[数学]2023_2024学年2月江苏南京江宁区南京师范大学附属中学江宁分校高一下学期月考数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年2月江苏南京江宁区南京师范大学附属中学江宁分校高一下学期月考数学试卷
1. 已知集合
A.
，集合
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
先化简集合 ， ，再根据交集运算定义求解.
【详解】
令
解得
，∴
，
∵
，∴
即
，
∴
．
故选：C.
2. 比较
A.
，
，
的大小（
）
C.
B.
D.
答案
解析
B
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可.
【详解】
由指数函数的图象与性质可知：
，
，
，
∴
．
故选：B
3. 下列四个函数中以 为最小正周期且为奇函数的是（
A. B.
）
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
A选项，函数不是周期函数；BC选项，不满足奇偶性；D选项满足要求.
【详解】
A选项，函数图象如下：
不是周期函数，
BC选项，
D选项，
故
与
是偶函数，
的周期为 且
为奇函数，D正确.
，
故选：D．
4. 已知
A.
，则
（
）
B.
C.
D.

答案
解析
C
【分析】
直接利用诱导公式求解即可.
【详解】
.
故选：C
5. 已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式可能是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
利用函数奇偶性的性质，及特殊值可判定选项.
【详解】
令
，
易知
，
即
分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数，
由图象可知
为奇函数，且在
处无定义，
显然对于A项，在
处有定义，对于D项，函数为偶函数，可排除A、D项，
又因为当
故选:C．
且
时，
，可排除B项，
6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水温经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过
后茶水的温度为
℃
，且
，
，当茶水温度降至70℃时，此时茶水泡制时间大约为（
）（结果保留整数，参考数据：
，
）．
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
当
时，求得
，当
时，求出 值.
【详解】
当
令
时，
，则
，
，
，∴
，解得
．
故选：B
7. 下列选项中是“
A.
，
”成立的一个必要不充分条件的是（
C.
）
B.
D.
答案
A

解析
【分析】
变形得到
，根据函数单调性得到
，故
，由于
是
的真子集，故A正确，其
他选项不合要求.
【详解】
，
，
即
∴
，
，
，其中
在
上单调递减，
在
上单调递增，
时，
其中
，当
时，
，
故
，即
，
由于
是
的真子集，故“
”的必要不充分条件为“
”，
其他选项均不合要求.
故选：A
8. 已知
A.
是定义在 上的函数在
的解集为（
上单调递减，且
，函数
C.
的图象关于点
对称，则不等式
）
B.
D.
答案
解析
D
【分析】
先根据函数的性质作出简图，结合函数图象可得不等式的解集.
【详解】
由函数
所以
要解
当
的图象关于
为R上的奇函数，则
，即
对称可得
图象关于
对称，
函数图象大致如图所示．
，即
，所以
，
时，即
时，即
时，
时，
或者
，解得
，解得
或
；
当
，所以
综上可得不等式
故选：D.
的解集为
.
9. 下列说法正确的是（
A. 已知集合
）
B. 终边落在 轴上的角的集合可表示为
，
则
C. 若
，则
D. 在
中，若
，则
为等腰三角形
答案
解析
AC
【分析】
根据集合
表示终边在
上的角的集合，集合 表示终边在
及坐标轴上的角的集合得到两个集合的关系判断A选项；由
角度制和弧度制的使用判断B选项；由辅助角公式和解正弦不等式判断C选项；由三角形中角的关系判断D选项.
【详解】

对于A，集合 表示终边在
上的角的集合，集合 表示终边在
及坐标轴上的角的集合，所以
，C正确；
，故A正确；
对于B，出现角度制与弧度制混用错误，B错误；
对于C，
所以
，所以
，
，解得
对于D，因为
，所以
或
，即
或
，
所以
为等腰三角形或直角三角形，D错误.
故选：AC.
10. 已知正实数 ， 满足
A.
，则（
B.
）
C.
D.
答案
解析
ACD
【分析】
根据基本不等式判断选项ABC，消元利用二次函数求最值判断D.
【详解】
对A：由
所以
及基本不等式得
，当且仅当
，即
，
时等号成立，故A正确；
对B：
，当且仅当
时等号成立，
，即
所以
，故B错误；
对C：因为
，当且仅当
，所以
时等号成立，
所以
即
，故C正确；
对D：
，其中
，故D正确.
故选：ACD
11. 已知
A.
，则下列说法正确的是（
B. 的最小正周期为
）
图像对称中心为
C.
的单调递增区间为
D. 若
，则
答案
解析
BD
【分析】
由正切型函数的对称中心、周期、单调性判断ABC三个选项，解正切函数不等式得到D选项.
【详解】
对于A，令
对于B，
，则
，A错误；
，B正确；
的最小正周期为
对于C，根据正切函数性质可知，
只有递增区间，则
只有递减区间，C错误；
对于D，由题意可知
所以
，
解得
，D正确.
，
所以
故选：BD.
12. 一般地，若函数
，则称
A. 若 为函数
的定义域为
，值域为
，则称
为函数
的“ 倍伴随区间”，另函数
存在“伴随区间”
的定义域为
，值域也为
为
的“伴随区间”，下列结论正确的是（
的“伴随区间”，则
）
B. 函数
D. 二次函数
C.
存在“3倍伴随区间”
若函数
存在“伴随区间”，则

