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2025中考数学大复习 第14讲 几何图形的初步（讲义）（解析版）
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这是一份2025中考数学大复习 第14讲 几何图形的初步（讲义）（解析版），文件包含2025中考大复习第14讲几何图形的初步及平行线与相交线讲义解析版docx、2025中考大复习第14讲几何图形的初步及平行线与相交线讲义docx等2份学案配套教学资源，其中学案共162页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc12478" 考点一 认识几何图形
\l "_Tc26811" 题型01 几何图形的识别
\l "_Tc6590" 题型02 几何体点、棱、面之间的关系
\l "_Tc20210" 题型03 三视图
\l "_Tc7436" 题型04 判断几何体的展开图
\l "_Tc22099" 题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积
\l "_Tc14763" 题型06 正方体展开图的识别
\l "_Tc13382" 考点二 直线、射线、线段的相关概念
\l "_Tc8187" 题型01 画直线、射线、线段
\l "_Tc11774" 题型02 求直线、线段的数量
\l "_Tc9603" 题型03 求直线相交点的个数
\l "_Tc23416" 题型04直线的性质
\l "_Tc8317" 题型05 与线段中点有关的计算
\l "_Tc10101" 考点三 角的相关概念
\l "_Tc12391" 题型01 度、分、秒的换算
\l "_Tc7219" 题型02 钟面角的计算
\l "_Tc25691" 题型03 方向角的表示
\l "_Tc19181" 题型04 角平分线的相关计算
\l "_Tc29960" 题型05 求一个角的余角、补角
\l "_Tc19569" 题型06 与余角、补角有关的计算
\l "_Tc14201" 考点四 相交线
\l "_Tc2889" 题型01 点到直线的距离
\l "_Tc22287" 题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解
\l "_Tc19531" 题型03 判断同位角、内错角、同旁内角
\l "_Tc6236" 考点五 平行线
\l "_Tc20622" 题型01 平行公理的应用
\l "_Tc13245" 题型02 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc1039" 题型03 平行线判定的实际应用
\l "_Tc3561" 题型04 由平行线的性质求角度
\l "_Tc1687" 题型05 由平行线的性质解决折叠问题
\l "_Tc1486" 题型06 平行线的性质在实际生活的应用
\l "_Tc2196" 题型07 利用平行线的性质解决三角板问题
\l "_Tc2671" 习题检测
\l "_Tc1034" 题型01 判断几何体的截面形状
\l "_Tc164" 题型02 三视图
\l "_Tc22986" 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
\l "_Tc32744" 题型04 正方体展开图的识别
\l "_Tc23946" 题型05 正方体相对两面上的字或图案
\l "_Tc26273" 题型06 画直线、射线、线段
\l "_Tc28565" 题型07 直线的性质
\l "_Tc2428" 题型8 线段的性质
\l "_Tc31022" 题型9 与线段中点有关的计算
\l "_Tc7893" 题型10 两点之间的距离
\l "_Tc2268" 题型11 度、分、秒的换算
\l "_Tc20039" 题型12 钟面角的计算
\l "_Tc30258" 题型13 方向角的表示
\l "_Tc19929" 题型14 角平分线的相关计算
\l "_Tc28893" 题型15 求一个角的余角、补角
\l "_Tc348" 题型16 同（等）角的余（补）角相等
\l "_Tc15597" 题型17 利用对顶角、邻补角的性质求解
\l "_Tc30202" 题型18 判断同位角、内错角、同旁内角
\l "_Tc11971" 题型19 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc8970" 题型20 平行线判定的实际应用
\l "_Tc19203" 题型21 由平行线的性质求角度
\l "_Tc25242" 题型22 由平行线的性质解决折叠问题
\l "_Tc21370" 题型23 平行线的性质在实际生活的应用
\l "_Tc26462" 题型24 利用平行线的性质解决三角板问题
考点一 认识几何图形
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,
2）“三个二”成阶梯,
3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.
几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
4）体：几何体也简称体.
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
【扩展】
1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.
2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形不是正方体的展开图.
3.正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的图形不是正方体的展开图.
题型01 几何图形的识别
【例1】（2023·山东临沂·统考一模）下列几何体中，是棱锥的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
题型02 几何体点、棱、面之间的关系
【例2】（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
题型03 三视图
【例3】（2023·湖北鄂州·统考中考真题）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023·全国·统考中考真题）图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A．B． C． D．
【变式3-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型04 判断几何体的展开图
【例4】（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·统考三模）如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是（ ）
A．正三棱柱B．正三棱锥C．圆柱D．圆锥
【变式4-2】（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意B．意 吉 如C．吉 意 如D．意 如 吉
【变式4-3】2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体
【变式4-4】（2023·河北石家庄·统考一模）将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（ ）
A．B．C．D．
题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积
【例5】（2023·河北保定·统考二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ）
A．60dm3B．72dm3C．74dm3D．94dm3
【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）
A．πB．3πC．32πD．33π
【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：V甲和V乙．下列说法正确的是：（ ）
A．V甲>V乙B．V甲=V乙C．V甲【变式5-3】（2023·江苏宿迁·统考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到一个几何体，则该几何体的表面积为 ．
【变式5-4】（2023·江苏扬州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，此长方体的表面积为 ．
【变式5-5】（2022·贵州贵阳·统考三模）如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36dm2．原来这个圆柱的体积是 dm3．
题型06 正方体展开图的识别
【例6】（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校B．安C．平D．园
【变式6-1】（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿B．地C．之D．都
【变式6-2】（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热B．爱C．中D．国
【变式6-3】】（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【变式6-4】（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点B．C点C．D点D．E点
正方体展开图相对面的确定方法：1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面；
2）“Z”字型图案中，两端点处的两个面是相对面.
