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    [数学]2023_2024学年5月内蒙古通辽科尔沁左翼中旗科尔沁左翼中旗实验高级中学高二下学期月考数学试卷(原题版+解析版)

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    2023~2024学年5月内蒙古通辽科尔沁左翼中旗科尔沁左翼中旗实验高级中学高二下学期月考数学试卷
    1. 袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球,5个黑球,每次任取一球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ,则表示
    “放回4个球”的事件为(
    A.

    B.
    C.
    D.
    答案
    解析
    B
    通过题意可知,若取到黑球,则将黑球放回,然后继续抽取,若取到红球,则停止抽取,所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球,
    第5次取到了红球,故
    因此正确答案为:B.
    .
    2. 已知随机变量

    ,它们的分布密度曲线如下图所示,则下列说法中正确的是(

    A.

    B.

    C.

    D.

    答案
    解析
    B
    【分析】
    由图结合正态分布曲线特点可得答案.
    【详解】
    由图可得随机变量 的均值比随机变量 的均值小,则
    .又由图得,随机变量 的分布比随机变量 的分布更加分散,则
    .
    故选:B
    3. 设随机变量 的分布列为
    A.
    ,则 的值为(
    C.

    B.
    D.
    答案
    解析
    B
    由分布列的性质得


    故选: .
    4. 某人通过普通话二级测试的概率是 ,若他连续测试3次(各次测试互不影响),那么其中恰有1次通过的概率是
    A. B. C. D.
    答案
    解析
    C
    【分析】
    利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式求解.
    【详解】

    解:∵某人通过普通话二级测试的概率是 ,他连线测试3次,
    ∴其中恰有1次通过的概率是:
    p

    故选C.
    【点睛】
    本题考查概率的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式的合理运
    用.
    5. 随机变量X的分布列如下:
    X
    1
    2
    x
    3
    y
    P
    0.5
    若E(X)=
    A.
    ,则D(X)等于(

    B.
    C.
    D.
    答案
    解析
    D
    【分析】
    根据分布列中概率之和为1,利用期望公式列方程,解得参数x,y,再利用方差公式计算即得结果.
    【详解】
    由分布列性质和期望公式可知,
    ,得得
    .
    所以D(X)=
    故选:D.

    .
    6. 甲乙两位游客慕名来到东莞旅游,准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个,记事件A:甲和
    乙选择的景点不同,事件B:甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台,则条件概率 =(
    A. B. C.

    D.
    答案
    解析
    D
    由题设,


    所以
    .
    因此正确答案为:D
    7. 某班有 名学生,一次数学考试的成绩近似地服从正态分布,平均分为 ,标准差为 ,理论上说在 分到 分的人数约为(

    附:若随机变量
    ,则


    .
    A.
    B.
    C.
    D.
    答案
    解析
    B
    因为数学成绩 服从正态分布
    所以,
    ,所以,


    因此,理论上说在 分到 分的人数约为
    因此正确答案为:B.
    .
    8. 某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡,其中螺口灯泡的产量占70%,螺口灯泡的合格率是95%,卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡,发
    现是合格的,这只灯泡是螺口灯泡的概率约为(
    A. 0.665 B. 0.723

    C. 0.7
    D. 0.737

    答案
    解析
    B
    【分析】
    利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
    【详解】
    令事件
    “螺口灯泡”,

    “卡口灯泡”,
    “合格的”,


    因此

    所以随机取一只灯泡,发现是合格的,这只灯泡是螺口灯泡的概率约为0.723.
    故选:B
    9. 若随机变量X服从两点分布,其中
    A.


    分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(
    C. D.

    B.
    答案
    解析
    AB
    【分析】
    根据两点分布求
    ,再根据期望和方差公式以及性质,即可求解.
    【详解】
    由题意可知,
    ,所以



    故选:AB
    10. 一个课外兴趣小组共有5名成员,其中有3名女性成员,2名男性成员,现从中随机选取3名成员进行学习汇报,记选出女性成员的人数为X,则下
    列结论正确的是(
    A.

