[数学]2023_2024学年云南昆明五华区云南省昆明市第八中学高一下学期月考数学试卷(一)(原题版+解析版)

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2023~2024学年云南昆明五华区云南省昆明市第八中学高一下学期月考数学试卷（一）
1. 已知向量
A.
，
，若
，则
（
）
B. 1
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由
，得
，列方程可求出 的值.
【详解】
因为向量
所以
，
，
，
，解得
.
故选：B.
2. 若
A.
，则
的值为（
）．
B.
D.
C.
答案
解析
D
【分析】
将
看作
，利用和差公式求解即可.
【详解】
因为
，
所以
.
故选：D
3. 在
中，
，则“
”是“
是钝角三角形”的（
）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案
解析
A
如果
，由于B是三角形的内角，并且
是钝角三角形，
, 则
，
，
所以
如果
所以
是充分条件；
是钝角三角形，不妨设
不是必要条件；
，则
，
因此正确答案为：A.
4. 下列命题中错误的是（ ）
A. 当
C. 当
时，
B. 当
D. 当
时，
时，
的最小值为2
时，
答案
解析
B
利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D．

【详解】
对于A，当
时，
时，
，当且仅当
，错误；
时取等号，正确；
对于B，当
对于C，当
时，
时，
，当且仅当
，即
时取等号，正确；
，当且仅当 时取等号，正确；
对于D，当
故选：B
，
5. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击
球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力
球所做的功为（
作用于冰球，使冰球从点
移动到点
，则F对冰
）
A.
B. 18
C.
D. 12
答案
解析
D
【分析】
由平面向量数量积的定义即可得出答案.
【详解】
因为
，
，所以
，又
，
故力 对冰球所做的功为
故选：D.
.
6. 若非零向量
与
满足
，且
，则
为（
）
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形
D. 等边三角形
答案
解析
D
【分析】
由已知可得
【详解】
的角平分线与BC垂直，可分析出
是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.
因为
分别为与
同向的单位向量，
因为
，可知
的角平分线与BC垂直，则
，
又因为
，即
，
且
，则
，所以
是等边三角形.
故选：D.
7. 围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有
列的交叉点记为 ，例如，第3行第2列的交叉点记为 ．在所有的
中，不同数值的个数为（
个交叉点，从上往下、从左往右数，第m行第n
）

A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
答案
解析
C
【分析】
将围棋放在平面直角坐标系中，并使最下一行恰好在直线
上，最左一列恰好在直线
上.结合对应关系得出点
的坐标对
应坐标系中的
【详解】
点.然后用坐标表示出向量，即可根据数量积的坐标运算，得出答案.
如图，以围棋棋盘所在的平面建立平面直角坐标系，并使最下一行恰好在直线
上，最左一列恰好在直线
上.
则
的坐标对应坐标系中的
点.
点，
的坐标对应坐标系中的
点，点
的坐标对应坐标系中的
所以
，
，
所以，
因为
.
，且
，
所以 有19个不同数值，
所以，
也有19个不同数值，
也有19个不同数值.
故选：C.
8. 若
A.
，
，则
（
）
B.
C. 1
D. 2
答案
解析
C
【分析】
变形给定等式，构造函数并探讨函数性质推理计算即得.
【详解】
由
，得
，得
图象上任取点
，而
，令函数
，令函数
，
由
，
在函数
，该点关于直线
对称点
，
显然
即点
，
在函数
在函数
在R上单调递减，函数
与点 关于直线
的图象上，因此函数
图象与函数
的图象关于直线
对称，
而点
的图象上，点
在R上单调递增，所以 的值唯一，
对称，所以
在函数
的图象上，
又函数
于是点
.
故选：C
【点睛】
结论点睛：函数
的定义域为R，则函数
与
的图象关于直线
对称.
9. 已知 为坐标原点，向量
A.
是线段
的三等分点，则 的坐标可能为（
C.
）
B.
D.
答案
解析
AC
【分析】
根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】

因为
，
，可得
，
又因为点 是线段
所以
的三等分点，则
或
，
或
，
即 点的坐标为
故选：AC.
或
.
10. 已知函数
，则下列说法正确的是（
对称
中心对称
）
A.
B.
的图象关于直线
的图象关于点
C.
D.
是一个周期函数
在区间
内有且只有一个零点
答案
解析
BCD
【分析】
根据函数的对称性、周期性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
AB选项，
所以
的定义域为 ，
关于点 中心对称，A选项错误，B选项正确.
，
C选项，
所以
，
是周期函数，C选项正确.
D选项，令
所以
得
，
，
，在区间
上，解得
所以
在区间
内有且只有一个零点，所以D选项正确.
故选：BCD
11. 已知实数
A.
，满足
，则（
C.
）
B.
D.
答案
解析
BCD
【分析】
变形给定不等式，构造函数并确定函数单调性，求出
【详解】
的大小关系，再逐项判断即可.
，
由
，得
，函数
上递增，而不等式
，A错误，B正确；
令函数
在
上分别递增、递减，
因此函数
则
在
，
，即有
，
显然
，因此
，
，CD正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题解决的关键是变形不等式，构造函数求出
.
12. 已知向量
，
是两个不共线的向量，若向量
与向量
共线，则实数
=
.
答案
解析
/
【分析】

