[数学]2023_2024学年6月云南曲靖麒麟区曲靖市第二中学高二下学期月考数学试卷(经开区学校)(原题版+解析版)
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2023~2024学年6月云南曲靖麒麟区曲靖市第二中学高二下学期月考数学试卷(经开区学校)
1. 已知全集
A.
,
且
,则
C.
(
)
B.
D.
答案
解析
B
【分析】
先求出 ,
【详解】
因为
,再求
,
,
,
且
,
所以
因为
,
,所以
,
所以
.
故选:B.
2. 已知复数
A. 3
,若
是实数,则实数
B.
(
)
C. 6
D.
答案
解析
C
【分析】
根据条件,利用复数的运算及复数的定义,即可求出结果.
【详解】
因为
,则
,
∴
,得到
,
故选:C.
3. 已知角 满足
A.
,则
(
)
B.
C. 0
D. 1
答案
解析
C
【分析】
由倍角公式化简可得
,再由平方关系即可求解
【详解】
由
,可得
,
.
故选:C
4. 在等比数列
A. 6
中,
,公比
B.
,则
(
)
C. 12
D.
答案
解析
A
.
因此正确答案为:A.
5. 已知向量
,
,且
,则
(
)
A. 2
B.
C. 2或
D. 2或
答案
解析
C
【分析】
应用向量垂直数量积坐标公式计算即可.
【详解】
由
或
,
故选:C.
6. 如图,一圆形信号灯分成
四块灯带区域,现有3种不同的颜色供灯带使用,要求在每块灯带里选择1种颜色,且相邻的2块灯带选择不同
的颜色,则不同的信号总数为(
)
A. 18
B. 24
C. 30
D. 42
答案
解析
A
若用3种不同的颜色灯带,故有两块区域涂色相同,要么
,要么
相同,有2种方案,则不同的信号数为
;
若只用2种不同的颜色灯带,则
则不同的信号总数为
颜色相同,
颜色相同,只有1种方案,则不同的信号数为
;
.
因此正确答案为:A.
7. 如图,已知圆锥的轴截面是等边三角形,底面圆的半径为2,现把该圆锥打磨成一个球,则该球半径的最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
易知当球半径最大时,截面大圆为等边三角形的内切圆,根据正三角形三心合一,可知内心即为重心,故内切圆的半径为高的 ,再
计算即可.
【详解】
当球是圆锥的内切球时球半径最大,
此时截面大圆为等边三角形的内切圆,
根据正三角形三心合一,可知内心即为重心,
所以圆半径为正三角形高的 ,即
故选:B.
.
8. 已知甲组数据:1,3,5,7,9,11,乙组数据:2,4,8,16,根据不同组别,用分层抽样的方法随机抽取一个容量为5的样本,则该样本的平
均数不可能是(
A. 5
)
B. 7
C. 9
D. 11
答案
解析
D
【分析】
先根据分层抽样算出甲乙两组数据抽到的数据个数,列出表格,在结合平均数公式计算得出答案;
【详解】
根据分层抽样可知甲组数据抽取3个数据,乙组数据抽取2个数据,具体情况如下表:
甲组抽样
3,5,7
5,7,11
5,7,9
乙组抽样
2,8
平均数
5
7
9
4,8
8,16
平均数为11时,需5个样本数字之和为55,而样本之和最大值为
故选:D.
+
+
.
9. 等差数列
A.
的公差为 ,前 项和为 ,当首项 和 变化时,
B.
是一个定值,则下列各数也是定值的是(
D.
)
C.
答案
解析
AC
【分析】
根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
【详解】
由
,
可知 为定值,
故选:AC
也为定值.
10. 设椭圆
A.
的左右焦点为
,
,
是
上的动点,则下列结论正确的是(
)
B.
C.
面积的最大值为
D. 以线段
为直径的圆与直线
相切
离心率
答案
解析
AD
通过题意,椭圆
,可得
,可得
,
所以焦点为
,
根据椭圆的定义
,所以A无误;
,所以B有误;
椭圆的离心率为
其中
面积的最大值为
到直线
,所以C有误;
由原点
的距离
,
所以以线段
为直径的圆与直线
相切,所以D无误.
因此正确答案为:AD
11. 已知函数
,下列说法正确的是(
)
A. 函数
增
在
上单调递 B. 函数
减
在
上单调递
C. 函数
的极小值为
D. 若
有3个不等实根
,则
答案
解析
BCD
【分析】
根据导函数求出函数的单调性判断A,B选项,再求极小值判断C,根据方程根求和即可得出D选项.
【详解】
对于A,因为
,
所以
,
,
,
,函数
,
在
上单调递增,
,
则函数
在
上单调递减,故A错误;
上单调递减,故B正确;
上单调递增,
对于B,在
对于C,
所以当
上,
,函数
在
,函数
在
时,
取极小值
,故C正确;
对于D,
故
,
,
根据待定系数法得
故选:BCD.
