人教版八年级数学上册同步讲义专题第一次月考押题预测卷（考试范围：第十一-十二章）（教师版）

这是一份人教版八年级数学上册同步讲义专题第一次月考押题预测卷（考试范围：第十一-十二章）（教师版），共26页。试卷主要包含了4D．1，5°等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·上海静安·七年级期中）下列判断错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点
【答案】A
【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意；
B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意；
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意；
D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义．
2．（2022·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
3．（2022·四川成都·七年级期末）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，其中（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得，再根据等腰三角形和三角形外角可得.
【详解】解：∵正五边形 ABCDE内角和为：,
∴，∵，
∴，，
∴，∴.故选：C.
【点睛】本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质，三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质.
4．（2022·广东·八年级阶段练习）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠EB．AC＝DFC．∠ACD＝∠BFED．BC＝EF
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等．
5．（2022·重庆·八年级阶段练习）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积的大小关系为（ ）
A．△ABF的面积大 B．四边形CEFD的面积大 C．面积一样大 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出S△ABE=S△ACD=S△ABC，再表示出S△ABF与S四边形CEFD，即可得解．
【详解】∵AD、BE是△ABC的中线，∴S△ABE=S△ACD=S△ABC，
∵S△ABF=S△ABE-S△AEF，S四边形CEFD=S△ACD-S△AEF，∴S△ABF=S四边形CEFD，
即，△ABF与四边形CEFD的面积相等．故选C.
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
6．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，已知∠B=∠C，点E，F，P分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CP，BP=CF，若∠A=112°，则∠EPF的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．40°
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理可得∠B=∠C=34°，由△EBP≌△PCF可得∠EPB=∠PFC，再由三角形外角的性质便可解答；
【详解】解：△BAC中，∠B=∠C，∠A=112°，则∠B=∠C=34°，
△EBP和△PCF中：BE=CP，∠EBP=∠PCF，BP=CF，
∴△EBP≌△PCF（SAS），∴∠EPB=∠PFC，
∵∠BPF=∠EPB+∠EPF=∠C+∠PFC，∴∠EPF=∠C=34°，故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质；掌握全等三角形的判定定理和性质是解题关键．
7．（2022·重庆·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面正确的结论有（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝AG；③∠FAG＝∠ACF；④BH＝CH
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC=∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．
【详解】解：∵BE是中线得到AE=CE，∴S△ABE=S△BCE，故①正确；
∵∠BAC=90°，AD是高，∴∠ABC=∠DAC，
∵CF是角平分线，∴∠ACF=∠BCF，
∵∠AFG=∠FBC+∠BCF，∠AGF=∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠BAD=∠ACB，而∠ACB=2∠ACF，
∴∠FAG=2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
8．（2022·四川成都·七年级期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质可得∠代入计算可判断A；无法得到选项B的结论；由折叠的性质结合平角的定义可判断选项C；由折叠的性质结合三角形内角和定理可判断D．
【详解】解：如图，
由折叠得，∠∵∠
又∠∴∠故A正确，不符合题意；
无法得到，故选项B符合题意；由折叠得，∠
又 ∴
∵ ∴ ∴，故选项C正确，不符合题意；
由折叠得，∠
∵ ∴
∴，故选项D正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质的，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6，CD＝4．则DE的长度为（ ）
A．2B．1C．1.4D．1.6
【答案】B
【分析】过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，根据AAS证明△AFC≌△AEB，得到AF=AE，CF=BE，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF=DE，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∴∠AFC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFC=∠AED=∠AEB=90°，
在△AFC和△AEB中，，∴△AFC≌△AEB（AAS），∴AF=AE，CF=BE，
在Rt△AFD和Rt△AED中，，∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），∴DF=DE，
∵CF=CD+DF，BE=BD-DE，CF=BE，∴CD+DF=BD-DE，∴2DE=BD-CD，
∵BD=6，CD=4，∴2DE=2，∴DE=1，故选：B．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据AAS证明△AFC≌△AEB及根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED是解题的关键．
10．（2022·四川·东辰国际八年级阶段练习）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;
②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分.