考点二 直线、射线、线段的相关概念
一、直线、射线、线段的相关概念
直线的性质：
1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线；
2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了.
两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.
线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短.
线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较
2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置.
线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点.
1. 线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数.
2. 一条线段的中点只有一个.
3. 某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：
1）点必须在这条直线上.
2）它把这条线段分为两条相等的两条线段.
题型01 画直线、射线、线段
【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知A、B两点，画射线AB，按照上述语句，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列各选项中的射线EF和直线AB能相交的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河北衡水·统考二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（ ）
A．点DB．点EC．点QD．点M
题型02 求直线、线段的数量
【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式2-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）1000m的大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）
A．树200棵，花200盆B．树202棵，花200盆
C．树202棵，花202盆D．树200棵，花202盆
【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
题型03 求直线相交点的个数
【例3】（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【变式3-1】（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）在平面中，两条直线最多只有1个交点，三条直线最多有3个交点…若n条直线最多有325个交点，则n的值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【变式3-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有S1个交点，3条直线最多有S2个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有S2022个交点，则1S1+1S2+1S3+⋯+1S2021+1S2022的值为（ ）
A．20231012B．40442023C．40452023D．20211011
题型04直线的性质
【例4】（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边
【变式4-1】（2021·河北·统考中考真题）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A．aB．b
C．cD．d
题型05 与线段中点有关的计算
【例5】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应−4，直尺的0刻度位置对应−6，则线段AB中点对应的数为（ ）
A．4B．5C．8D．12
【变式5-1】（2023·河北沧州·校考二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
【变式5-2】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知点A、B、O、C在数轴上的位置如图所示，O为AC的中点，若AB=2，点B所对应的数为m，则点C所对应的数是( )
A．−2−mB．−−m−2C．−m+2D．−m−2
【变式5-3】（2023·宁夏·统考中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB=2，则点C表示的数是 ．
考点三 角的相关概念
角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形.
角的分类：
角的表示方法：
角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（13600）°
1周角=2平角=4直角=360°.
角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.
角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
②角平分线上的点到角两边的距离相等．
余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.
补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.
【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.
1. 因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与边的长短无关.
2. 角的大小可以度量，可以比较.
3. 在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行.
4. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：
1）射线必须在角的内部. 2）它把这个角分成两个相等的角.
5. 钝角没有余角.
6. 互为余角、补角是两个角之间的关系,
7. 两个角互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关. 只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角.
题型01 度、分、秒的换算
【例1】（2023·广西贺州·统考一模）比较大小：40.15° 40°15'（用>、=、<填空）．
【变式1-1】（2022·浙江·二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝ ．
【变式1-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）计算：80°−45°17'=_________．48°39'+67°31'=_________．
题型02 钟面角的计算
【例2】（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2020·河北·统考模拟预测）下列选项中，表示点P在点O的2点钟方向的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·广东珠海·珠海容闳学校校考一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，经20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
A．256πcmB．203πcmC．356πcmD．353πcm
题型03 方向角的表示
【例3】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）甲、乙两艘轮船同时离开同一港口，各自沿一固定方向航行，航行的速度均为12海里/小时，甲船用1.5小时到达点A处，乙船用2小时到达点B处，且A，B两点相距30海里．若甲船沿着北偏东30°的方向航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（ ）
A．南偏东60°B．南偏西60°C．南偏西30°D．北偏西30°
【变式3-1】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是（ ）
A．北偏西47°B．南偏西43°C．北偏东43°D．南偏东47°
【变式3-2】（2023·河北·模拟预测）如图，已知点B在点A的北偏东30°的方向上，∠CBA=60°，则点C在点B的（ ）
A．南偏东30°B．西偏东30°C．东骗西30°D．北偏西30°
题型04 角平分线的相关计算
【例4】（2023·河南周口·校联考三模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，已知∠BOF=20°，OC平分∠AOE，则∠BOD=（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式4-1】（2023·河南周口·统考二模）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2=80°，则∠AOE的度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
【变式4-2】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）如图：OC是∠AOB的角平分线，l∥OA，若∠1=59°，则∠2的度数为（ ）
A．59°B．61°C．62°D．64°
【变式4-3】（2023·广西玉林·统考一模）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=25°，则∠CON的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
题型05 求一个角的余角、补角
【例5】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，则∠B的度数为（ ）
A．52°B．48°C．38°D．28°
【变式5-1】（2023·云南文山·统考一模）已知∠A=72°25'，则∠A的补角度数为（ ）
A．108°25'B．17°35'C．108°35'D．107°35'
【变式5-2】（2023·山东济宁·统考二模）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1=52°15'，则∠2的度数是 ．
题型06 与余角、补角有关的计算
【例6】．（2023·山东济南·统考一模）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠2=50°，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．80°
【变式6-1】（2023·山西临汾·统考二模）如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α=92∘，则∠β的度数为（ ）
A．92°B．90°C．88°D．86°
【变式6-2】（2023·陕西汉中·统考一模）已知∠α和∠β是对顶角，且∠α和∠β互余，则∠β的度数为（ ）
A．45°B．30°C．90°D．120°
【变式6-3】（2022·辽宁大连·校联考模拟预测）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向．则∠ACB的度数 ．
【变式6-4】（2020·浙江杭州·模拟预测）按要求完成如下两个小题．
（1）已知一个角的余角是这个角的补角的14，求出这个角．
（2）如图，已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=26°，求∠BOD的度数．
考点四 相交线
一、相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角.
