．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
8．（2022·湖南雨花外国语学校）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键．
9．（2022·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（3）先把代入，得到关于和 的式子，再仿照（1）（2）题．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.
10．（2022·南阳月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出，进行判断即可.（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．
【解析】 (1)已知等式整理得： 解得：a=2，b=0；故答案为2；0；
(2)∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．都正确.
故答案为①②③④
(3)∵ ∴ ∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．
【点睛】考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
1、了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系；
2、能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；
3、能运用平方差公式、完全平方公式把简单的多项式进行因式分解；
4、会综合运用提公因式法和公式法（平方差、完全平方）把多项式分解因式；
5、熟练掌握首项系数为1的形如x2 + (p+ q)x + pq型的二次三项式的因式分解；
6、熟练掌握好简单的分组分解法。
知识精讲
知识点01 因式分解
知识点
1. 因式分解的概念
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解的方法
1）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。
②运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）；3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
注：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。
3. 因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式
③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【知识拓展1】因式分解的概念及意义
例1．（2022·深圳市龙岗区八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可．
【解析】解：A. ,是乘法运算，不是因式分解，不合题意；
B. ，变形错误，不是因式分解，不合题意；
C. ，是因式分解符合题意；
D. ，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．
【即学即练】
1．（2022·山东·初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【答案】A
【分析】根据题意列出等式，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，然后代入求值即可．
【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，故选：A．
【点睛】本题考查因式分解与整式乘法的关系，掌握因式分解与整式乘法是互逆的变形过程是解题的关键．
2．（2022·沙坪坝·重庆南开中学）在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，， ，解得，，．故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
【知识拓展2】提公因式法
例2．（2022·陕西榆林·八年级期末）用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，这个因式就叫做这个多项式的公因式，进行求解即可．
【详解】观察可知，这个多项式的每一项都含有，∴提取的公因式为，故选D．
【点睛】本题主要考查了公因式，解题 的关键在于能够熟记公因式的定义．
【即学即练】
3．（2022·江苏常州·期中）把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是______ ．
【答案】2x-5y ；
【解析】解：﹣16x3+40x2y=﹣8x2•2x+（﹣8x2）•（﹣5y）=﹣8x2（2x﹣5y），
所以另一个因式为2x﹣5y．故答案为2x﹣5y
点睛：本题考查提公因式法分解因式，把多项式的各项写成公因式与另一个因式相乘的形式是解题的关键．
4.（2022·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
【答案】（x+2）（x﹣1）
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．
【解析】（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案为（x+2）（x﹣1）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
【知识拓展3】公式法
例3．（2022·江苏沭阳·期中）把下列各式因式分解：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式直接分解即可；（2）先提公因式ab，再利用完全平方公式分解．
【解析】解：（1）=；
（2）==
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法，属于基础知识．
【即学即练3】
5．（2022·浙江上虞·）下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤B．②③④C．②④⑤D．②③④⑤
【答案】C
【分析】根据公式法的特点即可分别求解．
【详解】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
6．（2022·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解析】A. 只有两项，不符合完全平方公式；
B. 其中 、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. ，其中与 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D. 符合完全平方公式定义，故选：D.
【点睛】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.