    B.
    C.
    D.
    答案
    解析
    ACD
    【分析】
    根据给定条件,求出X的分布列,再结合期望、方差的定义逐项计算判断即得.
    【详解】
    女性成员人数X的可能值为



    对于A,
    对于B,
    对于C,
    ,A正确;
    ,B错误;
    ,C正确;
    对于D,
    ,D正确.
    故选:ACD
    11. 深州蜜桃是河北省特产,已有近两千年的栽培史,其主要特点是个头大,每个重约250克,果型秀美,色泽淡黄中又衬有鲜红色,皮薄肉细,汁既
    多又甜,古时就有“北国之桃,深州最佳”之说.假设某种植园成熟的深州蜜桃单果质量 (单位: 服从正态分布 ,且
    .(

    A.若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个,则这个蜜桃的质量小于
    B.若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个,则这个蜜桃的质量在
    C.若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个,则这2个蜜桃的质量都小于
    的概率为0.45
    的概率为0.25
    的概率为0.16

    D.若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个,则这2个中至少有1个蜜桃的质量在
    的概率为0.8775
    答案
    解析
    BC
    【详解】
    因为
    ,所以
    ,所以 错误.因为
    ,所以B正确.因为
    ,所以
    ,所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个,则
    0.25,所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选
    ,所以D错误.
    这2个蜜桃的质量都小于
    的概率为
    ,所以C正确.因为
    的概率为
    2个,则这2个中至少有1个蜜桃的质量在
    12. 甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有6个红球、4个白球,下列说法正确的是(
    A. 从甲箱中不放回地取球,在第一次取到红球的条件下,第二次也取到红球的概率为

    B. 从甲箱中不放回地每次任取一个球,直至取到白球后停止取球,则抽取两次后停止取球的概率为
    C. 从乙箱中有放回地抽取4次,则3次抽到红球的概率为
    D. 从乙箱中不放回地抽取3个球,则抽到2个红球的概率为
    答案
    解析
    AC
    【分析】
    结合古典概型和相互独立事件的概率公式对选项逐一判断即可.
    【详解】
    设“从甲箱中不放回地取球,第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,则
    ,A答案正确;

    ,∴
    对于B选项,
    ,B答案错误;
    ,三次抽到红球的概率为
    对于C选项,抽到红球的次数
    ,C答案正确;
    对于D选项,抽到红球的个数服从超几何分布,
    故选:AC.
    ,D答案错误.
    13. 位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向右移动的概率为
    ,则质点P移动5次后位于点
    的概率是
    .
    答案
    解析
    【分析】
    根据给定条件,利用独立重复试验的概率公式计算即得.
    【详解】
    依题意,质点 从原点开始移动5次后位于点
    ,即向左移动2次,向右移动3次,
    所以所求概率为
    故答案为:
    .
    14. 甲乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为

    答案
    解析
    /
    【分析】
    根据对立事件及条件概率的公式即可求解.
    【详解】

    记甲击中目标为事件 ,乙击中目标为事件 ,目标被击中为事件 ,
    所以

    所以目标是被甲击中的概率为
    .
    故答案为:
    .
    15. 现有 张卡片,分别写上数字 , , , , , , .从这 张卡片中随机抽取 张,记所抽取卡片上数字的最小值为 ,则


    答案
    解析
    ;
    /
    从写有数字 , , , , , , 的 张卡片中任取 张共有 种取法,其中所抽取的卡片上的数字的最小值为 的取法有
    种,
    所以

    由已知可得 的取值有 , , , ,




    所以

    故答案为:


    16. 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子.用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分
    别为0.5,0.15,0.1,0.05,这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为

    答案
    解析
    0.4825
    用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”.从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1,
    A ,A ,A ,则P(A )=95.5%, P(A )=2%,P(A )=1.5%, P(A )=1%,P(B|A )=0.5, P(B|A )=0.15,P(B|A )=0.1, P(B|A )=
    2
    3
    4
    1
    2
    3
    4
    1
    2
    3
    4
    0.05,
    所以
    因此正确答案为:0.4825
    17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上 件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为
    ,…… ,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.

    (1)根据频率分布直方图,求重量超过
    克的产品数量.
    (2)在上述抽取的 件产品中任取 件,设 为重量超过
    克的产品数量,求 的分布列.
    克的概率.
    (3)从流水线上任取 件产品,求恰有 件产品合格的重量超过
    答案
    (1) 件;(2)

    (3)
    解析
    (1)根据频率分布直方图可知:
    重量超过
    克的频率为:
    克的产品数量为

    所以重量超过
    (件)
    (2) 可取的值为




    所以 的分布列为:
    (3)利用样本估计总体,该流水线上重量超过
    克的概率为

    令 为任取5件产品中重量超过
    所以所求概率为
    克的产品数量,则

    .
    18. 甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮,甲投篮一次命中的概率为 ,乙投篮一次命中的概率为 .每人各投4个球,两人投篮是否命中互不影响.
    (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率;
    (2)若规定每投篮一次命中得3分,未命中得-1分,求乙所得分数X的分布列和数学期望.
    答案
    解析
    (1)

    (2)分布列见解析,期望为
    .
    【分析】
    (1)求出甲至多命中1个球的概率,乙至少命中1个球的概率,再利用相互独立事件的概率公式计算得解.
    (2)求出乙所得分数X的可能值及对应的概率,列出分布列并求出期望.
    【详解】
    (1)设“甲至多命中1个球”为事件A,“乙至少命中1个球”为事件B,
    依题意,


    所以甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为
    (2)乙所得分数 的可能取值 ,0,4,8,12,
    .