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
二、相交线中的角
第一种 对顶角与邻补角
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5.
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5.
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6.
【速记同位角、内错角与同旁内角】
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”.
1. 线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直，是指它们所在的直线互相垂直.
2. 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段.
3. 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.
4. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
5. 如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.
6. 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
7. 两条直线相交所成的四个角中，有2对对顶角，有4对邻补角.
8. 同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形.
题型01 点到直线的距离
【例1】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段AC的长是点A到BC的距离B．线段AD的长是点C到AB的距离
C．线段BC的长是点B到AC的距离D．线段BD的长是点B到CD的距离
【变式1-1】（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且PO⊥l，其中PA=3.5，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3.2B．3.5C．4D．4.5
【变式1-2】（2023·浙江杭州·统考二模）点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC=6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式1-3】（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解
【例2】（2023·河南周口·统考一模）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠COE=35°，则∠AOD的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【变式2-1】（2023·云南楚雄·统考二模）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=48°，则∠BOM等于 （ ）
A．96°B．132°C．146°D．156°
【变式2-2】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD，若∠AOE=45∠BOC，则∠BOD=（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式2-3】（2023·江苏扬州·校考二模）如图，平面上直线a、b分别经过线段AB的两个端点（数据如图），则直线a、b相交所成的钝角为（ ）
A．70∘B．110∘C．140∘D．160∘
题型03 判断同位角、内错角、同旁内角
【例3】（2023·河北唐山·统考二模）下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·浙江丽水·校考一模）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
考点五 平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补..
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称：内错角相等，两直线平行.
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称：同旁内角互补，两直线平行.
判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合.
平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件.
2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行.
3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的.
题型01 平行公理的应用
【例1】（2023·河北唐山·统考模拟预测）经过直线a外一点P的5条不同的直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式1-1】（2022·河北廊坊·统考一模）图，在同一平面内过点M且平行于直线a的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【变式1-2】（2021·河北承德·统考二模）如图，在平面内经过一点作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条
题型02 利用平行线的判定进行证明
【例2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，AE⊥BC于点M，FG⊥BC于点N，∠1=∠2．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若CD=CB，∠D=75°，求∠ABC的度数．
【变式2-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD,
(1)求证：AB∥DC；
(2)点E在线段BC的延长线上，点F在线段AD上，EF交CD于点M，∠B=70°，∠DFE=50°，直接写出∠DME的度数．
【变式2-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，已知∠A+∠ADC=180°，∠B=∠D，求证：∠E=∠DFE．
【变式2-3】（2023下·广东梅州期中）探索与发现：
(1)若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是 ，请说明理由．
(2)若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是 （直接填结论，不需要说明理由）
(3)现在有2014条直线a1，a2，a3，⋯，a2014，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2014的位置关系．
题型03 平行线判定的实际应用
【例3】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°
【变式3-1】（2023·吉林·统考一模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=85°，这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
【变式3-2】（2023·浙江丽水·统考一模）如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD=90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是（ ）
A．∠BDC=90°B．∠BDF=90°C．∠BAC=90°D．∠ACE=90°
题型04 由平行线的性质求角度
【例4】（2024·四川内江·中考真题）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·湖北·中考真题）如图，直线，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】（（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（ ）
A．B．C．D．
题型05 由平行线的性质解决折叠问题
【例5】2023·浙江台州·统考中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．
【变式5-1】（2023·辽宁鞍山·校考三模）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE=13∠ABC，则∠1为（ ）
A．106°B．108°C．109°D．110°
【变式5-2】（2023·广东佛山·统考二模）如图，把正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，若∠1=40°，则∠A'EF的度数是（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【变式5-3】（2023·辽宁本溪·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，且∠ACB=30°，点E为边AD上一动点（点E不与点A重合），将△BAE沿BE折叠得到△BA'E，若△BA'E的一边恰好与对角线AC平行，则∠ABE的度数为 ．
题型06 平行线的性质在实际生活的应用
【例7】（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（（2023·广东·统考中考真题）如图，街道与平行，拐角，则拐角（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型07 利用平行线的性质解决三角板问题
【例7】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
习题检测
题型01 判断几何体的截面形状
1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个几何体的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，当截面是矩形时，截面周长最大为（ ）
A．18B．20C．24D．25
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
题型02 三视图
1．（（2023·湖北鄂州·统考中考真题）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·统考中考真题）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为63cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm3．
3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
题型04 正方体展开图的识别
1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ）
A．B．C．D．
题型05 正方体相对两面上的字或图案
1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则
（1）x的值为 ；
（2）x2−y的值为 ．
2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是 ．
3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：a=______，b=_______，c=_______；
（2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值．
题型06 画直线、射线、线段
1．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