【知识拓展4】十字相乘法
例4．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)结合本题知识，因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：
．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
【即学即练4】
7．（2022·江西抚州·八年级期中）分解因式：___________．
【答案】##2x（x+1）（2x-1）
【分析】先提公因式法再用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：；
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
8．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【答案】(1)
(2)±2，±7
(3)
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项−18＝−9×2，一次项系数7＝−2＋9，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项，一次项系数，然后进行分解计算即可．
（1）
解：＋7x−18
＝＋（−2＋9）x＋（−2）×9
＝（x−2）（x＋9）
故答案为：（x−2）（x＋9）．
（2）
解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）
解：−6x+8＝0，
（x−2）（x-4）＝0，
（x−2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【点睛】本题考查因式分解−十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
【知识拓展5】分组分解法
例5．（2022·绵阳市八年级课时练习）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；
（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；
（3）在多项式①；②；③；④中，能用分成三项一组和一项一组的方法分解因式的是（只写式子序号）________．
【答案】 3 ②，③，④
【分析】（1）先将式子中的项进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可；
（2）先将式子中的项进行分组，再提取公因式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）对每个式子进行因式分解，判定即可．
【详解】解：（1）
故答案为：、3、、、
（2）
故答案为：、、、、、、
（3）①，不能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，不符合题意；
②，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
③，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
④，能用分成三项一组和一项一组的方法进行分解因式，符合题意；
故答案为：②，③，④
【点睛】此题考查了因式分解的方法，涉及了分组分解法、公式法、提取公因式法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
【即学即练5】
9．（2022·湖南岳阳·七年级期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；
(3)若三边、、满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；
（2）把-6x拆成-7x+x，再用分组分解法进行解答；
（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a、b、c之间的关系便可．
（1）
=a2-4a+4-b2
=（a-2）2-b2
=（a+b-2）（a-b-2）；
（2）
=x2-7x+x-7
=x（x-7）+（x-7）
=（x-7）（x+1）
（3）
∵a2-ab-ac+bc=0，
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a-b=0或a-c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．
10．（2022·广东揭阳·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：①；②；
(2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】(1)①；②
(2)等腰三角形
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；
②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
(1)
（1）①x2-xy+5x-5y
=（x2-xy）+（5x-5y）
=x（x-y）+5（x-y）
=（x-y）（x+5）；
②m2-n2-6m+9
=（m2-6m+9）-n2
=（m-3）2-n2
=（m-3+n）（m-3-n）；
(2)
∵a2-b2-ac+bc=0，
∴（a2-b2）-（ac-bc）=0，
∴（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b-c）=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b-c＞0，
∴a-b=0，
∴a=b，
即△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题关键．
【知识拓展6】因式分解的应用
例6.（2022·沙坪坝·课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
【答案】（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【分析】（1）设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数），根据P是任意两个连续偶数的平方差得出p的值，利用因式分解变形即可得出答案；（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n（n≥0，且n为整数），用含n的式子表示出y-x，再根据x，y的范围及“四季数”的定义可得答案．
【解析】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=(4n+2)×2=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，∴2n+1必为正整数，∴4(2n+1)一定是4的倍数，∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，∴9(y-x)=4n，y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，∴，，，，；
当n=18时，y-x=8，∴．∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
【点睛】本题考查了因式分解在新定义习题中的证明及其计算，读懂定义，是解题的关键．
【即学即练5】
11．（2022·江苏南京·初一期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
【答案】3
【分析】根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题．
【解析】解：如图所示：
共有3种不同的正方形．故答案为3．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
12.（2022•乳山市期中）【阅读材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【分析】（1）将x﹣y看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得；
（2）将a+b看做整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得；
（3）先计算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再将n2+3n看做整体因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，继而由n2+3n+1为正整数可得答案．
【答案】解：（1）原式＝（x﹣y+1）[4（x﹣y）+1]＝（1+x﹣y）（1+4x﹣4y）．
（2）原式＝（a+b）2﹣4（a+b）+4＝[（a+b）﹣2]2＝（a+b﹣2）2．
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2．
∵n为正整数，∴n2+3n+1为正整数．
∴代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力．
能力拓展
考法01 利用因式分解求值
【典例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A．2020B．2024C．2021D．2034
【答案】D
【分析】先根据题意可得，再由可得，把代入即可求得其值．
【详解】解：，，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，利用完全平方公式因式分解，熟练掌握和运用代数式求值问题的方法是解决本题的关键．
变式1．（2022·甘肃·临泽二中八年级期末）已知a−b=3，ab=2，则的值为____________．
【答案】6
【分析】将提取公因式ab，再将，代入进行计算求解．
【详解】解：∵，，
∴ ．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，理解提取公因式法是解答关键．
变式2．（2022•淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．
【分析】由题意得出x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，把2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz变形为（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2，再代入计算即可．
【答案】解：∵x＝2018，y＝2019，z＝2020，∴x﹣y＝﹣1，x﹣z＝﹣2，y﹣z＝﹣1，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝（x2﹣2xy+y2）+（x2﹣2xz+z2）+（y2﹣2yz+z2）
＝（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的运用；熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
考法02 利用因式分解判断三角形的形状
【典例2】（2022·湖南天元·初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：；（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16=（3x-y）2-42=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0∴a（a-b）-c（a-b）=0，∴（a-b）（a-c）=0，∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
变式1．（2022·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：；(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
【答案】（1）；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【分析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；
（2）先从中提取公因式，从中提取公因式，再提取它们的公因式，最后根据，判断出△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）；
（2）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴的形状是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.
