[数学]2023_2024学年广东河源高一下学期月考数学试卷(正德中学第一次)(原题版+解析版)

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2023~2024学年广东河源高一下学期月考数学试卷（正德中学第一次）
1. 下列命题中，正确的是
A. 若
C. 若
，则
，则
B. 若
D. 若
，则
，则
答案
B
解析
若
，但是两个向量的方向未必相同，所以
不一定成立, 有误;若
，则两向量的方向相同，模长相等，则
, 无
误;向量不能比较大小, 有误;若
，则
, ,无误．因此正确答案为: .
2. 已知向量
，则
（
）
A.
C.
B.
D.
答案
解析
A
因为
，
所以
．
因此正确答案为：A.
3. 如图，在
中，D为AB的中点，E为CD的中点，设
，
，以向量 ， 为基底，则向量
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
D
因为E为CD的中点，则
因此正确答案为：D.
.因为D为AB的中点，则
.所以
.
4. 已知
，
，当
与
的夹角为 时，
在
上的投影向量为（
）．
A.
C.
B.
D.
答案
解析
B
由题设， 在 上的投影向量
故选： ．
．

5. 若
A.
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
D
解析
【分析】
根据三角函数同角关系结合诱导公式求得
【详解】
，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可.
因为
，所以
，所以
，
所以
.
故选：D
6. 已知向量
A. -4
，
是两个不共线的向量，若向量
B.
与
共线，则实数 的值为（
）
C.
D. 4
答案
解析
C
【分析】
设
，化简
即得解.
【详解】
解：设
，所以
，所以
故选：C
7. 已知向量
A.
满足
，且
B.
，
，则向量 与
C.
的夹角为（
）
D.
答案
解析
B
【分析】
根据
可知
，利用数形结合的方式可确定所求夹角的正切值，进而求得结果.
为邻边的平行四边形的对角线相等，
【详解】
由
知：以
以
为邻边的平行四边形为矩形，即
，如下图所示：
设向量 与
向量 与
的夹角为
，又
，
的夹角为
.
故选：
.
【点睛】
本题考查平面向量夹角的求解问题，关键是能够根据已知中的模长相等的关系确定两向量互相垂直，易错点是忽略向量的方向，造成
夹角判断错误.
8. 已知函数
A.
，则
的值不可能是（
）
B.
C. 0
D. 2
答案
D

解析
．
，
因此正确答案为：D
9. 已知向量 ， 不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（
）
A.
C.
B.
D.
答案
解析
ACD
【分析】
通过判断向量是否共线即可得解.
【详解】
对于A，令
，即
，
所以
无解，
故向量
与
不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确；
，即向量 共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误；
，即
对于B，因为
对于C，令
与
，
所以
无解，
故向量
与
不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确；
，即
对于D，令
所以
，
无解，
故向量
与
不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确
故选：ACD.
10. 如果平面向量
A.
，
，那么下列结论中正确的是（
B.
）
C. 与 的夹角为
D. 在 方向上的投影向量为
答案
解析
AB
，A无误.
，所以
且
反向，所以B无误，C有误.
在 方向上的投影向量为
因此正确答案为：AB
，D有误.
11. 关于函数
，下列说法正确的是（
）
A.
B.
的最小正周期为
的最大值为
C.
D.
的单调递减区间为
的一个对称中心为
答案
解析
ABC
【分析】
化简
解析式，根据三角函数最小正周期、最值、单调区间，对称中心的知识确定正确选项.
【详解】

.
所以
由
的最小正周期为
的最大值为 ，B正确，
解得
，所以
，A正确，
，所以
的单调递减区间为
，C正确.
的一个对称中心为
，D不 正确.
故选：ABC
12. 已知点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则
的值为
．
答案
解析
【分析】
根据点的坐标求出向量
【详解】
的坐标，从而根据向量数量积的坐标运算求
即可.
因为A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，所以
，
所以
.
故答案为： .
13. 化简：
．
答案
解析
【分析】
切化弦结合三角恒等变换公式变形化简即可求解.
【详解】
由题
.
故答案为：
.
14. 设x，
，向量
，
，
，且
，
，则向量
与
的夹角大小为
．
答案
解析
【分析】
根据向量垂直和平行关系求出
，进而求出
，从而利用向量夹角余弦公式进行计算.
【详解】
由题意得
故
，解得
，
，
，
则
，
因为
，所以
.
故答案为：
15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为
、
、
．

（ 1 ）16. 写出向量
，
的坐标；
（ 2 ）17. 如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
答案 （ 1 ）
（ 2 ）
，
解析 （ 1 ）
（ 2 ）
，
.
设
，所以
四边形ABCD是平行四边形，所以
，所以
解得
，所以
.
18. 如图，在平行四边形
．
中，
，
，点
是
的中点，连接
，
，
记它们的交点为点 ，设
，
(1)用
(2)求
表示
；
的余弦值．
，
答案
(1)
(2)
解析
【详解】
（1）∵
且
，∴
（2）∵
又
，∴
∴
19. 已知
（1）求
，
；
，向量 与 的夹角为
垂直的实数m的值.
.
（2）求向量
与
答案
解析
（1）
；（2）
.
【分析】
（1）利用平面向量的数量积求平方，再求模.
（2）向量垂直转化为数量积为0，进而求参数值.
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算、向量垂直和向量的模等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.

20. 已知函数
的部分图象如图所示.
（1）求
的解析式及对称中心坐标；
（2）先将
的图象纵坐标缩短到原来的 倍，再向右平移
个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到
的图象，求函数
在
上的单调减区间和最值.
答案
（1）
.
；对称中心为
，
；（2）减区间是：
；
有最大值 ，
有最小值
解析
【分析】
（1）根据最大值可得 ，根据周期得 ，根据最高点得 ，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得
（2）根据图象变换的结论可得 的解析式，根据余弦函数的递增区间可得
的对称中心；
在
上的单调减区间，根据余弦函
数的图象可得在
上的最值.
【详解】
（1）由所给图象知：
；
，
，
，
，
∴
，把点
代入得：
，∴
，
即
∴
，
，又∵
；
，
由
，
，得
，
，
所以
的对称中心为
，
.
（2）易知
.
化简得
当
，
时，由
时，
，
，得
，所以
的单调递减区间是：
，当
；
当
，当
，即
.
时，
有最大值，最大值为
，即
时，
有最小值，最小值为
【点睛】
本题考查了根据图象求解析式，考查了余弦函数的对称中心，单调性，最值，考查了三角函数的图象变换，属于基础题.
21. 已知点
和向量
(1)若向量
(2)若向量
与向量 同向，且
且向量 与
，求点 的坐标；
的夹角是锐角，求实数 的取值范围．
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）先设
，得
，接着利用坐标形式的向量共线定理和模长公式结合已知条件列式求出
，再根据向量
与向量 同向进行检验即可得解.
（2）先求出
【详解】
（1）设
因为向量
所以
，再由
且 与
不共线即可计算检验得解.
，则
，
与向量 同向，且
且
，
，

或
，所以
，此时向量
，此时向量
或
，
当
当
故
时，
时，
，所以
与向量 反向，不符合；
与向量 同向，符合，
.
（2）若向量
因为向量 与
所以
，则
，
的夹角是锐角，
，
又
即
，
所以实数 的取值范围为
.