2．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知A，B，C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上述语句画图，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平面上四个点A,B,C,D，按下列要求画出图形：
（1）画线段BD和线段BD的延长线；
（2）线段AC和线段DB相交于点O；
（3）连结线段BC，反向延长线段BC．
题型07 直线的性质
1．（2022·广东深圳·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是( )
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
题型8 线段的性质
1．（2022·江苏扬州·统考一模）下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线
3．（2023·北京海淀·统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A．B．C．D．
题型9 与线段中点有关的计算
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：AC=3BC，CD=100m，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．
(1)如果点C是AB的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________，
(2)比较b−2与c+1的大小，并说明理由；
(3)化简：−|a−2|+|b+1|+|c|．
3．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
题型10 两点之间的距离
1．（2020·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）A、D两站的距离为_________；
（2）C、D两站的距离为__________；
（3）若a=3，C为AD的中点，求b的值．
2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
3．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．
（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为 ；
（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．
题型11 度、分、秒的换算
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）74°19'30″= °．
2（2023·江苏盐城·校考一模）已知∠A=65°30'，则∠A的补角= °．
3．（2020·浙江湖州·统考模拟预测）计算：40°﹣15°30′＝ ．
题型12 钟面角的计算
1．（2019·广西梧州·统考中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2．（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①. 若此钟面显示3点45分 时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②. 则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（ ）厘米
A．22−33B．16+πC．22D．18+43
3．（2018·山东德州·校联考一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26B．5：26-5：27C．5：27-5：28D．5：28-5：29
题型13 方向角的表示
1．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30°，再前进5m后又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ）
A．第二次左转后行走的方向是北偏东30°B．第六次左转后行走的方向是正西方向
C．第八次左转后行走的方向是南偏西60°D．嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m
2．（2022·河北石家庄·校考一模）A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是（ ）
A．C地在B地的正北方向上B．A地在B地的正东方向上C．C地在A地的北偏西60°方向上D．A地在C地的南偏东30°方向上
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，有A,B,C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的（ ）
A．北偏西54°方向B．北偏东54°方向C．南偏西54°方向D．南偏西90°方向
题型14 角平分线的相关计算
1．（2021·山东济南·统考中考真题）如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
2．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB=（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．（2018·四川南充·统考一模）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
题型15 求一个角的余角、补角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ）
A．25°30′B．64°30′C．74°30′D．154°30′
2．（2019·甘肃兰州·一模）一个角的补角是150°，则这个角的余角等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是 ．
题型16 同（等）角的余（补）角相等
1．（2020·北京房山·统考一模）一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则sinA=（ ）
A．BCACB．ACABC．ADACD．BDBC
3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）
A．B．C．D．
题型17 利用对顶角、邻补角的性质求解
1．（2022·北京·统考中考真题）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2020·贵州安顺·统考中考真题）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
3．（2021·河南·统考中考真题）如图，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
题型18 判断同位角、内错角、同旁内角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
2．（2018·浙江金华·中考真题）如图，∠B的同位角可以是( )
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
题型19 利用平行线的判定进行证明
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
(1)求证：EF∥AD；
(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．
2．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，AB∥CD，AM平分∠BAE，FG平分∠AFC．
(1)求证：AM∥GF；
(2)若∠BAM＝55°，求∠CFE的度数．
题型20 平行线判定的实际应用
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2．（2019·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
3．（2021·山东烟台·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为 米．
题型21 由平行线的性质求角度
1．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
2．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
题型22 由平行线的性质解决折叠问题
1．（2022·四川达州·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2的度数为（ ）
A．140°B．120°C．110°D．100°
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B=50°，则∠BDF的度数为 ．
3．（2023·广东湛江·统考二模）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF．若∠ABE=20°，则∠EFC'的度数为 ．
题型23 平行线的性质在实际生活的应用
1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB=20°，∠FED=56°，则∠GFH=（ ）
A．34°B．36°C．38°D．56°
2．（2022·山东济南·校考一模）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41，3≈1.73）．
A．246 mmB．247mmC．248mmD．249mm
3．（2022·浙江温州·统考三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B=140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两直线平行，内错角相等．B．内错角相等，两直线平行．
C．两直线平行，同位角相等．D．同位角相等，两直线平行．
题型24 利用平行线的性质解决三角板问题
1．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
2．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°， BC∥DE，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．（2023下·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0(2)在（1）的条件下，若∠2恰好是∠1的54倍，求n的值．
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为ts．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
名称
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
存在关系
三棱锥
4
4
6
V+F-E=2
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
直线
射线
线段
概念
直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念.
直线上一点和它一旁的部分叫做射线.
直线上两点和它们之间的部分叫做线段.
图形
表示方法
直线AB或直线BA
直线m
射线OA
射线n
线段AB
线段l
端点个数
无
1个
2个
延伸、度量情况
可向两方无限延伸
不可度量
只能以一方无限延伸
不可度量
不能延伸，可以度量
不同点
线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线
相同点
都是直的线
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
角的表示
图例
适用范围
注意事项
用三个大写字母表示
记作：∠ABC或∠CBA
任何情况都适用
表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧.
用一个大写字母表示
记作：∠O
1）以这个字母为顶点的角只有一个；
2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示.