,故D正确.
12. 已知函数
满足
,且
是偶函数,在
上有
,则
.
答案
解析
1
【分析】
根据
及
是偶函数代入可得.
【详解】
由题意可知
故答案为:
.
13. 在
中,
,
,其面积为
,则
.
答案
解析
【分析】
利用三角形的面积公式求得 ,利用余弦定理求得 ,结合正弦定理求得正确答案.
【详解】
依题意
,
,
由余弦定理得
由正弦定理得
,
,
.
故答案为:
14. 若函数
(其中
)在区间
上不单调,则 的取值范围为
.
答案
解析
,
x∈
,
①ω>0时,
ωx∈
,f(x)在
不单调,则
不单调,则
,则
;
;
②ω<0时,
ωx∈
,f(x)在
,则
综上所述ω的取值范围是
因此正确答案为:
.
.
15. 已知二项式
的展开式中共有10项.
(1)求展开式的第5项的二项式系数;
(2)求展开式中含 的项.
答案
解析
(1)126
(2)
(1)解:因为二项式的展开式中共有10项,所以
,
所以第5项的二项式系数为
;
(2)由(1)知
所以
,记含 的项为第
项,
,
取
,解得
,所以
,
故展开式中含 的项为
.
16. 有20件产品,其中5件是次品,其余都是合格品,现不放回的从中依次抽2件.
(1)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(2)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
(1)利用超几何分布求解即可.(2)利用条件概率求解即可.
【详解】
(1)设“第一次抽到次品”为事件 ,“第二次抽到次品”为事件
.
第一次抽到次品的概率
.
.
(2)在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率为
17. 在等腰梯形ABCD中,
,
,
,
,M为AB中点,将
,
沿MD,MC翻
折,使A,B重合于点E,得到三棱锥
.
(1)求ME与平面CDE所成角的大小;
(2)求二面角
的余弦值.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
(1)做辅助线,分析可证
平面CDE,可知
即为所求线面角,结合余弦定理运算求解;
(2)建系标点,求平面MEQ、平面CDE的法向量,利用空间向量求二面角.
【详解】
(1)在三棱锥
中,取CD中点为Q,
过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H,
因为ABCD为等腰梯形,且M为AB中点,则
,
,
可知
则
,
,且EQ,
平面MEQ,
,
平面MEQ,且
,
平面MEQ,可得
,
可知
则
,
,CD,
平面CDE,
,
平面CDE,可知
即为所求线面角,
在等腰梯形ABCD中,已知
可求出
,
,
,
,
,
可得
,
且
,则
,
所以直线ME与平面CDE所成角为 .
(2)以H为原点,
则
,
,
为x轴,y轴,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
,
可得
,
,
设平面MEQ的法向量为
取 ,则
,则
,
,可得
,
且平面CDE的法向量为
,
可得
,
由图可知二面角为锐角,所以二面角
的余弦值为
.
18. 已知双曲线
过点
,左、右顶点分别为
,
,直线
与直线
的斜率之和为 .
是双曲线上一点,
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过双曲线右焦点 的直线 交双曲线右支于
的坐标.
,
(
在第一象限)两点,
,
的重心在 轴上,求点
答案
(1)
(2)
或
解析
【分析】
(1)首先表示出左右顶点,由斜率公式求出 ,将点的坐标代入方程求出 ,即可得解;
(2)设
,
,直线 的方程为
,联立直线与双曲线方程,消元、列出韦达定理,由
得到
,即可求出 ,即可求出 ,从而求出 ,即可得解.
【详解】
(1)依题意左、右顶点分别为
所以
,
,
,解得
,
将
代入
得
,解得
,
故双曲线方程为
(2)设
;
,
,直线 的方程为
整理得
,
将
∴
代入
,
,
,
,又由
,
代入上式得
因为
,解得
的重心在 轴上,所以
,
,
,
所以
故
,代入双曲线得
或
,
.
19. 已知函数
(
).
(1)当
(2)若
时,求函数
的最小值;
,求实数 的取值范围.
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
(1)求导,根据导数判断函数单调性,进而可得最值;
(2)由
,可知
,可初步确定 的取值范围,再变换主元,根据关于 函数
单调性可得
,再根据(1)可知当
时
恒成立.
【详解】
(1)当
时,
,
,
,
可得
令
,
,解得
,
所以函数
则函数
的单调递增区间为
的最小值为
,单调递减区间为
;
,
(2)由题意有
又由函数
,
(
)单调递减,且
,可得
,
下面证明:当
时,
,
(
由关于 的函数
)单调递减,
则有
,
由(1)有
,故有
,则实数 的取值范围为
在
时恒成立,
故若
.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思
想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
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