答案
解析
AD
【分析】
对于ABC：利用伴随区间的定义来判断；对于D：不妨取
【详解】
，则
，列方程求解即可.
对于A．
∴
在
上单调递增，又
（舍）或 ，A正确；
上单调递减，若存在“伴随区间”
即
，∴
对于B．
在
和
则
，
，
即
,
，解得
在上
或
，与
矛盾，B错误；
对于C．
单调递减，假设存在“伴随区间”，
，则
且
，
∴
∴
，
即
或
，
因此
，
∴
令
在
内有两个不同根，
，∴
，
，
，
，
∴
，C错误；
对于D．不妨取
所以
，则
，解得
，
，故存在
，
，所以D正确．
故选：AD.
13. 已知
，
，
与
的夹角为
，
与
的夹角为锐角，则 的取值范围
．
答案
解析
且
【分析】
与
的夹角为锐角，等价于
的夹角为锐角，等价于
，且
，且
与
与
不能共线且同向.分别求出
时 的范围，剔除 与 共线且
同向时的 的值即可.
【详解】
与
不能共线且同向.
，
由
，得
，即
所以
，解得
；
若
与
共线且同向时，设
不共线，所以
，即
，解得
，
，
因为
与
，
综上， 的取值范围为
且
.
故答案为：
【点睛】
且
本题考查已知向量的夹角求参数的范围，涉及到向量数量积的定义、共线向量定理，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
14. 已知扇形的圆心角为2，其所对弦长也为2，该扇形的面积为
.
答案
解析
【分析】
通过扇形的中心角以及弦长求出扇形的半径，从而求解扇形的弧长，代入扇形面积公式求解即可.
【详解】
设扇形的半径为 ，由题意
所以扇形面积为：
故答案为：
，所以扇形半径
.
，则弧长为
，

15. 已知函数
，若函数
在
上有两个零点，则实数 的取值范围是
.
答案
解析
【分析】
由两段上的单调性得到要想有两个零点，必须满足
【详解】
，从而解得 的取值范围.
当
当
时，
时，
单调递增，
单调递增，
，
，
因为
在
上有两个零点，所以
.
，解得
，
故答案为：
16. 已知函数
，若实数
满足
，且
，则
的取值范围为
.
答案
解析
【分析】
作出函数图象，令
【详解】
，利用图象的性质数形结合及二次函数的性质计算即可.
根据题意可作出
令
的大致图象，如图所示，
，
要满足题意，则
由图象可知
所以
，且
，
，
，
根据二次函数的性质可知
所以
，
.
故答案为：
.
17. 计算：
(1)
；
(2)已知
，求
.
答案
解析
(1)6
(2)
【分析】
（1）根据指数幂的运算及对数运算法则化简求值即可；
（2）根据指数幂的运算，结合立方和公式及完全平方公式化简求值即可.
【详解】
（1）原式
（2）
；
，

，
，
，
，
原式
.
18. 已知函数
(1)求
(2)若
的值；
，求
的值．
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）利用诱导公式化简得到
，再代入求值即可；
（2）求出
【详解】
，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.
（1）
，
（2）由（1）知，
原式
，故
，
．
19. 筒车（chinese nria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历
史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水
流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到
水面的距离为
，筒车直径为
，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要
，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置 距水面的距离为
．
(1)盛水筒A经过 后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数
的解析式；
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含 的代数式
表示），及此时对应的t．
（参考公式：
，
）
答案
解析
(1)
(2)
，
或
．
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，设
，
，根据题意求出
得到函数的解析式；
（2）由
，求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可．
【详解】
（1）以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，

设
∴
当
，
，由题意知，
，
，
，
，
，即
时，
，解得
，
结合图像初始位置可知
，
又因为
综上
，所以
，
．
（2）经过 后A距离水面的高度
，
由题意知 ，所以经过 后B距离水面的高度
，
则盛水筒B与盛水筒A的高度差为
利用
，
，
，
当
，即
，所以当
时，H取最大值
，
又因为
或
时，H取最大值，
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为
，此时
或
．
20. 如图，在
中，点 满足
，过点 的直线与
所在的直线分别交于点
，若
.
(1)
与
的关系；
的最小值
(2)求
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）根据向量线性运算得
，再利用三点共线的结论即可；
（2）利用（1）中结论再结合基本不等式即可.
【详解】
（1）
，又
，
，
，
.
又
三点共线，
的最小值为
（2）因为
，
，
，
当且仅当
所以
取等，
.

21. 已知函数
的图象经过点
．
(1)求 的值，判断
(2)若存在
的单调性并说明理由；
，不等式
成立，求实数 的取值范围．
答案
解析
(1)
(2)
；
是 上的单调递增函数，理由见解析；
,
【分析】
（1）由函数经过点
求 的值，得到
的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为
在
,
上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数
的
取值范围．
【详解】
（1）函数
所以
经过点
，即
，
，解得
，
，
则
是
、
上的单调递增函数，理由如下：
，且 ，则
任取
，
则
，
所以
所以
，即
，
是定义域 上的单调递增函数．
（2）因为
，
故
是奇函数且在 上单调递增，
则不等式
所以
等价于
，
，即
，
即存在
即
,不等式
有解，
在
,
上有解，
，
由
,
，可得
由对勾函数性质易知：
在
单调递减，在
单调递增，
且
，故
，即
在
的最大值为 ，
所以
所以
，
,
即实数 的取值范围是
．
22. 已知函数
(1)求 的值；
是偶函数.
(2)若
对于任意
恒成立，求 的取值范围.
答案
解析
(1)
(2)
（1）因为函数
则满足
是偶函数、
，
所以
即
，
所以
，解得
.
（2）由（1）可知，
，
恒成立，代入可得
恒成立，
对于任意
对于任意
，
，
所以
令

因为
所以
，所以由对数函数的图像与性质可得
，
.