用一个数字表示
任何情况都适用
在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母
用一个希腊字母表示
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
有公共顶点
∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
−3
2
a
c
b
−1
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc12478" 考点一 认识几何图形
\l "_Tc26811" 题型01 几何图形的识别
\l "_Tc6590" 题型02 几何体点、棱、面之间的关系
\l "_Tc20210" 题型03 三视图
\l "_Tc7436" 题型04 判断几何体的展开图
\l "_Tc22099" 题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积
\l "_Tc14763" 题型06 正方体展开图的识别
\l "_Tc13382" 考点二 直线、射线、线段的相关概念
\l "_Tc8187" 题型01 画直线、射线、线段
\l "_Tc11774" 题型02 求直线、线段的数量
\l "_Tc9603" 题型03 求直线相交点的个数
\l "_Tc23416" 题型04直线的性质
\l "_Tc8317" 题型05 与线段中点有关的计算
\l "_Tc10101" 考点三 角的相关概念
\l "_Tc12391" 题型01 度、分、秒的换算
\l "_Tc7219" 题型02 钟面角的计算
\l "_Tc25691" 题型03 方向角的表示
\l "_Tc19181" 题型04 角平分线的相关计算
\l "_Tc29960" 题型05 求一个角的余角、补角
\l "_Tc19569" 题型06 与余角、补角有关的计算
\l "_Tc14201" 考点四 相交线
\l "_Tc2889" 题型01 点到直线的距离
\l "_Tc22287" 题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解
\l "_Tc19531" 题型03 判断同位角、内错角、同旁内角
\l "_Tc6236" 考点五 平行线
\l "_Tc20622" 题型01 平行公理的应用
\l "_Tc13245" 题型02 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc1039" 题型03 平行线判定的实际应用
\l "_Tc3561" 题型04 由平行线的性质求角度
\l "_Tc1687" 题型05 由平行线的性质解决折叠问题
\l "_Tc1486" 题型06 平行线的性质在实际生活的应用
\l "_Tc2196" 题型07 利用平行线的性质解决三角板问题
\l "_Tc2671" 习题检测
\l "_Tc1034" 题型01 判断几何体的截面形状
\l "_Tc164" 题型02 三视图
\l "_Tc22986" 题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
\l "_Tc32744" 题型04 正方体展开图的识别
\l "_Tc23946" 题型05 正方体相对两面上的字或图案
\l "_Tc26273" 题型06 画直线、射线、线段
\l "_Tc28565" 题型07 直线的性质
\l "_Tc2428" 题型8 线段的性质
\l "_Tc31022" 题型9 与线段中点有关的计算
\l "_Tc7893" 题型10 两点之间的距离
\l "_Tc2268" 题型11 度、分、秒的换算
\l "_Tc20039" 题型12 钟面角的计算
\l "_Tc30258" 题型13 方向角的表示
\l "_Tc19929" 题型14 角平分线的相关计算
\l "_Tc28893" 题型15 求一个角的余角、补角
\l "_Tc348" 题型16 同（等）角的余（补）角相等
\l "_Tc15597" 题型17 利用对顶角、邻补角的性质求解
\l "_Tc30202" 题型18 判断同位角、内错角、同旁内角
\l "_Tc11971" 题型19 利用平行线的判定进行证明
\l "_Tc8970" 题型20 平行线判定的实际应用
\l "_Tc19203" 题型21 由平行线的性质求角度
\l "_Tc25242" 题型22 由平行线的性质解决折叠问题
\l "_Tc21370" 题型23 平行线的性质在实际生活的应用
\l "_Tc26462" 题型24 利用平行线的性质解决三角板问题
考点一 认识几何图形
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,
2）“三个二”成阶梯,
3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.
几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
4）体：几何体也简称体.
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
【扩展】
1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的.
2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形不是正方体的展开图.
3.正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的图形不是正方体的展开图.
题型01 几何图形的识别
【例1】（2023·山东临沂·统考一模）下列几何体中，是棱锥的为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
题型02 几何体点、棱、面之间的关系
【例2】（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
题型03 三视图
【例3】（2023·湖北鄂州·统考中考真题）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023·全国·统考中考真题）图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A．B． C． D．
【变式3-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型04 判断几何体的展开图
【例4】（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2023·湖南长沙·统考三模）如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是（ ）
A．正三棱柱B．正三棱锥C．圆柱D．圆锥
【变式4-2】（2024·四川德阳·中考真题）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A．吉 如 意B．意 吉 如C．吉 意 如D．意 如 吉
【变式4-3】2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体
【变式4-4】（2023·河北石家庄·统考一模）将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（ ）
A．B．C．D．
题型05 由展开图计算几何体的表面积或体积
【例5】（2023·河北保定·统考二模）张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体积为（ ）
A．60dm3B．72dm3C．74dm3D．94dm3
【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）
A．πB．3πC．32πD．33π
【变式5-2】（2022·河北石家庄·统考一模）相同规格（长为14，宽为8）的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，有如图所示的甲、乙两种方案，所得长方体体积分别记为：V甲和V乙．下列说法正确的是：（ ）
A．V甲>V乙B．V甲=V乙C．V甲
【变式5-4】（2023·江苏扬州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，此长方体的表面积为 ．
【变式5-5】（2022·贵州贵阳·统考三模）如图，把一个高9dm的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36dm2．原来这个圆柱的体积是 dm3．
题型06 正方体展开图的识别
【例6】（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校B．安C．平D．园
【变式6-1】（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿B．地C．之D．都
【变式6-2】（2024·四川达州·中考真题）如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（ ）
A．热B．爱C．中D．国
【变式6-3】】（2024·江西·中考真题）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【变式6-4】（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点B．C点C．D点D．E点
正方体展开图相对面的确定方法：1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面；
2）“Z”字型图案中，两端点处的两个面是相对面.
考点二 直线、射线、线段的相关概念
一、直线、射线、线段的相关概念
直线的性质：
1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线；
2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了.
两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离.
线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短.
线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较
2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置.
线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点.
1. 线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数.
2. 一条线段的中点只有一个.
3. 某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件：
1）点必须在这条直线上.
2）它把这条线段分为两条相等的两条线段.
