[数学]2023_2024学年安徽淮北相山区淮北市国泰中学高二下学期期末数学试卷(7月)(原题版+解析版)

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2023~2024学年安徽淮北相山区淮北市国泰中学高二下学期期末数学试卷（7月）
1. 在复平面内，复数
A. 第一象限
对应的点位于（
）
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案
解析
A
，故
在复平面内对应的点坐标为
，位于第一象限.
因此正确答案为：A
2. 已知集合
A. 6
，则集合 的所有非空真子集的个数是
B. 7
C. 14
D. 15
答案
解析
A
因为
，所以集合 的元素个数为 ，因此集合 的所有非空真子集的个数是
，故选：
3. 下列关于命题“
，使得
”的否定说法正确的是（
）
A.
C.
，均有
，有
假命题
B.
D.
，均有
，有
真命题
真命题
假命题
答案
解析
B
命题“
对
，使得
”的否定是
，均有
，
，又
，故该命题为真命题.
因此正确答案为：B
4. 设
A.
，则（
）
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
根据对数函数的单调性即可求解.
【详解】
，即
，
同理可得
故选：A
，故
．
5. 若
A.
，则下列不等式一定成立的是（
B.
）
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
根据不等式的性质即可求解AD,利用作差法即可求解B，举反例即可求解C.
【详解】
因为
，所以
，所以
，故A错误；
，因为
，所以
，即
，所以
，故B正确；

C项中,取
D项中应是
故选：B．
，则不满足
，故C错误，
．D错误，
6. 若等差数列
A. 6
满足
，
，则当
的前 项和最小时，
C. 8
（
）
B. 7
D. 9
答案
解析
B
设等差数列
因为
的公差为 ，
，
，
所以
，
，
所以
，
，所以
，因为等差数列
为递增数列，
前 项都为负数，从第 项开始为正数，
所以当 时， 的前 项和最小.
因此正确答案为：B.
7. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地
促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位： ）满足函数关系 （a，b为常数），若
该果蔬在6 的保鲜时间为216小时，在24 的保鲜时间为8小时，那么在12 时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时．
D. 16
A. 72
B. 36
C. 24
答案
解析
A
当
则
当
时，
时，
；当
时，
，
，整理可得
，于是
，
．
因此正确答案为：A.
8. 若定义在实数集 上的函数
满足：
B. e
时，
，且对任意
，都有
成立，则
等于
（
）
A. 1
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
根据题设条件可得函数为周期函数，从而可求.
【详解】
因为
故
，故
，故
，
为周期函数，且周期为4，
故
，
因为
时，
，故
，即
，
故选：C．
9. 已知 为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（
A.
）
B. 复数
的虚部为
C. 若复数 为纯虚数，则
D. 若
为复数，则
答案
解析
BC

【分析】
根据 的性质即可求解A，根据虚部的定义即可求解B，根据模长公式即可求解C，根复数的乘法运算以及模长公式即可求解D.
【详解】
因为
复数
若
，A正确；
的虚部为 ，B不正确；
，则 ，C不正确；
，所以
设
，
，D正确．
故选:BC．
10. 已知正数
A.
满足
，则下列说法一定正确的是（
B.
）
C.
D.
答案
解析
ACD
【分析】
由已知等式可得
，由
，
，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式
可直接验证CD正误.
【详解】
由
，
，
得：
；
对于A，
对于B，
（当且仅当
（当且仅当
，即
，即
，
时取等号），A正确；
，
），B错
误；
对于C，
（当且仅当
，即
，
时取等号），
，解得：
（当且仅当
（当且仅当
，
时取等号），C正确；
， 时取等号），
对于D，
由C知：
，即
时取等号），
时取等号），D正确.
（当且仅当
（当且仅当
，
，
故选：ACD.
11. 已知函数
，则下列说法正确的是（
）
A.
C.
有且只有一个极值点
B. 设
D.
，则
上单调递增
与
的单调性不同
有3个零点
在
答案
解析
ABD
【分析】
利用
的二次求导，得到
，
，从而存在
，使得
，结合函数极值点的定义即可判断选项
的极值点即可判断选项 ，利用函数单调性的结论
，求出
的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项 ，利用函数
即可判断选项 ．
【详解】
解：由题知，
，
，所以
，使得
在 上单调递增，当
，所以函数
时，
；当
时，
，所以存在
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
有且只有一个极值点，故A正确；
，所以
因为
，所以
与
，所以
，故
的一
个极值点为0，所以
的单调性不相同，故B正确；
因为
有且只有一个极值点 ，
，且
，所以
在
和
上各有一个零点，所以
有且只有两
个零点，故C错误；
因为
故选：ABD．
与
在
上都是单调递增，所以
在
上单调递增，故D正确．