变式2．（2022·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．
【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．
【解析】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）
（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以可以得到a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2022·隆昌市知行中学月考）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的意义和多项式的乘法法则可以求解 ．
【解析】解：由因式分解的意义可以判断A、B都是错误的；∵,所以C选项错误；
∵，∴D正确故选D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的意义和多项式的乘法法则是解题关键．
2．（2022·四川武侯·）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】因公因式为多项式中各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，得n≥4，故A正确．
【详解】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，∴n≥4．
又∵5＞4，∴A符合题意，B、C、D不合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查提公因式法中公因式的找法，熟练掌握多项式公因式的找法是解题关键．
3．（2022·浙江杭州·七年级期中）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、x2-xy2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解；
B、-1+y2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、2x2+2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、x3-y3是两个立方项，不能用平方差公式进行因式分解．故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
4.（2022·全国七年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公式法因式分解，逐项分析即可．
【详解】A. ，能因式分解，不符合题意；
B. ，能因式分解，不符合题意；
C. 不能因式分解，符题意；
D. ，能因式分解，不符合题意．故选C
【点睛】本题考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．
5．（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级期末）若，，则___．
【答案】6
【分析】利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平方差公式在因式分解里的运用，熟练运用平方差公式是解题关键．
6．（2022·贵阳初二期末）已知，，则代数式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【解析】∵，，∴a-c=-1，
∴=== =-3，故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
8．（2021·常德市淮阳中学初一期中）若多项式可以因式分解成，那么a=_____．
【答案】1
【分析】把展开后合并，根据对应系数相等即可得出关于的方程，求出即可．
【解析】解：，
即，，解得：．故答案为：1．
【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．
6．（2021·湖南荷塘·七年级期末）分解因式：_________．
【答案】
【分析】根据提公因式因式分解求解即可．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解本题的关键．
7．（2022·重庆北碚·八年级开学考试）因式分解：
（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．
【答案】（1）（x-1）（x+6）；（2）x（x-2y）（x+2y）
【分析】（1）利用十字相乘法分解即可；（2）先提公因式x，再利用平方差公式即可分解；
【详解】解：（1）原式=（x-1）（x+6）；
（2）原式=x（x2-4y2）=x（x-2y）（x+2y）．
【点睛】此题考查了十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解时要分解到每一个因式再也不能分解为止．
8．（2022·山西吕梁·八年级期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
……………………分成两组
………………分别分解
………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)材料例1中，分组的目的是_________________．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
__________________；
__________________．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式
(2)、
(3)
【分析】（1）阅读材料可知分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，即可求解；
（2）根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；
（3）根据分组分解法因式分解即可求解．
（1）
分组后能出现公因式，分组后能应用公式
（2）
，
，
故答案为：，．
（3）
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
9．（2022·重庆·八年级阶段练习）因式分解：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．
（2）运用公式法进行因式分解．
（3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解．
（4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解．
（5）先分组，再提公因式进行因式分解．
（1）
解：（1）
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝
＝
＝
（4）
＝
＝
＝
＝
＝．
（5）
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法是解决本题的关键．
10．（2022·江西抚州·八年级期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①；②；
（2）已知的三边满足，试判断的形状．
【答案】（1）①；②；（2）是等腰三角形．
【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解；②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断．
【详解】解：（1）①；
②；
（2），，
，，
，，是的三边，，，
，，即是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：，平方差公式是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】
把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值．
【详解】又
，，均为整数故选C．
【点睛】本题考查多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出的值是解题的关键．
1．（2022·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D.
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.
2．（2022·树德中学期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【分析】先对原式运用平方差公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可.
【解析】原式=
∵，∴原式=
【点睛】本题主要考查了应用平方差公式进行因式分解和整体代入法，能够正确的进行因式分解是解题的关键.
3．（2022·张家界市民族中学初一期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a-b的值是__________．
【答案】-3
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a,b的值．
【解析】分解因式x²＋ax＋b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为(x＋2)(x＋4)＝x²＋6x＋8，∴a＝6，同理：乙看错了a， 分解结果为
(x＋1)(x＋9)＝x ² ＋10x＋9，∴b＝9，故答案为：－3.