题型01 画直线、射线、线段
【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知A、B两点，画射线AB，按照上述语句，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列各选项中的射线EF和直线AB能相交的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河北衡水·统考二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（ ）
A．点DB．点EC．点QD．点M
题型02 求直线、线段的数量
【例2】（2023·河北保定·统考二模）如图，点C在线段BD上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式2-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）1000m的大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）
A．树200棵，花200盆B．树202棵，花200盆
C．树202棵，花202盆D．树200棵，花202盆
【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
题型03 求直线相交点的个数
【例3】（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【变式3-1】（2022·四川达州·四川省渠县中学校考二模）在平面中，两条直线最多只有1个交点，三条直线最多有3个交点…若n条直线最多有325个交点，则n的值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【变式3-2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有S1个交点，3条直线最多有S2个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有S2022个交点，则1S1+1S2+1S3+⋯+1S2021+1S2022的值为（ ）
A．20231012B．40442023C．40452023D．20211011
题型04直线的性质
【例4】（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边
【变式4-1】（2021·河北·统考中考真题）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A．aB．b
C．cD．d
题型05 与线段中点有关的计算
【例5】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应−4，直尺的0刻度位置对应−6，则线段AB中点对应的数为（ ）
A．4B．5C．8D．12
【变式5-1】（2023·河北沧州·校考二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（ ）
A．2B．−2C．4D．−4
【变式5-2】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知点A、B、O、C在数轴上的位置如图所示，O为AC的中点，若AB=2，点B所对应的数为m，则点C所对应的数是( )
A．−2−mB．−−m−2C．−m+2D．−m−2
【变式5-3】（2023·宁夏·统考中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的中点，线段AB=2，则点C表示的数是 ．
考点三 角的相关概念
角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形.
角的分类：
角的表示方法：
角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（13600）°
1周角=2平角=4直角=360°.
角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.
角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
②角平分线上的点到角两边的距离相等．
余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.
补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.
【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.
1. 因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与边的长短无关.
2. 角的大小可以度量，可以比较.
3. 在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行.
4. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：
1）射线必须在角的内部. 2）它把这个角分成两个相等的角.
5. 钝角没有余角.
6. 互为余角、补角是两个角之间的关系,
7. 两个角互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关. 只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角.
题型01 度、分、秒的换算
【例1】（2023·广西贺州·统考一模）比较大小：40.15° 40°15'（用>、=、<填空）．
【变式1-1】（2022·浙江·二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42''＝ ．
【变式1-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）计算：80°−45°17'=_________．48°39'+67°31'=_________．
题型02 钟面角的计算
【例2】（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2020·河北·统考模拟预测）下列选项中，表示点P在点O的2点钟方向的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022·广东珠海·珠海容闳学校校考一模）如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离10cm，经20分钟，分针针尖转过的弧长是（ ）
A．256πcmB．203πcmC．356πcmD．353πcm
题型03 方向角的表示
【例3】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）甲、乙两艘轮船同时离开同一港口，各自沿一固定方向航行，航行的速度均为12海里/小时，甲船用1.5小时到达点A处，乙船用2小时到达点B处，且A，B两点相距30海里．若甲船沿着北偏东30°的方向航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（ ）
A．南偏东60°B．南偏西60°C．南偏西30°D．北偏西30°
【变式3-1】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测B地的方位角是（ ）
A．北偏西47°B．南偏西43°C．北偏东43°D．南偏东47°
【变式3-2】（2023·河北·模拟预测）如图，已知点B在点A的北偏东30°的方向上，∠CBA=60°，则点C在点B的（ ）
A．南偏东30°B．西偏东30°C．东骗西30°D．北偏西30°
题型04 角平分线的相关计算
【例4】（2023·河南周口·校联考三模）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥OF，已知∠BOF=20°，OC平分∠AOE，则∠BOD=（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式4-1】（2023·河南周口·统考二模）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2=80°，则∠AOE的度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
【变式4-2】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）如图：OC是∠AOB的角平分线，l∥OA，若∠1=59°，则∠2的度数为（ ）
A．59°B．61°C．62°D．64°
【变式4-3】（2023·广西玉林·统考一模）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=25°，则∠CON的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
题型05 求一个角的余角、补角
【例5】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，则∠B的度数为（ ）
A．52°B．48°C．38°D．28°
【变式5-1】（2023·云南文山·统考一模）已知∠A=72°25'，则∠A的补角度数为（ ）
A．108°25'B．17°35'C．108°35'D．107°35'
【变式5-2】（2023·山东济宁·统考二模）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l2，垂足为C，若∠1=52°15'，则∠2的度数是 ．
题型06 与余角、补角有关的计算
【例6】．（2023·山东济南·统考一模）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠2=50°，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．50°C．65°D．80°
【变式6-1】（2023·山西临汾·统考二模）如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若∠α=92∘，则∠β的度数为（ ）
A．92°B．90°C．88°D．86°
【变式6-2】（2023·陕西汉中·统考一模）已知∠α和∠β是对顶角，且∠α和∠β互余，则∠β的度数为（ ）
A．45°B．30°C．90°D．120°
【变式6-3】（2022·辽宁大连·校联考模拟预测）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向．则∠ACB的度数 ．
【变式6-4】（2020·浙江杭州·模拟预测）按要求完成如下两个小题．
（1）已知一个角的余角是这个角的补角的14，求出这个角．
（2）如图，已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=26°，求∠BOD的度数．
考点四 相交线
一、相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足.
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角.
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
二、相交线中的角
第一种 对顶角与邻补角
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5.
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5.
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6.
【速记同位角、内错角与同旁内角】
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”.
1. 线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直，是指它们所在的直线互相垂直.
2. 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段.
3. 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.
4. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.
5. 如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.
6. 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
7. 两条直线相交所成的四个角中，有2对对顶角，有4对邻补角.
8. 同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形.
