[数学][二模]2024年湖北恩施巴东县高三二模数学试卷(教学质量检测(二))(原题版+解析版)

这是一份[数学][二模]2024年湖北恩施巴东县高三二模数学试卷(教学质量检测(二))(原题版+解析版)，文件包含数学二模2024年湖北恩施巴东县高三二模数学试卷教学质量检测二解析版docx、数学二模2024年湖北恩施巴东县高三二模数学试卷教学质量检测二解析版pdf、数学二模2024年湖北恩施巴东县高三二模数学试卷教学质量检测二原题版docx、数学二模2024年湖北恩施巴东县高三二模数学试卷教学质量检测二原题版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

2024年湖北恩施巴东县高三二模数学试卷（教学质量检测（二））
1. 已知集合
A.
，则
（
C.
）
B.
D.
答案
解析
A
【分析】
根据题意，将集合
【详解】
化简，再由交集的运算，即可得到结果.
，
因为
，所以
.
故选：A
2. 某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩 近似服从正态分布，其正态密度函数
为
A.
且
，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（
C. D.
）
B.
答案
解析
D
由题易知均值
，由正态曲线的对称性可知
，
则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为
故选：D．
．
3. 已知曲线
，则“
”是“曲线 的焦点在 轴上”的（
C. 充要条件
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
答案
解析
A
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义及椭圆、双曲线的特征判断即可.
【详解】
当
当
时曲线
时曲线
表示焦点在 轴上的椭圆，故充分性成立；
表示焦点在 轴上的双曲线，
故由曲线 的焦点在 轴上推不出
，即必要性不成立；
所以“
”是“曲线 的焦点在 轴上”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知圆
A.
与圆
交于A，B两点，则
C.
（
）
B.
D.
答案
解析
C
【分析】
根据题意，两圆方程相减即可得到直线
【详解】
的方程，再由弦长公式，即可得到结果.
因为圆
则直线
与圆
交于A，B两点，
，
的方程即为两圆相减，可得

且圆
，半径为
，
到直线
的距离
，
所以
.
故选：C
5. 设
是定义在 上的奇函数，且
，当
时，
C. 2
，则
的值为（
）
A. -1
B. -2
D. 1
答案
解析
B
【分析】
由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.
【详解】
由题意知
，则
，
即
即
，所以
，
，所以函数的周期为 ，
所以
，
故选：B
6. 在平行四边形
A.
中，
，则
的取值范围是（
）
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
根据向量的运算律及数量积定义计算即可.
【详解】
设与
同方向的单位向量
，与
同方向的单位向量
，
，与
同方向的单位向量
，
由题意，所以
所以
，
，即
所以
，
所以
因为
所以
，
，所以
，
，即
.
故选：A
7. 已知
A.
，且
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算可得
【详解】
，再由同角三角函数的平方关系与商关系，即可得到结果.
因为
，且
，
所以
，
由题意知
，

所以
所以
，所以
，
，
则
.
故选：D
8. 已知正方体的棱长为
，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体的中心 为球心作一个半径为
）
的球，则该球 的球面与八面
体各面的交线的总长为（
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
画出图形，求解正方体的中心与正八面体面的距离，然后求解求与正八面体的截面圆半径，求解各个平面与球面的交线、推出结果.
【详解】
如图所示，
，
为
的中点， 为正方体的中心，过
作
的垂线交于点 ，正八面体的棱长为2，即
，故
，
，则
，
设球与正八面体的截面圆半径为 ，如图所示，则
，
由于
，
，所以
，则
，平面
与球 的交线所对应的圆心角恰为 ，则该球
的球面与八面体各面的交线的总长为
故选：B
9. 已知数列
的通项公式为
，前 项和为 ，则下列说法正确的是（
的项共有 项 C. 满足
共有 个
）
A. 数列
项
有最小项，且有最大 B. 使
的
的值
D. 使 取得最小值的 为4
答案
解析
ABD
【分析】
首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可.
【详解】
因为
令
，所以
，
，即
，所以当
，解得
，
，
又
时
则当
令
或
时
，
，解得
，
所以
，
，
所以数列
有最小项
，且有最大项
，故A正确；