【详解】解：∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正确；
∴，由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；作于，于，如图所示：
则°，在和中，，
∴，∴，∴平分，④正确；正确的个数有3个；故选B．
【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江西抚州·七年级阶段练习）如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的______．
【答案】稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答．
【详解】解：由于三角形具有稳定性，故能支撑住手机，故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的性质，掌握三角形的稳定性并应用于实际是解题的关键．
12．（2022·四川成都·二模）如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 _____．
【答案】76°##76度
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝36°，根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D＝36°，
∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．故答案为：76°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13．（2021·湖北·八年级阶段练习）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
14．（2022·四川成都·七年级期末）已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，点，分别是射线，上一点，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积是_______．
【答案】6
【分析】根据基本作图，可知OP平分∠AOB，过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线的性质得出PF=PC=3，那么△POD的面积．
【详解】解：如图，过点P作PF⊥OB于F，由题意可知，OP平分∠AOB，
∵PC⊥OA，垂足为点C，PF⊥OB于F， OP平分∠AOB，，∴PF=PC=3，
∴△POD的面积=．故答案为：6．
【点睛】本题考查了基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，根据基本作图得出OP平分∠AOB是解题的关键．
15．（2022·安徽·淮南市八年级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝________．
【答案】
【分析】首先利用三角形的三边关系得出，然后根据求绝对值的法则进行化简即可．
【详解】解：∵是的三条边，∴，
∴=．故答案为：．
【点睛】熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则，是解题的关键，注意，去绝对值后，要先添加括号，再去括号，这样不容易出错．
16．（2022·山东济南·八年级期末）如图，和都是等边三角形，连接HG，EI交于点P，则_________度．
【答案】60
【分析】根据等边三角形的性质可证△FIH≌△GJI，再证明△FGH≌△GEI，根据全等三角形的性质可得∠FGH=∠GEI，从而可得∠GEI+∠HGE=60°，根据外角的性质可得∠EPH的度数．
【详解】解：在等边△EFG中，∠F=∠FGE=60°，FG=GE，∴∠FHI+∠FIH=120°，
在等边△HIJ中，∠HIJ=60°，HI=JI，∴∠FIH+∠JIG=120°，∴∠FHI=∠JIG，
在△FIH和△GJI中，，∴△FIH≌△GJI（AAS），∴FH=GI，
在△FGH和△GEI中，，∴△FGH≌△GEI（SAS），∴∠FGH=∠GEI，
∴∠FGH+∠HGE=60°，∴∠GEI+∠HGE=60°，∴∠EPH=60°，故答案为：60
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（2022·南充市八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；
【详解】解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），∴BA=BF，PA=PF，故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，故③错误；
综上所述①②④正确，故答案为：①②④
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
18．（2022·广西·八年级阶段练习）如图①，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为_____．
【答案】．
【分析】根据题意可知，可知当AP取最小值时，DE有最大值；根据直角三角形斜边中线的性质可知AN=DE，故当DE取最大值时，AN有最大值；求出AP的最小值即可解决问题．当AP⊥BC时，AP取到最小值，利用三角形面积公式可求出AP的最小值．
【详解】解：如图②，
∵ADPE是筝形，∴筝形ADPE的面积=，
∴，∴当AP取最小值时，DE有最大值，
∵P为BC边上一个动点，∴当AP⊥BC时，AP取到最小值，
∴AP的最小值= = ，
∴，∴DE=，∴DE的最大值是，
∵Rt△ADE中，点N为DE中点，∴AN=DE，
∴当DE取最大值时，AN有最大值，∴AN的最大值是．故答案是：．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质及直角三角形的面积公式，理解“筝形”的定义是解题的关键，难点在于分析出当AP取最小值时，DE有最大值．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·四川成都·七年级阶段练习）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．
(1)补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
(2)画出AB边上的中线CD；(3)画出BC边上的高线AE；(4)的面积为___________．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)8
【分析】（1）连接，过、分别做的平行线，并且在平行线上截取，顺次连接平移后各点，即可得到平移后的三角形；
（2）作的垂直平分线找到中点，连接，即可得到中线．
（3）从点向的延长线作垂线，垂足为点，即为边上的高；
（4）根据三角形面积公式即可求出的面积．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：就是所求的中线；
（3）解：如图所示：即为边上的高；
（4）解：．故的面积为8．故答案为：8．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形的中线、高的一些基本画图方法，解题的关键是掌握平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