题型01 点到直线的距离
【例1】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段AC的长是点A到BC的距离B．线段AD的长是点C到AB的距离
C．线段BC的长是点B到AC的距离D．线段BD的长是点B到CD的距离
【变式1-1】（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且PO⊥l，其中PA=3.5，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3.2B．3.5C．4D．4.5
【变式1-2】（2023·浙江杭州·统考二模）点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC=6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式1-3】（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
题型02 利用对顶角、邻补角的性质求解
【例2】（2023·河南周口·统考一模）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O．若∠COE=35°，则∠AOD的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【变式2-1】（2023·云南楚雄·统考二模）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=48°，则∠BOM等于 （ ）
A．96°B．132°C．146°D．156°
【变式2-2】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD，若∠AOE=45∠BOC，则∠BOD=（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式2-3】（2023·江苏扬州·校考二模）如图，平面上直线a、b分别经过线段AB的两个端点（数据如图），则直线a、b相交所成的钝角为（ ）
A．70∘B．110∘C．140∘D．160∘
题型03 判断同位角、内错角、同旁内角
【例3】（2023·河北唐山·统考二模）下列图中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·浙江丽水·校考一模）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
考点五 平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补..
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称：内错角相等，两直线平行.
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称：同旁内角互补，两直线平行.
判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合.
平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件.
2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行.
3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的.
题型01 平行公理的应用
【例1】（2023·河北唐山·统考模拟预测）经过直线a外一点P的5条不同的直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式1-1】（2022·河北廊坊·统考一模）图，在同一平面内过点M且平行于直线a的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【变式1-2】（2021·河北承德·统考二模）如图，在平面内经过一点作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条
题型02 利用平行线的判定进行证明
【例2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，AE⊥BC于点M，FG⊥BC于点N，∠1=∠2．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若CD=CB，∠D=75°，求∠ABC的度数．
【变式2-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD,
(1)求证：AB∥DC；
(2)点E在线段BC的延长线上，点F在线段AD上，EF交CD于点M，∠B=70°，∠DFE=50°，直接写出∠DME的度数．
【变式2-2】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，已知∠A+∠ADC=180°，∠B=∠D，求证：∠E=∠DFE．
【变式2-3】（2023下·广东梅州期中）探索与发现：
(1)若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是 ，请说明理由．
(2)若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是 （直接填结论，不需要说明理由）
(3)现在有2014条直线a1，a2，a3，⋯，a2014，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2014的位置关系．
题型03 平行线判定的实际应用
【例3】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，已知∠1=90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠2=90°B．∠3=90°C．∠4=90°D．∠5=90°
【变式3-1】（2023·吉林·统考一模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=85°，这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
【变式3-2】（2023·浙江丽水·统考一模）如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD=90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是（ ）
A．∠BDC=90°B．∠BDF=90°C．∠BAC=90°D．∠ACE=90°
题型04 由平行线的性质求角度
【例4】（2024·四川内江·中考真题）如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·湖北·中考真题）如图，直线，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】（（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（ ）
A．B．C．D．
题型05 由平行线的性质解决折叠问题
【例5】2023·浙江台州·统考中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．
【变式5-1】（2023·辽宁鞍山·校考三模）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE=13∠ABC，则∠1为（ ）
A．106°B．108°C．109°D．110°
【变式5-2】（2023·广东佛山·统考二模）如图，把正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，若∠1=40°，则∠A'EF的度数是（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【变式5-3】（2023·辽宁本溪·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，且∠ACB=30°，点E为边AD上一动点（点E不与点A重合），将△BAE沿BE折叠得到△BA'E，若△BA'E的一边恰好与对角线AC平行，则∠ABE的度数为 ．
题型06 平行线的性质在实际生活的应用
【例7】（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（（2023·广东·统考中考真题）如图，街道与平行，拐角，则拐角（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型07 利用平行线的性质解决三角板问题
【例7】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
习题检测
题型01 判断几何体的截面形状
1．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图所示，将立方体沿△BDC所在平面截取几何体ABCD，则这个几何体的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川南充·统考三模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体，当截面是矩形时，截面周长最大为（ ）
A．18B．20C．24D．25
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
题型02 三视图
1．（（2023·湖北鄂州·统考中考真题）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·统考中考真题）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
题型03 由展开图计算几何体的表面积或体积
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
2．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考一模）如图，以边长为63cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm3．
3．（2021·辽宁抚顺·统考一模）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
题型04 正方体展开图的识别
1．（2021·广东·统考中考真题）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江金华·统考一模）下列哪个图形不可能是正方体的表面展开图（ ）
A．B．C．D．
题型05 正方体相对两面上的字或图案
1．（2021·河北唐山·统考三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则
（1）x的值为 ；
（2）x2−y的值为 ．
2．（2022·陕西宝鸡·统考模拟预测）如图是正方体的一种展开图，则原正方体中与“真”所在面的对面所标的字是 ．
3．（2021·河北唐山·统考一模）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空：a=______，b=_______，c=_______；
（2）将2a(a−b)+b(2a−b−c)化简，并代入求值．
题型06 画直线、射线、线段
1．（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
2．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知A，B，C三点，画直线AB，画射线AC，连接BC，按照上述语句画图，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，已知平面上四个点A,B,C,D，按下列要求画出图形：
（1）画线段BD和线段BD的延长线；
（2）线段AC和线段DB相交于点O；
（3）连结线段BC，反向延长线段BC．
题型07 直线的性质
1．（2022·广东深圳·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是( )
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
题型8 线段的性质
1．（2022·江苏扬州·统考一模）下列三个日常现象：
其中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是（ ）
A．①B．②C．③D．②③
2．（2021·浙江台州·统考中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线
3．（2023·北京海淀·统考一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A．B．C．D．