由
，则
又
，所以
的项共有 项，故B正确；
，又 ，所以
，故满足
或
、
或
或
或
，
所以使
要使
、
中有 个负数或 个负数，
的 的值共有 个，故C错误；
所以
或
时
或
因为
，
时
，
所以当 为 时 取得最小值，故D正确.
故选：ABD
10. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（
）
A. 若
，则
，有
B. 对任意复数
，
，有
C. 对任意复数
，
D. 在复平面内，若
为
，则集合M所构成区域的面积
答案
解析
BC
【分析】
借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.
【详解】
对A：由
故
，故
，
，故A错误；
对B：设
则
、
，
，
，
故
，故B正确；
、
对C：设
有
，
，则
，故
，
，故C正确；
对D：设
，则有
，
集合M所构成区域为以
为圆心，半径为 的圆，
故
，故D错误.
故选：BC.
11. 已知
A.
，（参考数据
），则下列说法正确的是（
上单调递增 C.
）
是周期为 的周期函数
B.
在
在
内共有4个极 D. 设
，则
在
值点
上共有5个零点
答案
解析
BCD
【分析】
选项A，根据条件得到
，即可判断出选项A错误；选项B，对
，即可判断出选项B的正误，选项C，令
求导，得到
，求出
，
从而得到
时，
时的解，再根据极值的定义，即
可判断出结果，选项D，根据条件得出
的周期为 ，再利用导数与函数单调性间的关系，得出
在
上的图象，再数形结
合，即可求出结果.
【详解】
对于选项A，因为
所以
，
，所以选项A错误；
对于选项B，因为
，
当
时，
时，
在 上单调递增，故选项B正确；
，
，
，
所以当
，当且仅当
时，取等号，
所以

对于选项C，因为
，
令
，得到
，
又因为
，当且仅当
或
时，取等号，
所以
由
，
不是变号零点，即
，
，
不是
的极值点，
，即
又
，解得
图象知，每一个解都是变号零点，
内共有4个极值点，故选项C正确，
或
或
或
，
由
所以
在
对于选项D，因为
，
所以
又因为
当
的周期为 ，
，
时，由
得到
，
，
，
列表如下，
单调递增
极大值
，
单调递减
极小值
，
单调递增
单调递增
又
，
则
当
在
上的大致图象如图所示，
时，因为
，则
，此时
，则
无解，
由
，又
，
又由
，
，
故只需再画出
在
图象即可，
， 无解，
当
时，
作出
的图象，注意到
，
所以
时，
与
的图象在
图象下方，
由图可知
在
上有5个交点，
所以
在
上共有5个零点，所以选项D正确，
故选：BCD.
【点睛】
关键点点晴：本题的关键在于选项D，根据条件得出
是周期为 的周期函数，再利用导数与函数单调性间的关系，作出
， ，利用 ，再数形结合，即可求出结果.
在
上图象，且有
最大值和最小值分别为
12. 各位数字之和为 的三位数的个数为
.
答案
解析
【分析】
由于本题数据比较小，故采用直接列举法即可.
【详解】
因为
或
或
或
，
所以各位数字之和为 的三位数有
故答案为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共 个.

13. 设抛物线
的焦点为 ，准线为 .斜率为
.
的直线经过焦点 ，交 于点 ，交准线 于点
（
，
在 轴的两侧），若
，则抛物线 的方程为
答案
解析
【分析】
首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线 的方程，从而求出 点坐标，再联立直线与抛物线方程，求出 点坐标，再
由距离公式得到方程，解得即可.
【详解】
抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
依题意直线 的方程为
，
令
由
可得
，即
，
，消去 得
轴的两侧，所以
，解得
或
，
又
，
在
，则
，所以
，解得
，
所以
或
（舍去），
所以抛物线 的方程为
故答案为：
.
14. 若实数
，且
，则
的取值范围是
.
答案
解析
【分析】
先得到
，并根据
得到
，从而求出
.
【详解】
因为
，故
，
由
得
，解得
，
故
.
故答案为：
15. 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下
列联表:
比赛项目
性别
合计
乒乓球组
羽毛球组
男生
50
35
85
25
40
65
75
75
女生
合计
150
(1)根据表中数据，依据小概率值
的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记 为抽到乒乓球组的学生人数，求 的分布
列及数学期望.
附:
0.1
0.05
0.01
0.005
7.879
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
答案
解析
(1)与性别有关联，理由见解析
(2)

【分析】
（1）计算出卡方，与3.841比较得到结论；
（2）先得到选取乒乓球组和羽毛球组的人数，得到 的可能取值为
【详解】
和对应的概率，得到分布列和数学期望.
（1）
，
故可以在
的情况下，得到该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别有关联；
（2）女生中，乒乓球组与羽毛球组选取人数比例为
，
故选取的15人中，选取乒乓球组的有
人，选取羽毛球组的有
人，
故
故
的可能取值为
的分布列为
，
，
，
，
0
1
2
数学期望为
.
16. 在
，
中，角
.
所对的边分别为
，设向量
，
，
，
，
， ，
(1)求函数
(2)若
的最大值；
，
，
，求
的面积.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）由向量数量积的坐标运算得
，利用降幂公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求最大值；
利用正弦定理边化角得 ，再结合余弦定理求得
（2）
解得
，由
，面积公式求
的面积．
【详解】
（1）
.
因为
，所以
，
所以当
（2）因为
因为
，即
时，
有最大值
，所以
；
，所以
，
，所以
，
由正弦定理
，所以
，得
，
，
，
，
又因为
，所以
由余弦定理有：
所以
，即
，所以
．
为奇数
为偶数
17. 已知数列
满足
(1)写出
;
(2)证明:数列
(3)若
为等比数列;
，求数列
的前 项和
.
答案
(1)
，
，
(2)证明见解析
(3)