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．此题主要考查了因式分解的意义，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
4．（2022·江苏金坛·七年级期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．（2022·绵阳市·八年级专题练习）阅读下面材料完成分解因式．
型式子的因式分解
．
这样，我们得到．
利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式．
例把分解因式
分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子．
解：
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；
（2）仿照题意进行分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键．
6．（2022·湖南岳阳·七年级期末）阅读理解题
由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
分解因式：．
多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
（1）尝试：分解因式：（______）（______）；
（2）应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．
【答案】（1）2，4；（2）（x-2）（x-3），（x+1）（x-6）
【分析】（1）根据“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”可得；
（2）利用“x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）”进行因式分解即可．
【详解】解：（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），故答案为：2，4；
（2）x2-5x+6=x2+[（-2）+（-3）]x+[（-2）×（-3）]=（x-2）（x-3），
x2-5x-6=x2+[1+（-6）]x+[1×（-6）]=（x+1）（x-6）．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是理解“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”．
7．（2022·重庆·八年级专题练习）观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：
说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题把分解因式．
解：．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】x+p；x+q；x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；（1）（x-3）（x-4）；（2）（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
【分析】由矩形的面积公式可以求得x2+px+qx+pq=（x+p）（x+q）；
利用分组的方法可以先分组然后提公因式法可以分解因式为：x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）；
（1）根据x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）的形式的分解即可；
（1）把y2+y看作一个整体，同理分解即可．
【详解】解：由矩形的面积公式得：（x+p）（x+q）；
故答案为：x+p；x+q；
根据分组分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
故答案为：x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；
（1）
=（x-3）（x-4）；
（2）
=（y2+y+9）（y2+y-2）
=（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
故答案为：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
【点睛】本题是一道因式分解的试题，考查了十字相乘法在实际问题中的运用，分组分解法的运用．在分解因式时，要分解到不能再分解为止．
8．（2022·广东河源·八年级期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)已知：，．求：的值．
(3)三边a，b，c满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)45
(3)的形状是等腰三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）将整理成即可求解；
（3）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
∵，，
代入得：原式
．
(3)
解：
，
，
或，
的形状是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握分组分解法．
9．（2022·河北沧州·七年级期末）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)△ABC是等边三角形，理由见解析
【分析】(1)前三项符号符合完全平方式，再和最后一项应用平方差公式；
(2)前两项、后两项分别因式分解；
(3)将2b2分成两个b2，再进行分组分解，确定a，b，c的关系，即可得△ABC的形状．
(1)
解：
；
(2)
解：
；
(3)
解：△ABC是等边三角形，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴a－b＝0，且b－c＝0，
∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用及等边三角形的判定，利用分组分解法时，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
10．（2022·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形，理由见解析．
【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．
(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．
【解析】解：(1)原式，故答案为．
(2)∵∴，∴，
∴或，∴或，∴△ABC为等腰三角形．故答案为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
11．（2022·山东平阴·）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【分析】（1）先利用分组法分解因式，再求出x，y的值即可；
（2）先利用分组法分解因式，求得ab的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可．
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2 ＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，故△ABC的周长为16或17．
【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键．
12．（2022·河南郑州初二期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程.
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可．（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【解析】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C
（2）原式==故答案为：
（3）设．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·山东东平县月考）对于任何整数m，多项式都能被（ ）整除．
A．8B．mC．D．
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【解析】因为=(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)
所以原式能被8整除．
【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键
2．（2022·沭阳县修远中学初一期末）已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A．B．或C．1D．1或11
【答案】D
【分析】此题先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．
【解析】解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a－c＝1或a－c＝11，故选D．
【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．
3．（2022·北京市陈经纶中学分校）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，设．
比较系数得，．解得．所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】解：
设
比较系数得，，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2022·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
5．（2022·山东薛城·八年级期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1）；
（2）．
问题二：探究
对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究，的数量关系．
【分析】问题一：因式分解：（1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可；（2）按完全平方公式分组然然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可；
问题二：探究:先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数、都成立，可得即可．
【详解】解：问题一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
问题二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，对任意有理数、都成立，∴，∴，的数量关系．
【点睛】本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分
组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键．
6．（2022·贵州铜仁·七年级期中）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
②43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
（1）
首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
（2）
①把二次项系数2写成，，满足，所以．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
（3）
①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
7．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令xy＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）=（m2-2m-3）（m2-2m+1）=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
8．（2022·湖南雨花外国语学校）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6．
【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）
【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键．
9．（2022·重庆月考）仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；（3）先把代入，得到关于和 的式子，再仿照（1）（2）题．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.
10．（2022·南阳月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出，进行判断即可.（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．
【解析】 (1)已知等式整理得： 解得：a=2，b=0；故答案为2；0；
(2)∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．都正确.
故答案为①②③④
(3)∵ ∴ ∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．
【点睛】考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
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