20．（2022·四川达州·七年级期末）如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．
（1）若AB比AC长4 cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm．
（2）若△AMC的面积为12 cm2，则△ABC的面积为__________cm 2．
（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程）
【答案】（1）4；（2）24；（3）50°
【分析】(1) △ABM的周长与△ACM的周长的差，实际为AB与AC的差;
(2)因为BC=2CM.所以△A BC的面积是△AMC的面积的2倍;
(3)由∠AMB=130°,易得∠AMD=50°，又AD既是高，又是角平分线，易得△ADM≌△ADC,∠AMC=∠ACB=50°
【详解】解: (1) : △ABM的周长为：AB+ BM+AM，△ACM的周长为AC+CM+AM，
∵AM是△ABC中线
∴BM=CM, BC=2CM
∴△ABM的周长-△ACM的周长为：（AB+ BM+AM ）-（AC+CM+AM）=AB-AC=4（cm）
故答案为: 4;
(2) ∵
∴故答案为: 24;
（3）
解： ∵ AD是高线
∴∠ADM=∠ADC=90°
∵ AD又是△AMC的角平分线
∴ ∠MAD=∠CAD
∵在△ADM和△ADC中

∴ △ADM≌△ADC （SAS）
∴∠AMD=∠ACD
∵ ∠AMB=130°
∴∠AMD=50°
∴∠ACB =50°
【点睛】此题主要考查全等三角形的性质和判定，以及三角形的周长和面积的有关求法，难度中等.
21．（2022·四川·绵阳市八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连接BE交AD于点F，AG ⊥BE，垂足为点H，交BC于点G．
（1）求证：△FBD≌△AGD；（2）求证：BD = AF + DG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据题意得，根据得，AD=BD=DC，根据得，根据ASA即可证明；
（2）根据得，根据ASA证明，得AF=GC，则AF+DG=GC+DG=DC，即可得BD=AF+DG．
【详解】解：（1）∵BA=AC，，∴，
∵，∴，
∴，
，
∴，∴AD=BD=DC，
∵，∴，
∴，
,
∵，∴
在和中，∴（ASA）
（2）∵， ∴，
∴，
，∴，
在和中，
∴（ASA），
∴AF=CG，BF=AG，∴AF+DG=GC+DG=DC，
∵BD=DC，∴BD=AF+DG．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
22．（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）如图（1），直角△ABC与直角△BCD中∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，固定△BCD，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一个大小为的角（）得．
(1)在旋转过程中，当时，______°；
(2)如图（2），旋转过程中，若边与边BC相交于点E，与边BD相交于点F，连接AD，设，，，试探究的值是否发生变化，若不变请求出这个值，若变化，请说明理由；
(3)在旋转过程中，当与△BCD的边垂直时，直接写出的度数（画出草图，不写解答过程）．
【答案】(1)45
(2)不变，75°
(3)或或，画图见解析
【分析】（1）求出旋转角即可；
（2）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质列式解决问题即可；
（3）分三种情形分别画出图形求解即可．
（1）解：当B'C⊥BD时，∠BCB'=90°－∠CBD=45°，即，故答案为：45；
（2）x+y+z的值不变．∵∠EFB是△ADF的外角，∴∠EFB＝∠ADF＋∠DAE＝x＋z，又∵∠BEF是△的外角，∴∠BEF＝＋＝y＋60°，在△BEF中，∠B＋∠BEF＋∠EFB＝180°，即45°＋y＋60°＋x＋z＝180°，∴x＋y＋z＝180°－45°－60°＝75°；
（3）①当时，如图，∵∠B'EC=90°，∠B'=60°，∴∠BCB'=90°-60°=30°，即a=30°；②当时，如图，∵∠CEB'=90°，∠B'=60°，∴∠ECB'=30°，∴∠BCB'=90°+30°=120°，即a=120°；③当时，如图，∵∠AEF=90°，∠A=30°，∴∠AFE=90°-30°=60°，∴∠CFB=∠AFE=60°，∴∠BCF=180°-60°-45°=75°，∴∠BCB'=90°+75°=165°，即a=165°．综上所述，满足条件的a的值为30°或120°或165°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．（2022·河北·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．
(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
【答案】(1)①，；②存在，详见解析
(2)45°
【分析】（1）①由“SAS”可证△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可证CF⊥BD；
②由“SAS”可证△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可证CF⊥BD；
（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“角角边”证明△ACF和△AED全等，可得AC=AE，∠ACE=45°，即△ACE是等腰直角三角形，再根据CF⊥BD可得∠BCA=45°．
（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；
②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：
如图2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；
（2）如图，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°
∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（AAS），
∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同．
24．（2022·广东·八年级期末）
(1)探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由；
(2)探究二：如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，请确定∠A与∠E的数量关系，并说明理由；
(3)探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，则∠A与∠F的数量关系，并说明理由；
(4)解决问题：如图（d），在△ABC中，∠A=56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F= .