题型9 与线段中点有关的计算
1．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：AC=3BC，CD=100m，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．
(1)如果点C是AB的中点，那么a，b，c之间的数量关系是__________，
(2)比较b−2与c+1的大小，并说明理由；
(3)化简：−|a−2|+|b+1|+|c|．
3．（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
题型10 两点之间的距离
1．（2020·河北唐山·统考一模）A、B、C、D四个车站的位置如图所示．
（1）A、D两站的距离为_________；
（2）C、D两站的距离为__________；
（3）若a=3，C为AD的中点，求b的值．
2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，AB=12cm，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值．
（2）若点C，D运时，总有MD=2AC，则AM=_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，求MNAB的值．
3．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．
（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为 ；
（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．
题型11 度、分、秒的换算
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）74°19'30″= °．
2（2023·江苏盐城·校考一模）已知∠A=65°30'，则∠A的补角= °．
3．（2020·浙江湖州·统考模拟预测）计算：40°﹣15°30′＝ ．
题型12 钟面角的计算
1．（2019·广西梧州·统考中考真题）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2．（2022·安徽安庆·统考二模）如图表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点 30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，如图①. 若此钟面显示3点45分 时，A点距桌面的高度为18厘米，如图②. 则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为（ ）厘米
A．22−33B．16+πC．22D．18+43
3．（2018·山东德州·校联考一模）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26B．5：26-5：27C．5：27-5：28D．5：28-5：29
题型13 方向角的表示
1．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪从点A出发，沿正东方向前进5m后向左转30°，再前进5m后又向左转30°，这样一直走下去．以下说法错误的是（ ）
A．第二次左转后行走的方向是北偏东30°B．第六次左转后行走的方向是正西方向
C．第八次左转后行走的方向是南偏西60°D．嘉琪第一次回到点A时，一共走了60m
2．（2022·河北石家庄·校考一模）A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面说法不正确的是（ ）
A．C地在B地的正北方向上B．A地在B地的正东方向上C．C地在A地的北偏西60°方向上D．A地在C地的南偏东30°方向上
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，有A,B,C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的（ ）
A．北偏西54°方向B．北偏东54°方向C．南偏西54°方向D．南偏西90°方向
题型14 角平分线的相关计算
1．（2021·山东济南·统考中考真题）如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
2．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB=（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．（2018·四川南充·统考一模）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．
题型15 求一个角的余角、补角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ）
A．25°30′B．64°30′C．74°30′D．154°30′
2．（2019·甘肃兰州·一模）一个角的补角是150°，则这个角的余角等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
3．（2022·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）若一个角的余角是25°，那么这个角的度数是 ．
题型16 同（等）角的余（补）角相等
1．（2020·北京房山·统考一模）一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则sinA=（ ）
A．BCACB．ACABC．ADACD．BDBC
3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（ ）
A．B．C．D．
题型17 利用对顶角、邻补角的性质求解
1．（2022·北京·统考中考真题）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2020·贵州安顺·统考中考真题）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2=60°，那么∠3是（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
3．（2021·河南·统考中考真题）如图，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
题型18 判断同位角、内错角、同旁内角
1．（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
2．（2018·浙江金华·中考真题）如图，∠B的同位角可以是( )
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
题型19 利用平行线的判定进行证明
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
(1)求证：EF∥AD；
(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．
2．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，AB∥CD，AM平分∠BAE，FG平分∠AFC．
(1)求证：AM∥GF；
(2)若∠BAM＝55°，求∠CFE的度数．
题型20 平行线判定的实际应用
1．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a//b，理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2．（2019·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=85°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15°B．25°C．35°D．50°
3．（2021·山东烟台·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD为 米．
题型21 由平行线的性质求角度
1．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
2．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36°B．144°C．108°D．126°
题型22 由平行线的性质解决折叠问题
1．（2022·四川达州·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2的度数为（ ）
A．140°B．120°C．110°D．100°
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B=50°，则∠BDF的度数为 ．
3．（2023·广东湛江·统考二模）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF．若∠ABE=20°，则∠EFC'的度数为 ．
题型23 平行线的性质在实际生活的应用
1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB=20°，∠FED=56°，则∠GFH=（ ）
A．34°B．36°C．38°D．56°
2．（2022·山东济南·校考一模）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，2≈1.41，3≈1.73）．
A．246 mmB．247mmC．248mmD．249mm
3．（2022·浙江温州·统考三模）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B=140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两直线平行，内错角相等．B．内错角相等，两直线平行．
C．两直线平行，同位角相等．D．同位角相等，两直线平行．
题型24 利用平行线的性质解决三角板问题
1．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
2．（2023·河南·河南省实验中学校考三模）一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°， BC∥DE，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．（2023下·广西南宁·七年级三美学校校考阶段练习）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为ts．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
名称
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
存在关系
三棱锥
4
4
6
V+F-E=2
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
直线
射线
线段
概念
直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念.
直线上一点和它一旁的部分叫做射线.
直线上两点和它们之间的部分叫做线段.
图形
表示方法
直线AB或直线BA
直线m
射线OA
射线n
线段AB
线段l
端点个数
无
1个
2个
延伸、度量情况
可向两方无限延伸
不可度量
只能以一方无限延伸
不可度量
不能延伸，可以度量
不同点
线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线
相同点
都是直的线
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°＜∠β＜180°
∠β=180°
∠β=360°
角的表示
图例
适用范围
注意事项
用三个大写字母表示
记作：∠ABC或∠CBA
任何情况都适用
表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧.
用一个大写字母表示
记作：∠O
1）以这个字母为顶点的角只有一个；
2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示.
用一个数字表示
任何情况都适用
在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母
用一个希腊字母表示
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
有公共顶点
∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
−3
2
a
c
b
−1