12. 若
是首项和公比均为3的等比数列，且
，则
．
答案
解析
2024
【分析】
根据等比数列的通项即可求解.
【详解】
根据题意可知
的通项公式为
，当
时，
．
故答案为：2024
13. 若不等式
的解集为 ，则实数 的取值范围是
．
答案
解析
【分析】
根据解集为 可得
【详解】
，解不等式即可.
的解集为 可得：
由不等式
，
解得：
，即实数 的取值范围为
.
故答案为：
.
14. 已知幂函数
的图像过点
，且当
时，恒有
，则实数a的取值范围为
.
答案
解析
因为幂函数
的图像过点
，所以
上恒成立可化为：
，只需
，解得：
，所以
.
所以
令
在
在
上恒成立.
.
因为
所以
，所以
.
在
上单减，
所以
.
所以实数a的取值范围为
因此正确答案为：
.
.
15. 设集合
（1）若
，集合
；
．
，求
和
（2）设命题
，命题
，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
答案
解析
（1）
，
；（2）
．
解：（1）
因为
．
或
，所以
，
，
所以
，
；
（2）因为 是 成立的必要不充分条件，所以
，
当
当
时，
时，
，得
，得
，
所以实数 的取值范围
．
16. 已知
，若关于 的不等式
的解集是
．
(1)求 的值；

(2)若关于 的不等式
在
上恒成立，求实数 的取值范围．
答案
解析
(1)
(2)
．
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系，即可代入
（2）分离参数，由二次函数的性质求解最值即可求解.
【详解】
求解，
（1）由题知1和
代入方程解得
（2）由（1）可知不等式
是
的两根，
，经检验符合题意．
将
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
因为函数
所以
在
上单调递减，
时
，所以
，
．
即实数 的取值范围为
17. 已知
(1)求
是定义在
上的偶函数，当
时，
．
的解析式；
(2)求
的解集．
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）根据偶函数的定义
，先求出
时，
的解析式，得出函数
，由单调性从而可得
的解析式；
（2）由
【详解】
（1）当
所以
为偶函数，结合条件可得
，解出不等式可得答案.
时，则
，又
为偶函数，
，
；
所以
（2）由
函数
为偶函数，则
，即
，
在
在
，
上均为增函数，
上为增函数，
则函数
所以
所以
且
，即
且
，
解得
或
，且
，
所以不等式的解集为
．
18. 已知数列
(1)求数列
(2)设
为等差数列，
的公比q；
，数列
，公差
，数列
为等比数列，且
，
，
（
）．
的前n项和为 ，求满足
的n的最小值．
答案
解析
(1)
(2)13
【分析】
（1）根据等比中项，结合等差数列基本量的计算即可求解，
（2）利用错位相减法可得 ，进而根据数列的单调性即可求解不等式.
【详解】
（1）∵
又
，
，
，
，
，
，
，
，

∴
∴
∴
，故
，
，解得
或
（舍去），
，
，
．
∴
（2）由（1）知
所以
，
，
，
，
错位相减得：
，
∴
由
，
，可得
，
令
则
令
，
，
，
故当
而
且
时，
，当
且
时，
，
，而
，
故
，
，
，满足
，
∴满足
的n的最小值为13．
19. 已知函数
.
(1)当
时，求曲线
的单调性；
恒成立，求a的取值范围.
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
(3)当
时，
答案
(1)
(2)答案见解析
(3)
解析
（1）当
时，
，得
，
，则
，
所以切线方程为：
（2）由题
，即
，可得
；
，
当
时，
时，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，
当
的解为
时，
，
在
①当
②当
，即
，即
，则
上单调递增；
上， ，在区间
时，在区间
上，
，所以
的单调增区间为
；单调减区间为
时，在区间
；
③当
，即
上，
，在区间
上，
，所以
的单调增区间为
；单调减区间为
；
（3）解法一：
，
①当
时，因为
时，
，所以
，
，所以
，则
在
上单调递增，
成立.③当 时，在区间
上单调递增，所以 ，不符合.
成立，
②当
，所以
，所以
在
上单调递增，所以
上单调递减，
上，
；在区间
，
在
综上所述， 的取值范围是
.
解法二：当
上恒成立.
时，
恒成立，等价于“当
时，
恒成立”.即
在
当
时，
，所以
.当
时，
，所以
恒成立．设
，所以
，
则
，
因为
，所以
，所以
在区间
上单调递增．所以
.综上所述， 的取值范围是
.