【答案】(1)∠D＝90°＋∠A，理由见解析；(2)∠E＝∠A，理由见解析；
(3)∠F＝90°−∠A，理由见解析；(4)15.5°
【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出∠D和∠A与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案；
（2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出∠A和∠E与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案；
（3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出∠A和∠F与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案；
（4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可．
（1）解：∠D＝90°＋∠A；
理由：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
设∠DBC＝∠DBA＝α，∠DCB＝∠DCA＝β，
则∠D＝180°−（α＋β），∠A＝180°−2（α＋β），
∴α＋β＝180°−∠D，α＋β＝90°−∠A，
∴180°−∠D＝90°−∠A，∴∠D＝90°＋∠A；
（2）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，
设∠ABE＝∠CBE＝α，∠ACE＝∠MCE＝β，
由三角形外角的性质可得：2β＝∠A＋2α，β＝∠E＋α，
∴∠A＝2β−2α，∠E＝β−α，∴∠E＝∠A；
（3）∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
设∠PBF＝∠CBF＝α，∠QCF＝∠BCF＝β，
由三角形外角的性质可得：2α＋2β＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°＋∠A，α＋β＝180°−∠F，
∴α＋β＝90°＋∠A，∴90°＋∠A＝180°−∠F，
∴∠F＝90°−∠A，故答案为：∠F＝90°−∠A；
（4）由（1）（2）（3）的结论可得：∠D＝90°＋∠A＝118°，
∴∠E＝90°−∠D＝31°，
∴∠F＝∠E＝15.5°，故答案为：15.5°．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练使用这些定理去推导角的关系是解题关键．
25．（2020·四川成都·七年级期中）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与BC的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立；证明见解析；（3）6．
【分析】（1）根据直线m，直线m得，而，根据等角的余角相等得，由AAS证得≌，则，，即可得出结论；
（2）由，则，得出，由AAS证得≌即可得出答案；
（3）由，，，得出，由AAS证得≌，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果．
【详解】（1）证明：直线m，直线m，，
，，
，，
在和中，，≌，
，，；
（2）解：结论成立；理由如下：
，，，
在和中，，≌，
，，；
（3）解：，，，
在和中，，
≌，，
设的底边BC上的高为h，则的底边CF上的高为h，
，，
，，
，
与的面积之和为6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键．
26．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段A延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，
【分析】（1）证△OAP≌△OBC（ASA），即可得出OP=OC=1；（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，证△COM≌△PON（AAS），得出OM=ON．得出HO平分∠CHA，即可得出结论；
（3）连接OD，由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD，则∠OAD=45°，证出∠DAN=∠MOD．证△ODM≌△ADN（ASA），得S△ODM=S△ADN，进而得出答案．
【详解】解：（1）∵BO⊥AC，AH⊥BC，∴∠AOP＝∠BOC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAP+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，
在△OAP和△OBC中，，
∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示：
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，，∴△COM≌△PON（AAS），∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=∠AHC＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于．理由如下：
连接OD，如图2所示：
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，∴∠DAN＝135°＝∠DOM．
∵MD⊥ND，即∠MDN＝90°，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM和△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD=S△AOB=×AO•BO=××3×3=．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．