中职数学3.3.1 抛物线的标准方程精品同步训练题

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基础巩固
一、单选题
1．已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将点代入求得抛物线方程，再将其转化为标准方程即可得解.
【详解】因为点在抛物线上，所以，则，
所以抛物线的标准方程是，
则抛物线的焦点坐标为，
故选：C.
2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】分焦点在轴和轴上讨论，并利用待定系数法即可得到答案.
【详解】当抛物线的焦点在轴上时，
设抛物线的方程为．
因为抛物线过点，
所以，所以．
所以抛物线的方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，
因为抛物线过点，
设抛物线的方程为，
因为抛物线过点，
所以，所以，
所以抛物线的方程为，即，
综上抛物线的方程为或.
故选：A.
3．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
4．抛物线经过点（1，2），则此抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】D
【分析】先求出，再根据抛物线标准方程的特征可求解.
【详解】因为抛物线经过点（1，2），
所以，所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离等于.
故选：D
5．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】利用待定系数法求出抛物线的标准方程.
【详解】点在第二象限.
当焦点在x轴上时，可设抛物线的标准方程为，
把代入解得：，所以抛物线的标准方程为.
当焦点在y轴上时，可设抛物线的标准方程为，
把代入解得：，所以抛物线的标准方程为.
故选：D
6．以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【详解】依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．
故选：C．
7．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.
【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），
当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，
当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，
故选：B
8．以为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意设抛物线方程为，结合焦点坐标求得，即可得出答案.
【详解】因为抛物线焦点为，所以可设抛物线方程为，
且，则，所以抛物线方程为．
故选：D．
9．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据抛物线中p的几何意义可求解．
【详解】解：抛物线的焦点到准线的距离是，
故选：D．
10．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程.
【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上，
故抛物线的标准方程是.
故选：D
二、填空题
11．抛物线的焦点坐标是 .
【答案】
【分析】将抛物线方程化为标准形式后可得结果.
【详解】由得，
所以，，
所以抛物线的焦点坐标是.
故答案为：.
12．抛物线的准线方程为 .
【答案】
【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.
【详解】抛物线的准线方程是.
故答案为：.
13．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则 ．
【答案】
【分析】由题意设抛物线的方程为，由条件得，进而可得抛物线的方程，把点坐标代入，可求得.
【详解】由题意焦点在x轴正半轴上，设抛物线的方程为，
∵准线方程为，点到准线的距离为6，
∴，∴，∴抛物线的方程为，
∵点在抛物线上，∴，∴.
故答案为：.
14．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】或
【分析】先设抛物线方程，再把点代入可得抛物线方程.
【详解】设抛物线方程为，或.将代入，分别得方程为或.
故答案为：或.
15．已知抛物线：，则抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】/
【分析】把抛物线的方程化成标准形式，再写出焦点坐标即可.
【详解】抛物线：，即，
所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
三、解答题
16．分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)经过点的抛物线的标准方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；
（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
17．求以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程．
【答案】
【分析】由待定系数法求解即可.
【详解】因为抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，所以设其标准方程为，
又因为点在所求抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程可得，解得，
因此所求抛物线的标准方程为.
18．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)焦点为，准线方程为；
(2)焦点为，准线方程为．
【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及，进而写出焦点坐标和准线方程；
（2）将抛物线化成标准方程可得，即可写出焦点坐标和准线方程；
【详解】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上，
所以可得其焦点为，准线方程为；
（2）将化成标准方程为，
可得，且焦点在轴负半轴上，
所以焦点为，准线方程为.
19．求抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标．
【答案】或
【分析】根据抛物线方程求出焦点，再根据抛物线的定义可得结果.
【详解】由，得，，焦点，准线为，
设，则，得，，
所以.
能力进阶
20．求抛物线的焦点坐标和准线方程．
【答案】，
【分析】由抛物线的焦点坐标和准线方程分别为，，结合已知条件即可求解.
【详解】由抛物线的焦点坐标和准线方程分别为，，
由题意抛物线标准方程为，
所以，即，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
21．根据下列条件分别求抛物线的方程：
(1)准线方程为；
(2)经过点(－3， 1)．
【答案】(1)
(2)y2＝－x或x2＝9y.
【分析】（1）由抛物线的几何性质可得；
（2）设抛物线方程，代入坐标可得，注意讨论开口方向.
【详解】（1）由题意得焦点在y轴的负半轴上，所以设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．因为，所以p＝，故抛物线的方程为.
（2）当焦点在x轴的负半轴上时，设其方程为y2＝－2px(p>0)，代入点(－3， 1)得p＝，此时方程为y2＝－x；
当焦点在y轴的正半轴上时，设其方程为x2＝2py(p>0)，代入点(－3， 1)得p＝，此时方程为x2＝9y.
综上，所求抛物线的方程为y2＝－x或x2＝9y.