第四章 因式分解（单元小结）-2024-2025学年八年级数学下册同步课件（北师大版）

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新课标 北师大版八年级下册 第四章 因式分解单元小结本章知识架构知识专题 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。一、多项式的因式分解的概念即：一个多项式 →几个整式的积知识专题 二、分解因式的方法：（1）、提取公因式法（2）、运用公式法（4）、分组分解法（3）、十字相乘法知识专题三、提公因式法分解因式 整式乘法：m（a+b+c）=ma+mb+mc，逆变形得到因式分解的第一种方法：ma+mb+mc=m（a+b+c）知识专题 1、多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 。 2、把多项式ma+mb+mc中的公因式提出来，则这个多项式就可分解成两个因式m和a+b+c的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如多项式-4x2y3z+12x3y4中各项的公因式是-4x2y3。 公因式中系数的“+”、“-”号，一般由首项来决定。知识专题 确定公因式一般可以从以下二个方面来考虑： （1）先提取数字因数。若多项式的各项系数都是整数，那么公因式的系数是这些系数绝对值的最大公因数；若有分数因数，则最好先提取分数因数，使多项式系数转化为整数，使解题过程简化。 （2）再提取相同的字母。若多项式的各项含有相同的字母，就应把它作为公因式提取，相同字母的指数取该字母在各项中最低的指数。知识专题四、运用公式法分解因式平方差公式 a2-b2=（a+b）（a-b） 完全平方公式 a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子称为完全平方式。 利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。知识专题五、十字相乘法公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)知识专题六、分组分解法：分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去1、分组后可以提公因式2、分组后可以运用公式知识专题① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。 一提二套三分四查③再考虑分组分解法④检查：特别看看多项式因式是否分解彻底七、方法小结：考点专练考点 1 用提公因式法因式分解例1：因式分解:m2-5m=　　　　.思路点拨：找公因式→提公因式→结果.解答：提取公因式m,得m2-5m= m(m-5).答案:m(m-5)考点专练例2：多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是　　　　　.解析：ax2-a=a(x+1)(x-1);x2-2x+1=(x-1)2,则公因式为x-1.答案:x-1考点专练【知识点睛】　　用提公因式法进行因式分解时,最关键的一步是确定公因式.寻找公因式时,对于数字因数找各项数字的最大公约数,对于相同的字母,找相同字母的最低次幂.考点专练考点 2 用公式法因式分解例3：因式分解4x-x3=　　　　.思路点拨：找公因式→提公因式→继续分解→平方差公式→结果.解答：4x-x3=x(4-x2)=x(2+x)(2-x).答案:x(2+x)(2-x)考点专练例4：把多项式因式分解:ax2-ay2=　　　　.解析：先提取公因式a,再根据平方差公式进行二次分解.注意平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),则ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y).答案:a(x+y)(x-y)考点专练【知识点睛】符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点:1.有两项.2.两项都能写成平方的形式.3.符号相反.考点专练【知识点睛】符合用完全平方公式因式分解的多项式一般有以下特点:1.有三项.2.其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方的形式.3.另一项是这两数(或两式)的乘积(或乘积相反数)的2倍.考点专练考点 3 因式分解的简单应用  例5：在日常生活中,如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码有哪些?考点专练思路点拨：先将给定的多项式因式分解,然后计算出各部分对应值,进而得出有关的密码.解答：因为4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y),所以当x=10,y=10时,有x=10,(2x+y)=20+10=30,(2x-y)=20-10=10,所以产生的密码是101030或103010或301010.考点专练【知识点睛】　　因式分解是代数运算中的一种重要的恒等变形,其应用非常广泛,特别是对于含有条件限制的多项式求值,如果考虑利用因式分解将所求多项式进行适当变形,转化为已知条件,往往能收到事半功倍的效果.谢 谢 ~