根据平面向量的共线定理，利用向量相等的概念列出方程组，即可求出λ的值.
【详解】
解：因为向量 与 共线，所以
，
即
，
化简得
，
因为向量
，
.
是两个不共线的向量，
，解得
所以
，
所以
故答案为：
13. 无字证明（prf withut wrds）是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，那么该图证明的三
角恒等式为
．
答案
解析
如下图所示，左边的三角形的面积为
中间三角形的面积为
，
，右边三角形的面积为
，
，
，
即
．
因此正确答案为：
．
14. 已知有限集合
，定义如下操作过程 ：从 中任取两个元素
；②若 ，则
、
，由 中除了
、
以外的元素构成的集合记为 ；①若
，则令
；这样得到新集合
，
例如集合
经过一次操作后得到的集合可能是
也可能得到
等，可继续对取定的 实施操作过程 ，得到的
，对于 ，反复进行上述操作过程，当所得集合
新集合记作 ，……，如此经过 次操作后得到的新集合记作
，设
只有一个元素时，则所有可能的集合
为
．
答案
解析
【分析】
先根据定义用运算律证明实施的具体操作过程无关，再根据结果逆推求解.
【详解】
解：由题可知 中仅有一项，令
对于满足
的实数 定义运算：
,
下面证明这种运算满足交换律和结合律.
因为
因为
,且
,所以
,即该运算满足交换律;
且
,
所以
,即该运算满足结合律;
所以 中的项与实施的具体操作过程无关;
选择如下操作过程求 ：由题可知
;
易知
所以
;
：
易知 经过3次操作后剩下一项为 ,

故答案为
【点睛】
.
本题是一道综合性很强的集合运算题,解题时要认真审题,理解定义,并会用新定义来解题,仔细解答,避免错误.
15. 已知向量 ， 满足
，
，
．
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)求
(3)在
；
中，若
，
，求
的面积．
答案
(1)
(2)
(3)6
解析
【分析】
（1）根据平面向量数量积的性质及定义即可求解；
（2）根据平面向量数量积的性质及定义即可求解；
（3）根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）∵
，
∴
∴
∴
＝
＝0，
，
，
；
（2）由（1）知
，
∴
，
∴
；
（3）由（1）知
，
∴
∴
，
的面积为
．
16. 已知函数
．
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(2)已知函数
（i）若函数
（
）.
，求
的最小正周期为
的单调递增区间；
（ii）在（i）条件下求函数
在
范围内的最大值与最小值．
答案
解析
(1)图象见解析
(2)（i）
．（ii）最大值为
，最小值为0.
【分析】
（1）由题意利用辅助角公式求出
，再根据五个关键点，列表、作图即可；
的单调递增区间；（ii）根据 的范围求出
（2）（i）首先求出
的解析式，根据正弦函数的单调性可得
，然
后根据正弦函数的值域可得函数的最大值和最小值.
【详解】
（1）
，
由五个关键点列表如下：
x
0
1
1
1

函数图象如下：
（2）函数
，
（i）若函数
的最小正周期为
，
则
，所以
，
所以
令
，
，
，
解得
所以
，
，
的单调递增区间为
，
.
（ii）因为
所以
，所以
，
，
所以
，
所以
的最大值为
，最小值为0.
17. 记
(1)求
(2)若
的内角
的对边分别为
，已知
.
；
的面积为 ，求
边上的中线长.
答案
(1)
(2)
.
解析
【分析】
（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得
.
（2）根据三角形
上的中线长.
的面积求得 ，根据同角三角函数的基本关系式求得
，利用正弦定理、向量数量积运算来求得
边
【详解】
（1）由正弦定理可得
，所以
，
即
，又
，
所以
，
整理得
，解得
；
（2）依题意，
又
，解得
，
，
所以 为钝角，所以由
解得
,
，
由正弦定理可得
所以
，又
，
，
设
的中点为 ，则
，
所以
，

所以
边上的中线长为
.
18. 已知定义域为 的函数
(1)求实数a，b的值；
是奇函数，且
.
(2)判断函数
在
上的单调性并用单调性的定义证明；
在区间
(3)若关于x的不等式
上恒成立，求实数m的取值范围.
答案
解析
(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】
（1）根据奇函数以及
求解问题；
（2）利用作差的方法判断出函数的单调性；
（3）根据函数的单调性以及恒成立问题的求解方法求解.
【详解】
（1）因为函数
为奇函数，
所以
，则
，则
①，
②，
又因为
联立①②解得
因为
，故
，
，且定义域为 ，关于原点对称，
故此时
（2）
为奇函数.
上单调递增，证明如下：
在
，
设
，
，
因为
所以
，所以
，
，
，
故
则
，即
，
在
上单调递增.
（3）因为奇函数
不等式
在
上单调递增，
即为
，
所以，不等式
则
在
时恒成立，
，
，
令
，
，则
，
，
原不等式转化为
则
在
时恒成立.
，
，故
又
在
上单调递增，故当
时，取得最小值为－1.
所以
，即
，故实数m的取值范围是
.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和
最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，使得
中内角
的点 即为费马点；当
，且
有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.已知
所对的边分别为
.
(1)求角 的值；
(2)若点
为
的费马点，
，求实数 的最小值.

答案
解析
(1)
(2)
略