    的分布列为:
    0
    4
    8
    12
    数学期望
    .
    19. 气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:
    日最高气温t(单位:℃)






    天数
    6
    12
    Y
    Z
    8
    由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y和Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.
    某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表:
    日最高气温t(单位:℃)






    日销售额X(千元)
    (1)求Y,Z的值;
    2
    5
    6
    (2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差;
    (3)在日最高气温不高于32℃时,求日销售额不低于5千元的概率.

    答案
    解析
    (1)
    (2)
    (3)
    【分析】
    (1)先求出日最高气温高于32℃的频率,即可求得 ,进而可求得

    (2)易求得 各个取值的概率,再根据期望公式和方差公式即可得解;
    (3)根据条件概率公式即可得解.
    【详解】
    (1)由题意,







    (2)由题意 可取



    六月份西瓜日销售额的分布列为
    X
    2
    5
    6
    8
    P
    0.2
    0.4
    0.3
    0.1



    (3)日最高气温不高于32℃共有 天,
    其中日销售额不低于5千元共有
    天,
    则在日最高气温不高于32℃时,求日销售额不低于5千元的概率为

    20. 为丰富师生的课余文化生活,倡导“每天健身一小时,健康生活一辈子”,深入开展健身运动,增强学生的身体素质和团队的凝聚力,某中学将
    举行趣味运动会.某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏,其中男同学4名,女同学4名.按照游戏规则,每班只能选4名同学参加这个游戏,因
    此要从这8名报名的同学中随机选出4名.
    (1)求选出的4名同学中有男生的概率;
    (2)记选出的4名同学中女同学的人数为 ,求随机变量 的分布列及数学期望.
    答案
    解析
    (1)
    (2)分布列见解析,
    (1)选出的4名同学中有男生的概率为

    (2)随机变量 可取






    则分布列为
    期望
    .
    21. 全面建设社会主义现代化国家,最艰巨最繁重的任务仍然在农村,强国必先强农,农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况,随机抽取该地
    2000户农户家庭年收入X(单位:万元)进行调查,并绘制得到如图所示的频率分布直方图.

    (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数 和样本方差 (同一组的数据用该组区间的中点值代表);
    (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布 ,其中μ近似为样本平均数 近似为样本方差
    ①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数?(结果保留整数)
    ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况,现从全市农户家庭中随机抽取4户,记年收入不超过9.06万元的农户家庭
    .
    数为ξ,求
    附:①
    .(结果精确到0.001)
    ;②若
    ,则

    答案
    解析
    (1)


    (2)①317户;②0.499.
    【分析】
    (1)利用频率分布直方图求平均数和方差的计算公式求解即可.
    (2)①根据正态分布的对称性得出
    项分布的概率公式求解即可.
    【详解】
    ,进而得出所求户数;②年收入不超过
    万元的农户家庭数 服从二项分布,根据二
    (1)这2000户农户家庭年收入的样本平均数

    这2000户农户家庭年收入的样本方差
    .
    (2)①由(1)知,

    ,农户家庭年收入 近似服从正态分布


    所以


    所以这2000户农户家庭年收入超过
    万元的户数约为317.
    ②年收入不超过
    所以
    万元的农户家庭数 服从二项分布

    .
    22. 已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n
    ,n 2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为
    1,2,3,……,m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,……,m+n).
    (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
    (2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(x)是x的数学期望,证明
    答案
    解析
    (1)
    (2)见解析
    【详解】
    试题分析:(1)根据条件先确定总事件数为
    即可求概率;(2)先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数为 ,所对应的概率
    ,进行放缩变形: ,最后利用组合数性质
    ,而编号为2的抽屉内放的是黑球的事件数为
    ,最后根据古典概型的概率公式
    ,利用性
    ,再根据数学期望公式得

    化简,可得结论.
    试题解析:解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 为:
    .
    (2) 随机变量 X 的概率分布为:
    X




    P

    随机变量 X 的期望为:
    .
    所以
    .
    点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
    (1)“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
    (2)“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事
    件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;
    (3)“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
    (4)“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从
    某常见的典型分布(如二项分布
    ),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(
    )求得.因此,应熟
    记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.

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