解析
为奇数
（1）由
可得
；
；
；
为偶数
（2）证明：由题可得
（3）由（2）可得
，则数列
是首项为1，公比为2的等比数列；
，即
，
，
，
，
前
项和
，
两式相减可得
，化简可得
．
18. 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，过点 的动直线 交 于A，B两点，点 在 轴上方，且
交于另一点 ，点 为椭圆 的下顶点，如图①.
不与 轴垂直，
的周长为
，直线 交于另一点 ，直线
与
与
(1)当点 为椭圆 的上顶点时，将平面xOy沿 轴折叠如图②，使平面
(2)若过 ，垂足为
（i）证明:直线 过定点；
的最大值.
平面
，求异面直线
与
所成角的余弦值；
作
.
（ii）求
答案
(1)
(2)（i）证明见详解；（ii）
解析
【分析】
（1）据题意求出椭圆方程，折叠后建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）（i）联立直线 与椭圆的方程，根据韦达定理求出点 的坐标，同理得到点 的坐标，进而得到直线
的方程，根据对称
为直径的圆（除
性，可判断定点在 轴上，故令
，即可得到定点坐标；（ii）由题意可知，点 的轨迹为以
，
外），由
【详解】
即可求解.
（1）由椭圆定义可知
，
，
所以
的周长为
，所以
，
又因为椭圆离心率为
，
所以
又
，所以
，
，
所以椭圆的方程：
所以椭圆的焦点为
，
，
，
当点 为椭圆 的上顶点时，
所以直线 的方程为：
，
，
由
解得
，
，
由对称性知
，
以
为坐标原点，折叠后原 轴负半轴，原 轴，原 轴的正半轴所在直线为
轴建立如图空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
设直线
则
与
所成角为 ，
，

异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（2）（i）设点
，
，
，
，
则直线
由
的方程为
，则
，
得，
，
所以
因为
，
，所以
，故
，
所以
又
，
，
同理，
由
，
，
三点共线，得
，
所以
直线
，
的方程为
，
由对称性可知，如果直线
过定点，则该定点在 轴上，
令
得，
，
故直线
过定点
.
（ii）由题意知点
，点 的轨迹为以
，
为直径的圆（除
.
外），
圆心为
，半径为 ，故
【点睛】
方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到
一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
，常利用直线的点斜式方程
或截距式
来证明.
19. 设集合 是一个非空数集，对任意
，定义
，称 为集合 的一个度量，称集合 为一个对于度量 而言的度量空间，
该度量空间记为
定义1：若
.
是度量空间
上的一个函数，且存在
，使得对任意
，均有：
，则称 是度量
空间
上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列
为
，若
，则称
，证明： 是度量空间
是度量空间
是度量空间
上的数列，且对任意正实数
上的一个“基本数列”.
，都存在一个正整数 ，使得对任意
正整数
(1)设
，均有
上的一个“压缩函数”；
，定义
(2)已知
是度量空间
上的一个压缩函数，且
，
，证明：
为度量空间
上的
一个“基本数列”.
答案
解析
(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）由正弦函数的性质可知：
所以
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
，
所以
在
上的值域为
的函数，
，对任意
，
所以 是从
到
另一方面，我们证明存在
，分两种情形讨论：
，都有
，取
，则对任意
，不妨设

①当
时，令
，则
，所以
在
上单调递增，因为
，所以
，即
时，令
，所以
，则
，即
，
②当
为
，所以
在
，
上单调递增，因
，所以
，即
，都有
，所以
，所以 是度量空间
，即
综上所述，对任意
上的一个“压缩函数”.
（2）证明：因为
即
是度量空间
上的一个压缩函数，所以必存在
，使得对任意
，
，
，
因为
，
，所以
，
由绝对值三角不等式可知：对任意
，有
，
又因为
①当
，所以
，所以
，
时，对任意
时，均有
，有
，
，所以
，所以对任意
，对任意正整数 ，当
②当
时，对任意
，取一个正整数
，则
，即
，则当
，，
时，有
，
综上所述，对任意
故 为度量空间
，都存在一个正整数 ，使得对任意正整数 ，当
上的一个“基本数列”.
时，均有